A Study on a Finite Element Analysis Method Using Simplified Ball Models of Wind Turbine Ball Bearings

풍력발전기용 볼 베어링의 단순화 볼 모델을 이용한 해석기법 연구

Abstract

This study focuses on the analysis of slewing ball bearings in wind turbines. Slewing bearings have an outer diameter of several meters, and hundreds of balls are in contact with the raceway. Due to the large number of balls and raceway contact conditions, it is difficult to accurately analyze contact stresses using general analysis techniques. To analyze the contact stress of a slewing ball bearing, the sub-modeling method is applied, which is a technique that first analyzes the displacement of the entire model and then analyzes the local stress at the point of maximum displacement. In order to reduce the displacement analysis time of the entire ball bearing, the technique of replacing the ball with a nonlinear spring is adopted. The analytical agreement of the simplified model was evaluated by comparing it with a solid mesh model of the ball for three models with different spring attachment methods. It was found that for the condition where a large turnover moment is applied to the bearing, increasing the number of spring elements gives the closest results to modeling the ball with a solid mesh.

기호설명

Q : 볼에 작용하는 하중

D_w : Ball의 직경

D_profile : 레이스 웨이의 직경

δ : 볼의 변위

s : 볼과 레이스웨이의 치수비

1. 서론

풍력터빈(Wind turbine)용 슬루잉 베어링은 블레이드와 허브를 연결하면서 블레이드의 각도를 조정하는 피치베어링(Pitch Bearing)과 너셀과 타워를 연결하면서 너셀을 바람의 방향으로 조정하는 요베어링(Yaw Bearing)이 있으며 풍력터빈에서 베어링의 조립위치는 Fig. 1과 같다.

Fig. 1 Slewing bearings of wind turbine

슬루잉 베어링은 축을 지지하면서 회전운동하는 구름 베어링(Rolling Bearing)과 달리 크레인, 포탑 등에 사용되며 지지점에서 떨어진 위치에서 하중이 작용되어 높은 전도모멘트(Turnover Moment)가 작용하는 특징이 있다. 이러한 전도모멘트로 인하여 회전체인 볼(Ball)과 레이스웨이(Raceway)의 접촉점이 끝으로 이동하여 국부적으로 높은 응력이 발생되는 잘림현상(Truncation)이 발생하여 베어링 수명을 저하시킨다. 베어링은 정적, 동적 조건에서의 정격 하중(Basic load ratings)과 작용하중(Bearing equivalent operating load)을 이용한 계산식으로 정격 수명을 계산한다.[1-3]

대형 슬루잉 베어링은 볼과 레이스웨이가 4점 접촉(Four point contact) 구조를 가지며, 큰 하중을 지지해야 하는 경우 볼을 삽입하는 열(Row)을 추가한다. 따라서 풍력발전기용 볼 베어링은 많은 접촉점을 가지는 복잡한 문제가 된다. 뿐만 아니라 볼과 레이스웨이는 점 접촉으로 인해 정밀한 응력해석을 위해서는 조밀한 격자생성이 필요함으로 긴 해석시간이 필요하다.

접촉점이 많은 비선형 문제의 복잡성을 단순화하기 위하여 볼을 비선형 스프링요소(Spring element)로 치환하여 유한요소해석을 수행하는 방법이 제안되었다. Gao[4]는 베어링의 내륜(Inner ring)과 외륜(Outer ring)을 8 절점 육면체격자로 모델링하고 전동체인 볼을 접촉점과 접촉점을 하나의 비선형 스프링요소로 대체하여 베어링의 거동을 해석하였다. Daidie[5]등은 볼과 접하는 레이스웨이의 중심사이를 비선형 스프링요소로 모델링하여 볼에 작용하는 반력과 볼과 레이스웨이의 접촉각도(Contact angle) 변화를 유한요소법을 이용하여 계산하였다. Zupan[6] 등은 베어링의 볼을 스프링요소로 대체하였으며 하중이 가해지게 되면 스프링요소와 접하는 지점이 변화함으로 변위를 이용한 접촉각의 변화를 계산할 수 있는 모델을 제안하였다. Jon Plaza[7] 등은 풍력터빈용 베어링의 변형거동을 비선형 스프링요소와 강체빔(Rigid beam element), 강체 곡면요소(Rigid surface element)의 연결을 채택하여 해석의 정밀도를 향상시켰다. Schwack[8] 등은 7.5 MW 풍력터빈의 2열 4점 접촉 베어링의 설계검증에 있어 접촉각(Contact angle)이 접촉응력에 미치는 영향을 유한요소해석 기법을 이용하여 해석하였으며, 일반적인 슬루잉 베어링의 설계에서는 레이스웨이 끝(Raceway end)에서 잘림현상에 의한 응력집중이 발생하고 상대적으로 높은 접촉응력이 나타난다는 것을 해석적으로 검증하였다. Matthis[9]는 2열 4점 접촉 볼 베어링에 대하여 신뢰할 수 있는 유한요소 해석결과를얻기 위해 측정결과와 비선형 스프링요소를 적용한 유한요소해석결과를 비교하였으며, Daidie 스프링요소는 하중이 증가함에 따라 해석의 정확도가 떨어지는 것을 확인하였다.

유한요소해석에서 미세한 격자 크기를 요구하는 국부적인 접촉문제의 경우 해석효율이 낮아지는 문제가 발생한다. 이를 위하여 전체해석은 접촉부 해석에 비해 상대적으로 큰 격자를 이용하여 변위를 계산한 후 관심이 있는 부위의 격자를 조밀하게 해석하는 서브모델링(Submodeling) 기법이 개발되었다. 이는 작용하는 하중의 위치가 먼 경우 집중하중과 분포하중에 따른 응력변화가 없다는 Saint Venant[13]의 연구를 근거로 한다. 또한 정적해석의 경우 응력의 경우는 격자 민감도에 영향이 많지만 변위의 경우 격자에 따른 변화가 크지 않다는 Yucheng[14]의 연구애 따라 서브모델링 해석에서 변위를 입력할 경우 합리적인 해석정밀도를 기대할 수있다.

본 연구에서는 선행 연구에서 볼을 비선형 스프링으로 치환하고 모멘트가 가해질 때 접촉각이 변화하는 것을 확인할 수 있는 Daidie 모델에서 전도모멘트 값이 증가하면 해석정확도가 낮아지는 단점을 보완할 수 있는 스프링요소 모델을 제안하고자 하였다. 제안 모델은 Gao의 모델과 Daidie 모델을 참고하여 볼을 2개의 스프링요소와 3개의 스프링요소로 치환하여 큰 전도모멘트가 가해질 때 과도한 변형이 발생되는 단점을 보완하고자 하였다. 이를 위하여 Daidie 모델과 본 연구에서 제안한 2개 또는 3개의 스프링요소를 이용한 모델의 변형 및 접촉응력을 볼을 유한요소 격자로 모델링한 해석과 비교하였다. 정확한 접촉응력을 구하기 위하여 전체모델(Global model)해석을 통하여 베어링의 가장 큰 변위를 찾은 후 변위를 경계조건으로 입력하여 해석하는 서브모델링(Submodeling)기법을 이용하였다.

스프링요소를 이용한 조건 3가지와 실제 볼 모델에 대한 베어링의 변형량과 볼과 레이스웨이의 접촉응력을 해석한 결과를 비교하여 단순화 모델별 해석 정확도를 비교하였다.

2. Pitch Bearing의 유한요소해석

2.1 피치 베어링의 설계

본 연구는 4 MW급 풍력 터빈에 사용되는 피치베어링으로 외륜 ϕ3020 mm, 내륜 ϕ2479mm, 높이 300 mm의 치수를 가진다. 볼의 크기는 ϕ82.55 mm이며 각열당 볼의 수량은93개로 총186개의 볼이 조립된다.

볼과 접촉하는 레이스웨이의 반지름(Radius)은 R42.93 mm이며, 볼과 면접촉하기 위하여 중심은 y방향으로 a=1.09 mm 만큼, x방향으로 b=1.30 mm 만큼 Fig. 2와 같이 오프셋(Offset) 되어 있다.

Fig. 2 Four contact pitch bearing dimension

2.2 유한요소해석 기법

본 연구에서 볼을 스프링요소로 단순화한 해석모델은 Fig. 3에 도시한 Gao의 방법과 Fig. 4에 나타낸 Daidie의 방법이 있다.

Fig. 3 Spring element connection of balls by Gao [4]

Fig. 4 Spring element connection of balls by Daidie [5]

Gao의 방법은 볼과 레이스웨이가 접하는 접촉점 사이를 하나의 스프링요소로 연결하며, Daidie는 오프셋된 레이스웨이 중심을 스프링요소로 연결하는 방법이다. 이때 중심과 레이스웨이는 강체 요소 2개로 연결된다. Gao의 모델은 베어링의 내륜과 외륜에 큰 전도 모멘트가 작용할 경우 스프링요소는 모멘트를 지지할 수 없어 접촉각의 변화가 크고 변위가 크게 해석된다.[10] Matthis의 연구에 따르면 Daidie의 모델에서도 하중이 증가함에 따라 정밀도가 떨어지는 것으로 나타났다.[9] 이러한 전도모멘트에 의한 변형 민감도를 줄이기 위해 Fig. 5와 같이 예압이 가해질 경우 점 접촉(Contact point)이 선 접촉(Contact line)으로 변화되는 것을 고려하여 접촉 선의 양 끝단에 스프링요소를 각각 부여하는 Fig. 6(a)의 모델과 접촉점과 접촉 선 끝점에 각각 스프링요소를 추가하여 3개의 스프링요소로 해석하는 Fig. 6(b)의 모델을 제안하였다. 제안된 모델에 대하여 Fig. 6(c)의 Daidie 모델과 Fig. 6(d)와 같이 볼을 유한요소격자 모델링한 해석결과를 비교하였다.

Fig. 5 Interference geometry of ball and raceway

Fig. 6 Ball treatment method for bearing FE analysis

볼을 스프링요소로 처리할 경우 스프링요소의 강성(Stiffness)이 필요하다. 볼의 강성은 Houpert[11]의 수식을 이용하여 볼의 강성을 계산할 수 있다. 볼의 강성계산에서 스프링요소 개수가 증가할 경우 스프링요소개수 만큼 1/n하여 계산하였다. 아래 수식에서 Q는 하중, D_w는 Ball의 직경, D_profile은 레이스웨이의 직경, s는 볼과 레이스웨이의 치수비이다. 변위 δ와 하중 Q의 관계가 비선형을 나타나고 있음을 식(2)에서 볼 수 있다.

\(\begin{align}s=\frac{D_{w}}{D_{\text {profile }}}\end{align}\)       (1)

\(\begin{align}\delta=8.97 \times 10^{-4}(1-s)^{0.1946} \frac{Q^{2 / 3}}{D_{w}^{1 / 3}}\end{align}\)       (2)

2.3 전체모델의 유한요소해석 조건

유한요소해석 모델은 볼트 구멍의 개수가 104개임으로 1/104로 분할하여 Fig. 7(a)와 6면체 격자로 분할하였다. 1/104 모델을 Z축에 대하여 회전 복사한 후 APDL(Ansys Parametric Design Language)에서 Fig. 7(c)와 같이 병합하였다. 1/104 모델의 격자는 19,424개의 노드와 3,924개의 요소로 구성되었으며, 베어링 전체의 격자는 6면체 요소로 1,869,920개의 노드와 408,096개의 요소로 구성되었다. 베어링이 조립되는 허브는 4면체 격자로 29,466개의 노드와 101,493개의 요소로 Fig. 7(b)와 같다.

Fig. 7 Mesh system of bearing and hub for global analysis

베어링 해석에 있어 볼을 스프링요소로 처리한 Fig. 6(a)∼6(c)의 경우는 Fig. 8 (a)와 같이 비선형 스프링 요소로 연결하였으며, 유한요소격자로 모델링한 볼은 Fig. 8 (b)와 같이 솔리드요소로 처리하였다. 허브(Hub)와 메인 샤프트(Main haft)가 접하는 부위를 접합구속조건(Bonded contact condition)으로 처리하였다. 하중조건은 베어링에 극한하중인 모멘트 16,674 kNm, 축하중 671.1 kN, 전단하중 527.2 kN을 Fig. 8 (c)와 같이 부과하였다. 볼을 유한요소격자로 모델링한 Fig. 8(b) 는 볼과 레이스웨이를 마찰 접촉조건(Friction contact condition)으로 설정하였다.

Fig. 8 Global analysis preparation to analyze bearing deformation

2.4 서브 모델의 유한요소해석 조건

전체모델 해석에서 가장 큰 변위가 나타나는 지점에서 가장 큰 응력이 발생한다. 가장 큰 응력이 작용하는 1/104 모델의 2개를 Fig. 9(a)와 같이 선정하여 서브 모델링 해석을 진행하였다. 서브모델링 해석을 위한 유한요소 격자는 6면체 격자(Hexahedral mesh)와 사면체 격자(Tetrahedral mesh)가 조합되었으며 볼과 레이스웨이가 접하는 부위의 격자를 1.5 mm로 조밀하게 분할하여, 총 2,997,314개의 노드와 1,775,080개의 요소로 구성되었으며 격자 형상은 Fig. 9(b)와 같다. 요소에 대한 민감성을 평가하기 위하여 단순화된 서브모델에 대하여 요소의 크기를 2.0 mm, 1.5 mm, 1.2 mm, 1 mm에 대하여 해석을 수행하여 1.5 mm를 선택하였다. 서브모델링 해석의 경계조건을 전체모델 해석에서 선택된 절단면의 변위가 경계조건으로 맵핑(Mapping)되어 입력하게 되며 절단면의 변위를 도시하면 Fig. 9(c)와 같다.

Fig. 9 Mesh system and boundary conditions for submodeling analysis

3. Pitch Bearing의 유한요소해석 결과

3.1 전체모델 유한요소해석 결과

볼을 2개의 스프링요소와 3개의 스프링요소, Daidie 모델 3가지의 비선형 스프링요소와 실제 볼 모델을 유한요소격자로 분할한 경우에 대한 전체모델 해석 결과인 전체 변위와 유효응력을 각각의 모델에 대하여 도시하면 Fig. 10과 같다. 최대변위는 Daidie 스프링요소의 경우 6.020 mm, 스프링요소가 2개일 경우 5.560 mm, 스프링요소가 3개일 경우 5.428 mm와 유한요소격자 볼 모델의 경우 5.578 mm로 내륜에서 나타났다.

Fig. 10 Full model analysis results with spring element models and finite element mesh ball model

Daidie 모델의 변위는 유한요소격자로 모델링한 볼에 비해 높은 변위를 보이고 있으며, 2개 및 3개의 스프링요소에 경우 유한요소격자로 모델링한 볼 모델과 비슷한 변형량을 나타내고 있다. 최대 응력의 경우 Daidie 스프링요소는 1030.3 MPa, 2개의 스프링의 경우 1228.0 MPa, 3개의 스프링요소의 경우 1204.3 MPa이며 유한요소격자로 모델링한 볼의 경우 1255.0 MPa의 결과를 나타내고 있으나 전체모델 해석에서는 격자크기가 조대하여 응력의 신뢰성은 낮다.

3.2 서브모델의 유한요소해석 결과

서브모델링기법을 이용한 볼과 레이스웨이의 접촉부응력을 Fig. 11에 나타내었다. 서브모델링해석 결과 Daidie 스프링 모델일 경우는 외륜에 4434.8 MPa, 내륜은 4112.2 MPa, 볼은 4299.5 MPa의 유효응력이 계산되었다. 2개 스프링 모델은 외륜이 2290.6 MPa, 내륜은 2302.4 MPa, 볼은 2268 MPa로 나타났다. 3개의 스프링일 경우는 외륜이 2075.1 MPa, 내륜은 2045.4 MPa, 볼은 1847.6 MPa로 해석되었고, 유한요소격자 볼 모델링은 외륜이 1574.5 MPa, 내륜은 1525.7 MPa, 볼은 1362.0 MPa의 응력분포를 나타냈다.

Fig. 11 Contact stress distribution by submodeling techniques

3.3 유한요소해석 결과 비교

전체모델과 서브모델에 대한 해석을 진행하였으며, 각 모델에 대하여 변형량과 응력해석 결과를 비교하였다. 전체모델해석을 통한 각 모델별 최대변형량과 응력을 비교하여 Table 1에 나타내었다. 2개의 스프링요소와 3개의 스프링요소는 유한요소격자 볼 모델과 유사한 변형량을 나타내고 있으나, Daidie 스프링 모델의 경우 유한요소격자로 모델링한 볼 모델보다 높은 변형량을 나타냈다. 전체모델해석의 접촉부 응력은 격자가 조대하여 540 MPa∼1230 MPa의 낮은 응력수준을 나타냈다.

Table 1 Full modeling Analysis

서브모델링해석에서 접촉 응력을 비교하기 위하여 각 조건별 결과를 Table. 2에 나타내었다. 스프링요소가 증가할수록 접촉응력이 낮아지는 경향을 나타내며, Daidie 스프링요소의 경우 레이스웨이 끝단에 응력이 집중되어 유한요소격자 볼 모델에 비하여 2배 이상 응력 차이가 나타나는 것을 볼 수 있다. 이는 스프링요소 모델은 전도모멘트가 증가할 경우 굽힘모멘트를 지지할 수 없어 더 큰 변위가 발생하기 때문인 것으로 판단된다.

Table 2 Sub modeling Analysis

본 연구의 모델에 대한 전체변위와 접촉부 응력을 그래프로 정리하면 Fig. 12와 같다. 1개의 스프링 모델과는 다르게 2개 스프링 모델과 3개 스프링 모델에서는 변형량의 차이는 크지 않아 스프링요소를 이용한 베어링 해석을 할 경우최소2개 이상의 스프링요소를 사용하는 것이 실제 변형량에 유사한 결과를 얻을 수 있다. 하지만 스프링요소로 치환한 모델의 경우 볼 모델과 비교하였을 때 접촉응력은 다소 높은 응력값을 보이고 있다. 이는 스프링요소 대체 기구가 볼의 거동을 완벽하게 모사하지 못하기 때문에 나타난 것으로 판단된다. 스프링요소의 사용은 직접적으로 해석이 어려운 대형 해석의 경우 채택하는 것이 변형량 예측에 유리할 것으로 판단되며, 접촉응력을 해석할 경우는 유한요소격자로 모델링한 볼 모델과 가장 비슷한 3개의 스프링 모델을 적용하는 것이 변위와 응력의 측면에서 가장 근사한 결과를 얻을 수 있을 것으로 보인다.

Fig. 12 Finite element analysis results of various ball treatment methods for global model and submodeling technique

4. 결론

풍력 터빈용 볼 베어링 해석의 용이성을 위하여 볼을 스프링요소로 단순화한 모델들과 유한요소격자로 모델링한 경우에 대한 유한요소해석을 수행하여 다음과 같은 결론을 얻었다.

1. 전체모델 해석에서 볼의 접촉각도의 계산이 가능한 Daidie 모델의 경우는 하나의 스프링으로 인해 굽힘모멘트에 대한 민감도가 높아 볼을 2개 또는 3개의 스프링요소로 처리한 모델과 유한요소격자 볼 모델에 비해 변형량이 크게 나타났다. 최대 변형량은 2개의 스프링모델이 유한요소격자 볼 모델과 가장 근접한 변형량을 나타냈다.

2. 서브모델링 기법을 통한 응력해석 결과에서, Daidie 모델의 경우 최대 접촉응력이 4434.8MPa을 나타냈으며, 2개 스프링요소 모델의 경우 2300MPa 수준의 접촉응력을 나타냈다. 3개의 스프링 모델은 2050MPa 수준의 응력을 나타내어 3개의 스프링 모델이 유한요소격자로 모델링 한 볼과 가장 근접한 응력 결과를 나타내었다.

3. 베어링 볼을 유한요소격자로 처리한 볼 모델과 스프링으로 처리한 3가지 모델을 비교해본 결과 스프링이 증가할수록 변형량은 볼과 유사해지지만, 접촉응력은 상당한 차이를 나타냈다. 이는 대변형이 발생될 경우 볼의 접촉점이 변화하는 것을 스프링요소 모델이 볼의 접촉 변화를 완벽하게 모사할 수 없기 때문으로 판단된다.

4. 베어링의 직접적인 거동과 접촉응력을 정확히 예측하기 위해서는 유한요소격자 볼 모델을 사용하는 것을 추천하며, 실제 볼 모델을 사용하기 어려운 대형모델 해석의 경우 볼 모델과 변위 차이가 적은 다중 (2개, 3개) 스프링요소를 사용하는 것이 타당하다는 결론에 도달하였다.

후기

본 연구는 산업통상자원부의 재원으로 한국에너지기술평가원의 2020년도 에너지기술개발사업 (과제번호 : 20203010020040)과 2023년도 신재생에너지핵심기술개발(R&D) (과제번호 : RS-2023-00302111)의 지원을 받아 수행한연구입니다.