Labyrinth Seal Design Considering Leakage Flow Rate and Rotordynamic Performance

누설유량과 회전체동역학적 성능을 고려한 래버린스 씰 설계

Abstract

This study proposes a procedure for designing a labyrinth seal that meets both leakage flow rate and rotordynamic performance criteria (effective damping, amplification factor, separation margin, logarithmic decrement, and vibration amplitude). The seal is modeled using a one control volume (1CV) bulk flow approach to predict the leakage flow rate and rotordynamic coefficients. The rotating shaft is modeled with the finite element (FE) method and is assumed to be supported by two linearized bearings. Geometry, material and operating conditions of the rotating shaft, and the supporting characteristics of the bearings were fixed. A single labyrinth seal is placed at the center of the rotor, and the linearized dynamic coefficients predicted by the seal numerical model are inserted as linear springs and dampers at the seal position. Seal designs that satisfy both leakage and rotordynamic performance are searched by modifying five seal design parameters using the multi-grid method. The five design parameters include pre-swirl ratio, number of teeth, tooth pitch, tooth height and tooth tip width. In total, 12500 seal models are examined and the optimal seal design is selected. Finally, normalization was performed to select the optimal labyrinth seal designs that satisfy the system performance requirements.

Nomenclature

h : Seal tooth height (m) (씰 이 높이)

Cr : Seal radial clearance (m) (씰 간극)

W : Seal tooth tip width (m) (씰 이 두께)

Rs : Shaft radius (m) (축 반지름)

L : Seal tooth pitch (m) (씰 이 피치)

ṁ : Leakage mass flow (kg/s) (누설유량)

P : Pressure (Pa) (압력)

V : Circumferential fluid velocity (m/s) (원주 방향 유속)

ρ : Density (kg/m³) (밀도)

A : Cross-sectional area of the control volume(m²) (제어체적 단면적)

R : Gas constant (이상기체 상수)

T : Temperature (K) (온도)

as : Dimensionless length upon which shear stress acts on stator

ar : Dimensionless length upon which shear stress acts on rotor

τ_s : Stator shear stress (고정자 전단응력)

τ_r : Rotor shear stress (회전자 전단응력)

ms : Rate per circumferential length coefficients for friction factor

mr

ns

nr

Dh : Hydraulic diameter of cavity (m) (수력지름)

H : Local radial clearance (m)

μ_1i : Flow coefficient

μ_2i : Kinetic energy carry-over coefficient

γ : Ratio of specific heats

ε : Eccentricity ratio (편심 비율)

ω : Rotor spin speed (rpm) (축 회전속도)

t : time (s) (시간)

NT : Number of seal tooth (씰 잇수)

NC : Number of cavities (공동 수)

a,b : Radial seal displacement components due to elliptical orbit whirl (m)

Ω : Whirling speed of the orbit of the rotor

x : x-direction displacement (m)

y : y-direction displacement (m)

ẋ : x-direction velocity (m/s)

ẏ : y-direction velocity (m/s)

i : i-th chamber value

F_x : x-direction fluid force (N)

F_y : y-direction fluid force (N)

K : Direct stiffness coefficient (N/m)

k : Cross-coupled stiffness coefficient (N/m)

C : Direct damping coefficient (N·s/m)

c : Cross-coupled damping coefficient (N·s/m)

[M] : Mass matrix (질량 행렬)

[C] : Damping matrix (감쇠 행렬)

[K] : Stiffness matrix (강성 행렬)

[F] : Force matrix (힘 행렬)

[Q] : Displacement vector matrix (변위 벡터 행렬)

m : Mass (kg) (질량)

M_r : Mass of rotor (kg) (회전자 질량)

N : Maximum rotor spin speed (rpm)

C_eff : Effective damping coefficient (N·s/m)

AF : Amplification factor (유효감쇠계수)

SM : Separation margin (분리여유)

δ : Logarithmic decrement (대수감쇠율)

VA : Vibration amplitude (mm) (진동진폭)

N_C : Critical speed (rpm) (위험속도)

N₁ : Initial speed at 0.707 × peak amplitude

N₂ : Final speed at 0.707 × peak amplitude

α_ri : Real part of eigenvalue

ω_di : Damped natural frequency (rpm)

PSR : Pre-swirl ratio

TOS : Tooth on stator

1. 서론

펌프 및 압축기와 같은 터보기계는 회전자(rotor)에 의해 입구와 출구의 압력비를 증가시키고 유체에 기계적 에너지를 가하여 유체를 전달한다. 이때 회전자와 고정자(stator) 사이의 간극(clearance)에서 발생하는 누설유량(leakage flow)을 줄이고 작동유체의 역류를 방지하기 위해 씰(seal)을 사용한다. 씰은 형상에 따라 다양한 형태로 설계되는데, 래버린스 씰(labyrinth seal)은 비교적 제작이 쉽고 밀봉 성능이 우수하기 때문에 가장 보편적으로 사용되고 있다.

최근 터보기계의 효율성 향상을 목적으로 씰 간극이 작아지고 있다. 그 결과 회전자 표면에 불안정한 유체가 진력이 발생하고 이 불안정한 유체가진력은 회전체 시스템의 과도한 진동을 유발하는 원인이 된다[1]. 이에 많은 연구자들은 씰과 회전체 시스템의 효율을 향상시키고 회전체동역학적 안정성을 확보하기 위한 다양한 연구를 수행해왔다. Eldin[2]은 포켓 댐퍼 씰(pocket damper seal, PDS)과 래버린스 씰의 누설유량과 동특성 계수를 예측하는 여러 가지 모델 식을 소개하고 평가하였으며 결과를 실험과 비교하였다. Fang 등[3]은 전단응력에 고려되는 단상 마찰계수(single phase friction factor) 식에 대한 15개의 상관관계를 조사하고 비교하였다. Shan[4]은 Numann의 누설 방정식과 Moody 마찰계수 식 기반의 TAMU PDSeal 코드를 사용하여 래버린스 씰과 포켓 댐퍼 씰의 동특성 계수를 예측하고 이를 실험과 비교하였다. Li 등[5,6]은 전산유체역학(computational fluid dynamics, CFD) 과도해석 기법을 활용하여 래버린스 씰의 누설유량 및 동특성을 분석하였으며 운전조건과 설계변수의 변화가 동특성에 미치는 영향을 조사하였다. 해당 연구에 따르면 회전속도와 프리스월 비가 증가할수록 유효감쇠계수가 크게 감소하고 연성강성계수가 증가하였다. 또한, 래버린스 씰의 잇수와 공동(cavity) 깊이가 증가하면 회전체 안정성이 향상되는 것을 관찰하였다. Childs와 Scharrer[7]는 실험 래버린스 씰의 동특성 계수를 예측하는 1CV(one control volume) Bulkflow 모델 해석법을 제시하였으며 해석 결과를 실험 결과와 비교하여 잘 일치함을 보여주었다. 이후 발표된 다른 연구에서는 해당 Bulkflow 모델에 에너지 방정식을 고려하면 동특성 계수를 더욱 정확하게 예측할 수 있는 것을 확인하였다[8]. Scharrer[9]는 2CV(two control volume) Bulkflow 모델을 이용하여 래버린스 씰의 동특성 계수를 예측하는 방법을 제시하였다. Pelletti와 Childs[10]는 짧은 래버린스 씰의 동특성 분석을 위한 실험을 수행하였으며 이를 2CV Bulkflow 모델과 비교하였다. Ha [11]는 Moody의 마찰계수 식을 적용한 Bulkflow 모델을 사용하여 래버린스 씰의 동특성 분석을 수행하였고 그 결과를 Blasius 마찰계수 식을 사용한 Bulkflow 모델 해석 결과 및 실험 결과[10]와 비교하였다. Moody의 마찰계수 식을 적용한 Bulkflow 모델 해석 결과는 Blasius 마찰계수 식을 사용한 Bulkflow 모델 해석 결과보다 실험 결과에 조금 더 근접함을 보였다. 또한, 레이놀즈 수가 10⁵이상인 경우와 실 표면이 거친 경우에는 더욱 정확한 해석 결과를 나타낼 것이라고 판단하였다. Ha 등[12]은 엇갈린 래버린스 씰의 누설유량과 동특성 계수를 예측할 수 있는 방법을 소개하였으며 씰의 잇수, 출구압력 그리고 회전속도 변화에 따른 누설유량과 동특성 계수의 특성을 분석하였다. 씰 잇수가 증가함에 따라 직결강성 계수가 감소하고 연성강성계수와 직결감쇠계수는 증가하였다. 또한, 출구 압력이 낮아질수록 누설유량이 증가하며 유속이 마하 1에 가까워지면 누설 유량이 더 이상 증가하지 않는 질식현상이 일어남을 보였다. Sahor [13]는 Numann[14]의 누설 방정식과 Carry-over 계수 식 그리고 Chaplygin의 유동 계수 식을 사용하여 직선형 래버린스 씰과 계단식 래버리스 씰의 공동 압력, 유속 그리고 누설유량을 계산하는 방법을 소개하였다. Wang 등[15]은 Bulkflow 모델에 사용되는 72개의 누설 방정식의 적용가능성을 분석하여 최적의 모델을 조사하였다. 해당 연구에 따르면 최적의 모델은 Neumann 누설 방정식, Chaplygin 유동 계수 식, Numann의 Carry-over 계수 식 그리고 Swamee & Jain의 마찰계수를 사용한 모델이다. Lee[16]는 CFD 정상상태 해석 기법을 활용하여 스월 브레이크가 장착된 래버린스 씰의 동특성 해석을 수행하고 스월 브레이크가 없는 기존 래버린스 씰의 해석 결과와 비교하였다. Kim[17]은 상세한 로터, 베어링 설계 특성이 제공되지 않더라도 실측과 운전데이터를 활용하여 회전기계의 동특성 및 안정성 해석을 수행할 수 있음을 설명하였다. Zhang 등[18,19]은 2CV Bulkflow 기법을 활용하여 래버린스 씰의 동특성 분석을 수행하고 Lagrange 방정식을 활용하여 축, 디스크, 베어링, 래버린스 씰 시스템의 운동방정식을 유도하여 씰 설계변수에 따른 시스템의 안정성을 분석하였다. 결과는 입구 압력이 증가할수록 회전체의 불안정성 한계값(instability threshold)이 증가하며 진동진폭(vibration amplitude)이 감소하였다. 또한, 프리스월 비가 첫 번째 공동의 압력 변화에 큰 영향을 미치며 더 적은 씰의 잇수로 회전체 시스템 안정성을 확보할 수 있음을 관찰하였다.

본 연구에서는 래버린스 씰의 누설유량과 회전체 시스템의 동특성을 고려하여 최적의 TOS(tooth on stator) 래버린스 씰을 설계하였다. 이를 위해 래버린스 씰의 프리스월 비, 잇수, 이 피치, 이 높이 그리고 이 두께를 기하학적 설계변수로 설정하고 총 12,500개의 래버린스 씰에 대한 누설유량과 동특성 계수를 계산하기 위해 제어 체적이 한 개인 1CV Bulkflow 모델을 이용하였다. 또한, 래버린스 씰의 동특성 계수를 고려한 회전체 시스템의 동역학적 분석을 위해 유한요소(finite element, FE) 모델링을 수행하였다. 래버린스 씰과 회전체 시스템의 동역학적 분석에 대한 반복계산 속도를 가속시키기 위해서 다중격자(multi grid) 방법을 사용하였으며 본 해석을 통해 시스템 성능지표를 만족하는 래버린스 씰을 설계하였다. 마지막으로 본 연구는 정규화 방법을 이용하여 시스템 요구조건에 따른 최적의 래버린스 씰을 선정하였다.

2. 수치해석 모델

2-1. 래버린스 씰 모델

이가 고정자에 위치한 TOS 래버린스 씰의 누설유량과 동특성 계수를 예측하기 위해 제어체적이 1개인 1CV Bulkflow 모델을 이용하였다[7,13]. Fig. 1은 본 연구에서 사용한 래버린스 씰의 기하학적 치수 기호와 제어체적을 나타내며 Fig. 2는 제어체적의 축 방향과 원주 방향의 유체 흐름을 나타낸다. 제어체적의 연속방정식(continuity equation)은 식 (1)로 표현할 수 있다.

Fig. 1. One control volume model of the tooth on stator labyrinth seal.

Fig. 2. Fluid flow of control volume.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_{i} A_{i}\right)+\frac{\rho_{i} V_{i}}{R s_{i}} \frac{\partial A_{i}}{\partial \theta}+\frac{\rho_{i} A_{i}}{R s_{i}} \frac{\partial V_{i}}{\partial \theta} \\ +\frac{V_{i} A_{i}}{R s_{i}} \frac{\partial \rho_{i}}{\partial \theta}+\dot{m}_{i+1}-\dot{m}_{i}=0\end{array}\\\end{aligned}\)       (1)

제어체적 내의 유체 운동량방정식(momentum equation)은 압력과 전단응력에 의해 식 (2)와 같이 표현할 수 있다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_{i} A_{i} V_{i}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho_{i} A_{i} V_{i}^{2}}{R s_{i}}\right)+\dot{m}_{i}\left(V_{i}-V_{i-1}\right) \\ =-\frac{A_{i}}{R s_{i}} \frac{\partial P_{i}}{\partial \theta}-\tau_{s i} a s_{i} L_{i}+\tau_{r i} a r_{i} L_{i}\end{array}\\\end{aligned}\)       (2)

누설유량 ṁ은 Neumann [14]의 실험식에 의해 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

\(\begin{aligned}\dot{m}_{i}=\mu_{1 i} \mu_{2 i} H_{i} \sqrt{\frac{P_{i-1}^{2}-P_{i}^{2}}{R T}}\\\end{aligned}\)       (3)

여기서, 유동 계수(flow coefficient) μ_1i는 Chaplygin에 의한 식 (4)로 표현되고 운동에너지 전달계수 계수(kinetic energy carry-over coefficient) μ_2i는 Vermes에 의한 식 (5)로 표현된다.

\(\begin{aligned}\mu_{1 i}=\frac{\pi}{\pi+2-5 s_{i}+2 s_{i}^{2}} \quad \text{where} \quad s_{i}=\left(\frac{P_{i-1}}{P_{i}}\right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma}}-1\\\end{aligned}\)       (4)

\(\begin{aligned}\mu_{2 i}=\sqrt{\frac{1}{1-\alpha}} \quad \text {where} \; \frac{8.52}{\frac{L+W}{C r}+7.23}\\\end{aligned}\)       (5)

회전자의 휘돌림에 대한 섭동 압력과 동특성 계수를 계산하기 위해 섭동법(perturbation method)을 이용하였다. 위에서 언급한 연속방정식 (1), 운동량방정식 (2), 누설방정식 (3)에 회전자 중심에 대한 정상상태 성분과 미소 변위에 대한 섭동상태 성분을 대입하여 전개하면 섭동압력 분포와 힘에 대한 관계식을 얻을 수 있다.

Fig. 3과 같이 회전자가 타원 궤도(elliptical orbit)로 휘돌림한다고 가정하면 유체가진력 F_x, F_y는 동특성 계수와 x, y 방향의 변위, 속도 관계식 (6)으로 표현할 수 있으며 유체가진력 F_x, F_y는 원주 둘레에 대한 섭동 압력항으로 적분하여 구할 수 있다.

Fig. 3. Elliptical orbit motion of system.

\(\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}-F_{x} \\ -F_{y}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}C & c \\ -c & C\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}\dot{x} \\ \dot{y}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}K & k \\ -k & K\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right\}\\\end{aligned}\)       (6)

2-2. 회전체동역학 모델

회전체동역학 해석을 위해 유한요소 모델링을 하였으며 베어링과 씰의 강성 및 감쇠 그리고 자이로스코픽(gyroscopic) 효과를 고려하였다. 회전체 시스템의 운동 방정식은 식 (7)과 같이 나타낼 수 있다.

\(\begin{aligned}[\mathrm{M}][\ddot{\mathrm{Q}}]+[\mathrm{C}][\dot{\mathrm{Q}}]+[\mathrm{K}][\mathrm{Q}]=[\mathrm{F}]\\\end{aligned}\)       (7)

회전체를 지지하는 두 베어링은 선형 스프링(spring)과 댐퍼(damper)로 가정하였다.

본 연구에서 사용한 회전체 모델은 Fig. 4와 같이 총 15개의 노드로 구성된다. 4, 7, 10, 12번 노드에 디스크(Disk)가 존재하며 그중에 2번째 디스크(7번 노드)에는 래버린스 씰이 존재한다. 또한, 회전체를 지지하는 베어링이 2번, 14번 노드에 존재한다.

Fig. 4. Finite element model of rotor-seal-bearing system.

유한요소 모델을 이용한 조화응답해석(harmonic response)을 통해 회전체의 동특성 및 안정성 분석을 수행할 수 있으며 시스템의 조화응답해석에 필요한 불균형량은 API 684에서 권고하는 식 (8)을 활용하여 계산하고 씰이 있는 7번 노드에 위치시켰다[20].

\(\begin{aligned}U=6350(\frac{M_r}{N})\end{aligned}\)       (8)

3. 래버린스 씰 설계

3-1. 회전체동역학적 성능지표 선정

회전체 시스템의 동적 안정성을 만족하는 래버린스 씰을 설계하기 위해 선정된 성능지표 항목은 다음과 같다[20].

1. 유효감쇠계수(effective damping, C_eff)

2. 증폭 계수(amplification factor, AF)

3. 분리 여유(separation margin, SM)

4. 대수감쇠율(logarithmic decrement, δ)

5. 진동진폭(vibration amplitude)

유효감쇠계수는 씰의 동적 안정성을 평가할 때 사용되며 로터가 Ω의 주파수로 전방 원형 휘돌림 (forward circular whirling)을 한다고 가정한다. 그 값이 음수이면 시간이 시스템의 감쇠를 감소시켜 진동진폭을 증가시키며 회전체 시스템을 불안정하게 만든다. 유효감쇠계수는 식 (9)를 사용하여 계산할 수 있다.

\(\begin{aligned}C_{e f f}=C-\frac{k}{\Omega}\\\end{aligned}\)       (9)

증폭 계수는 위험속도 부근에서 상대적인 진동진폭의 크기를 나타내는 성분이다. 증폭 계수가 2.5 이하이면 시스템의 감쇠가 충분한 것으로 간주하여 분리여유 분석이 필요하지 않다. 또한, 증폭 계수가 8 이상이면 시스템을 점검하거나 재설계할 필요가 있다. 증폭 계수는 식 (10)을 통해 계산할 수 있다[20].

\(\begin{aligned}AF=\frac{N_{C1}}{N_2-N_1}\end{aligned}\)       (10)

분리 여유는 위험속도와 운전속도의 상대적인 차이를 나타내며 증폭 계수가 2.5 이상이고 해당 위험속도가 운전속도 미만일 경우 식 (11)을 통하여 계산된 값과 16중 작은 값보다 커야 한다. 또한, 증폭 계수가 2.5 이상이고 위험속도가 운전속도를 초과한 경우 식 (12)로 계산된 값과 26중 작은 값보다 커야 한다[20].

\(\begin{aligned}SM_1=17(1- \frac{1}{AF-1.5})\end{aligned}\)       (11)

\(\begin{aligned}SM_2=10+17(1-\frac{1}{AF-1.5})\end{aligned}\)       (12)

대수감쇠율은 자유진동에서 진동진폭이 감소하는 비율을 나타낸다. 따라서, 대수감쇠율이 음수이면 진동진폭이 시간에 따라서 증가하므로 시스템이 불안정해진다.

API 684는 시스템의 충분한 감쇠를 보장하기 위해 대수감쇠율이 0.1 이상이 되어야 한다고 기술한다. 따라서 본 연구에서는 대수감쇠율이 0.1 이상일 경우 시스템이 안정적이라고 판단하였다. 대수감쇠율은 식 (13)을 통해 계산할 수 있다[20].

\(\begin{aligned}\delta=-\frac{2 \pi \alpha_{r}}{\left|\omega_{d}\right|}\\\end{aligned}\)       (13)

최대진동진폭은 위험속도에서 발생하는 시스템의 최대 진동 변위를 나타내며 최대진동진폭이 씰 간극보다 크면 씰이 마모된다. 이를 방지하기 위해서 최대진동진폭은 씰 간극의 75% 미만으로 유지되어야 한다[20].

3-2. 래버린스 씰 최적 설계

3.1절에서 언급한 회전체동역학적 성능지표를 만족하는 래버린스 씰을 설계하기 위하여 반복계산의 속도를 가속시키는 멀티그리드(multi grid) 방법을 사용하였다.

Fig. 5는 래버린스 씰 설계를 위한 알고리즘을 나타내며 Table 1은 회전체를 구성하는 각 요소의 기하학적 치수 및 운전조건을 나타낸다. 또한, 래버린스 씰의 설계 변수를 Table 2에 나타내었으며 씰의 설계변수는 2번 디스크의 기하학적 형상을 고려하여 선정하였다.

Fig. 5. Flow chart of rotordynamic stability analysis.

Table 1. Structure parameters and operation conditions

Table 2. Labyrinth seal design variables

씰의 설계변수는 잇수, 이 피치, 이 높이, 이 두께 그리고 프리스월 비로 선정하였다. 총 12,500개의 래버린스 씰 모델에 대한 수치해석 결과와 이를 기반으로 한 회전체시스템의 동적 안정성 분석을 통하여, 누설량과 회전체동역학적 성능지표 항목을 만족하는 래버린스 씰을 설계하였다.

마지막으로, 본 연구는 정규화 방법을 이용하여 시스템 요구조건에 따른 최적의 래버린스 씰을 선정하였다. 정규화 방법은 데이터를 규칙에 따라 변형한 후 최적의 순위를 결정하는 방법이다. 따라서 0에서 1 사이의 값으로 출력되는 각각의 출력값에 시스템 요구조건에 따른 가중치를 곱한 후 더하면 래버린스 씰의 최적화 순위를 결정할 수 있다.

4. 결과 및 고찰

4-1. 매개변수 해석

래버린스 씰에서 5개의 설계변수 변화가 누설유량과 유효감쇠에 미치는 영향을 조사하기 위하여, 각 설계변수 변화에 따른 성능변화를 Fig. 6과 Fig. 7에 나타내었다. 예를 들어 Fig. 6 (a)는 이 높이 변화에 따른 누설량 변화를 나타내는데, 이는 씰 이 높이(tooth height)가 고정된 상태에서 다른 설계변수 변화에 따른 누설량을 평균한 값이다. 정상상태 누설유량 방정식 (3)에는 이 높이와 프리스월 비가 고려되지 않기 때문에 이 높이와 프리스월 비의 변화에도 누설유량이 일정하였다. 하지만 프리스월 비가 증가하면서 연성강성계수가 함께 증가하여 유효감쇠계수가 선형적으로 감소하였다. 또한, 이 높이가 증가하면서 유효감쇠계수가 크게 감소하며 그 변화 기울기가 점차 감소하였다.

Fig. 6. Effect of labyrinth seal parameters on leakage flow.

Fig. 7. Effect of labyrinth seal parameters on effective damping coefficient.

잇수가 증가함에 따라 누설유량은 감소하였다. 그 이유는 잇수가 증가하면서 각 공동 사이의 압력 차이가 감소하기 때문이다. 유효감쇠계수는 잇수의 변화에도 약 150 (N·s/m)에서 일정함을 보였다. 이 두께가 증가함에 따라 누설유량과 유효감쇠계수가 증가하지만 그 증가량은 미미하였다. 이 피치가 증가함에 따라 누설유량과 유효감쇠계수는 함께 증가하였다.

4-2. 시스템 성능평가

Fig. 8은 시스템의 누설유량과 시스템 성능지표 항목에 대한 확률 분포도를 나타낸다. Fig. 8을 살펴보면 누설유량의 경우, 0.07 (kg/s) 이상을 제외하고 대부분 결과가 골고루 분포하였다. 유효감쇠계수의 경우, 50~100 (N·s/m)에서 가장 많은 결과를 나타냈으며 다중격자 방법에서 약 15.85%(1,983개)의 래버린스 씰 모델이 음수의 유효감쇠계수 결과를 얻어 불안정하다고 판단되었다. 분리여유의 경우, 최대값이 15.9%이다. 대부분의 시스템 위험속도가 약 1,000 (rpm)에서 발생하는 것을 고려하면 모든 시스템이 안정적이라고 판단할 수 있다. 하지만 증폭계수의 경우, 90.8%(11,350개)의 시스템이 8 이상의 결과를 얻어 불안정하다고 판단하였으며, 시스템 성능지표에 의해 분리여유도 함께 불안정하다고 판단되었다. 대수감쇠율의 경우 0.04~0.05에서 결과가 대부분 이었으며 91.28%(11,410개)의 시스템이 불안정하다고 판단되었다. 최대 진동 진폭은 48.08%(6,010개)의 시스템이 0.29(mm)이상의 결과를 얻었으며 약 16.89%(2,111개)의 시스템이 안정적이라고 판단되었다.

Fig. 8. Distribution of stability analysis results.

결과적으로, 총 12,500개의 래버린스 씰 모델 중에서 101개가 회전체동역학적 성능지표를 모두 만족하였다.

4-3. 최적 형상 결과

Table 3은 시스템 성능 요구조건에 따라 선정된 래버린스 씰 모델을 나타내며 시스템 요구조건은 다음과 같다.

Table 3. Optimal labyrinth seal results

Case. 1 : 시스템 효율 최대화

Case. 2 : 시스템 감쇠율 최대화

Case. 3 : 위험속도 증폭계수 최소화

Case. 1에서는 시스템의 누설유량을 최소화하여 시스템의 효율을 최대화하는 래버린스 씰을 선정하였다. 따라서 누설유량 0.8, 대수감쇠계수 0.2의 가중치를 적용하여 최적화 순위를 결정하였다. 그 결과 최적의 설계조건은 프리스월 비 0, 잇수 8개, 이 피치 5 (mm), 이 높이 1 (mm) 그리고 이 두께 0.2 ~ 1 (mm)로 선정되었다. Case. 2 조건은 유효감쇠계수를 최대화하고 시스템의 감쇠율을 최대화하는 래버린스 씰을 선정하였다. 따라서 유효감쇠계수 0.8, 누설유량 0.2의 가중치를 적용하여 최적화 순위를 결정하였다. 그 결과 최적의 설계조건은 프리스월 비 0, 잇수 8개, 이 피치 5 (mm), 이 높이 1 (mm) 그리고 이 두께 1.2 ~ 2 (mm)로 선정되었다. Case. 3에서는 증폭계수를 최소화하고 충분한 분리여유를 얻는 래버린스 씰을 선정하였다. 따라서 증폭계수 0.8, 누설유량 0.1, 유효감쇠계수 0.1의 가중치를 적용하여 최적화 순위를 결정하였다. 그 결과 최적의 설계조건은 프리스월 비 –0.5, 잇수 5개, 이 피치 5 (mm), 이 높이 1 (mm), 이 두께 0.2 ~ 1 (mm)로 선정되었다.

5. 결론

본 연구는 누설 성능과 회전체동역학적 성능을 동시에 만족하는 래버린스 씰의 설계방법을 제안하였다. 한개의 제어체적 (1 control volume) 모델을 이용하여 씰을 모델링 하였으며, 이를 통하여 누설유량과 동특성계수를 예측하였다. 회전체는 유한요소법으로 모델링 하였으며, 선형화된 두 개의 베어링에 의해 양 끝단에서 지지된다고 가정하였다. 1개의 래버린스 씰은 회전체의 중앙에 위치되었으며, 씰 수치 모델로 예측된 선형화 된 동 특성 계수는 회전체의 씰 위치에 선형스프링 및 감쇠기로써 삽입되었다. 회전체의 형상, 재질 및 운전조건, 그리고 베어링 지지 특성은 고정되었다. 다중격자법을 사용하여 다섯가지 씰 설계변수를 변화시켜 가며 씰의 누설성능과 회전체의 동역학적 성능을 모두 만족하는 씰의 모델을 탐색하였다. 5개의 씰 설계 변수는 pre-swirl ratio, number of teeth, seal tooth pitch, seal tooth height, and seal tooth tip width 이며, 총 12,500가지의 씰 모델에 대해 검사 한 후 시스템 성능지표 항목을 만족하는 래버린스 씰을 선정하였다. 그 결과 총 12,500개의 래버린스 씰 중에서 101개가 성능지표 항목을 모두 만족하였다. 마지막으로, 시스템 사용 요구조건에 따른 최적의 래버린스 씰을 선정하기 위해 정규화 작업을 수행하였다. 그 결과를 정리하면 다음과 같다.

1. 시스템의 효율을 최대화하는 최적의 설계조건은 프리스월 비 0, 잇수 8개, 이 피치 5 (mm), 이 높이 1 (mm) 그리고 이 두께 0.2 ~ 1 (mm)로 선정되었다.

2. 시스템 감쇠율을 최대화하는 최적의 설계조건은 프리스월 비 0, 잇수 8개, 이 피치 5 (mm), 이 높이 1 (mm) 그리고 이 두께 1.2 ~ 2(mm)로 선정되었다.

3. 증폭계수를 최소화하고 충분한 분리여유를 얻기 위한 최적의 설계조건은 프리스월 비 –0.5, 잇수 5개, 이피치 5 (mm), 이 높이 1 (mm), 이 두께 0.2 ~ 1 (mm)로 선정되었다.