Measurements and Predictions of Rotodynamic Performance of a Motor-Driven Small Turbocompressor Supported on Oil-Free Foil Bearings

무급유 포일 베어링으로 지지되는 소형 전동 압축기의 회전체동역학 성능 측정 및 예측

Abstract

This study presents experimental measurements of the rotordynamic performance of a motor-driven small turbocompressor supported by gas beam foil journal bearings (GBFJBs) and compares the test results with the predictions of a computational model. The experiments confirmed that the rotational synchronous frequency component dominates the behavior of the overall rotor vibrations, whereas the nonsynchronous components are insignificant, indicating the rotor-bearing system remains stable up to 100 krpm. The undamped natural frequency and imbalanced response of the rotor-bearing system are predicted when integrating the finite element model of the rotor-bearing system with the predictions of the bearing dynamic coefficients. The results are in good agreement with the experimental results. In addition, base excitation test results show that the small turbocompressor can endure large external forces and demonstrate limited rotor amplitudes. A simple single degreeof-freedom rotor model using the nonlinear stiffness of the GBFJBs can effectively predict the test results.

1. 서론

가스 포일 베어링(Gas Foil Bearing, GFB)은 무급유윤활 특성과 오일 베어링 및 구름 요소 베어링에 비해 상대적으로 작은 마찰을 갖기 때문에 소형 고속 회전기기에 널리 사용되고 있다. 이러한 가스 포일 베어링은 윤활 유체로 공기를 사용하기 때문에 오일 베어링에 비해 작은 강성과 감쇠를 갖는다. 이러한 특성은 가스 포일 베어링이 적용된 회전체 시스템이 고유진동수를 통과하거나 회전체 시스템에 외란이 가해질 때 회전체동역학 안정성에 불리하게 작용될 수 있다. 따라서 가스 포일 베어링을 회전체 시스템에 적용하기 위해서는 회전체-베어링 시스템(rotor-bearing system)의 회전체동역학적 안정성에 대한 예측과 검증이 필요하다. 이에 따라 가스 포일 베어링을 회전체에 적용하기 위한 많은 연구들이 진행되어왔다. Heshmat[1]은 두 장의 범프포일을 갖는 이중범프포일 저널 베어링을 통해 가스 포일 저널 베어링의 하중 지지 능력이 향상됨을 정하중 실험을 통해 보였다. Kim등[2]은 한 장의 범프포일과 두 장의 범프포일을 갖는 가스 포일 저널 베어링을 실험적으로 비교하였으며 두 장의 범프포일을 사용할 경우 회전축의 부상속도(lift- off speed)는 감소하고 하중지지능력은 향상됨을 보였다. Lee등[3]은 범프포일과 탑포일 사이에 점탄성 물질을 추가하여 기존 베어링에 비해 강성과 감쇠를 증가시킬 수 있음을 보였다. 또한 점탄성 물질이 추가된 베어링을 사용하여 임계속도 이상의 속도에서 진동 진폭을 감소시키고 비동기 진동성분을 감소시킬 수 있음을 보였다. Kim등[4]은 두 장의 탑포일을 사용한 멀티레이어 가스 포일 저널 베어링(Multi-layer GFJB)을 개발하였다. 또한 실험을 통해 두 장의 탑포일을 갖는 멀티레이어 가스 포일 저널 베어링의 구조 손실 계수가 기존 베어링보다 높게 측정되어 멀티레이어 가스 포일 저널 베어링의 마찰 감쇠 성능이 더 우수함을 보였다. Baek등[5]은 단일 포일에 서로 다른 길이의 외팔보 형태의 빔을 형성 시켜 비선형 강성 특성과 예압 효과를 발생시키는 빔 포일 베어링을 소개하였으며 구조특성에 관한 연구를 수행하였다. Radil등[6]은 예압(preload)을 통해 가스 포일 저널베어링의 간극(clearance)을 조정하여 하중지지능력을 향상시킬 수 있음을 실험적으로 보였다. Kim과 San Andreas [7]는 범프포일과 탑포일 사이에 120도 간격으로 심을 추가한 가스 포일 저널 베어링의 해석 모델을 개발하였으며 심을 통해 가스 포일 저널 베어링의 유체동압성능을향상시켜 고속회전시 발생하는 회전체동역학적 불안정성을 감소시킬 수 있음을 보였다. Lee등[8]은 멀티 레이어 가스 포일 저널 베어링으로 지지되는 공기압축기 의회 전체 동역학적 성능 예측을 수행하였으며 고속구동 시험을 통해 해석 결과와 비교 검증하였다. Hwang등[9, 10] 은 탑포일과 범프포일 사이에 심포일(shim foil)을 추가한 가스 포일 저널 베어링을 소개하였으며 수학적 모델링을 통해 정적/동적 하중에 대한 성능 해석을 수행하였다. 또한 심포일을 갖는 가스 포일 저널 베어링을 공기압축기에 적용하여 회전체동역학적 성능을 평가하고 해석 모델을 검증하였다. 또한 Kim등[11]은 참고문헌[10] 에 사용된 공기압축기를 수소 전기 자동차에 적용하여 NVH(noise, vibration, and harshness) 특성에 관한 연구를 수행하였으며 가스 포일 저널 베어링으로 지지 되는 공기압축기가 이동수단에 적용될 수 있음을 보였다. San Andreas등[12]은 가스 포일 저널 베어링으로 지지되는 회전축에 불평형질량(imbalance mass)을 증가시키며 가스 포일 저널 베어링의 회전체동역학 특성을 측정하였다. 실험 결과 회전축의 불평형질량 증가에 따른 가스 포일 저널 베어링의 비선형 진동 특성을 확인하였으며 가스 포일 베어링을 사용한 회전체-베어링 시스템의 진동 예측을 위해서 가스 포일 베어링의 특성을 포함한 비선형 해석 모델이 필요함을 보였다. San Andreas와 Kim[13]은 가스 포일 저널 베어링의 정특성 실험 결과를 통해 비선형 강성이 포함된 비선형 진동 예측 모델을 개발하였으며 참고문헌[12]의 실험결과와 비교하여 해석 모델을 검증하였다. Kim등[14]은 참고문헌[8]에서 사용된 공기압축기의 바닥가진 실험을 통해 외란에 대한 회전체-베어링 시스템의 회전체동역학적 안정성 평가를 수행하였다. 실험을 통해 회전체-베어링 시스템의 비선형 진동 특성을 확인하였으며 바닥가진 실험을 모사한 해석 모델을 통해 비선형 진동을 예측하였다.

본 논문은 참고문헌[5]에 소개된 단일 포일을 사용하면서도 비선형 강성 특성과 예압 효과를 가질 수 있는 가스 빔포일 베어링을 공기압축기에 적용하여 회전체 동역학 성능을 측정하고 해석 모델과 비교하였다.

2. 회전체동역학 성능 실험

2-1. 질량불평형 응답 실험

Fig. 1은 본 논문에서 사용한 빔포일을 갖는 가스 포일 저널 베어링(Gas Beam Foil Journal Bearing, GBFJB) 의 개략도이다. 베어링은 각각 세장의 탑포일과 빔 포일을 가지며 포일들은 도브 테일 그루브(dove tail groove) 에 끼워진다. 이때 빔포일의 빔 부위는 구부러지지 않고 베어링 내면에 지지된다. 빔포일 베어링은 단일 포일에 높이와 강성이 다른 빔을 형성하여 비선형 강성과 예압효과를 발생시키며 자세한 빔포일의 형상과 구조 특성은 참고문헌[5]에 나와 있으므로 생략하기로 한다.

Fig. 1. Schematic view of GBFJB (left) and beam foil (right)[5].

Fig. 2는 가스 빔포일 저널 베어링의 회전체동역학 특성을 측정하기 위해 적용된 소형 터보 공기압축기 시스템의 개략도를 보여준다. 회전축의 양 단에 위치한 두 개의 가스 빔포일 저널 베어링이 반경방향 하중을 지지하며, 한 개의 임펠러(impeller)의 반대쪽 끝단에 설치된 범프 타입의 가스 포일 스러스트 베어링은 축방향 하중을 지지한다. 임펠러 끝단의 체결 볼트에는 수직방향(vertical), 수평방향(horizontal), 그리고 축방향 (axial)의 진동 변위를 측정하기 위한 와전류식 변위 센서를 설치하였다. 압축기에 대한 자세한 사항은 참고문헌[10]에 기재돼있다.

Fig. 2. Schematic view of small turbocompressor supported by GBFJBs.

Fig. 3은 고속 구동 실험 시 임팰러 끝단에서 측정된 회전축의 수직방향의 pk-to-pk 진동 변위를 워터폴(water fall)형식으로 보여준다. 실험은 고속 전동기의 기저 회전속도(15 krpm)에서 최대 회전속도(100 krpm)까지 1초 동안 급가속과 30초 동안 완가속 하며 수행되었으며 최고속도 구동 이후 전동기 전원을 제거하여 회전축을 자유 감속(cost down)하여 정지시켰다. 수평방향의 진동 변위는 수직 방향과 유사한 경향을 보여 생략하였다. 실험 결과 회전축의 진동 변위는 가속 시간에 관계없이 회전 동기 진동 주파수 성분(synchronous, 1x)이 가장 크게 나타나며 그 외의 비동기 진동 주파수 성분(non-synchronous) 과 고주파 조화 진동 성분(super-synchronous)은 상대적으로 매우 작게 측정되었다. 회전 동기 진동 주파수 성분은 회전축의 불평형질량에 의한 진동 성분으로 회전축의 밸런싱(balancing) 작업을 통해 진동 크기를 감소시킬 수 있다. 또한 회전축의 진동 변위와 경향은 가속 시간에 관계없이 일정함을 보여 회전체-베어링 시스템이 각가속도에 관계없이 회전체동역학적으로 안정됨을 확인했다. 압축기 급가속 및 완가속 시와 전원을 제거한 후의 자유감속 시 진동 변위 크기가 서로 차이를 보이는데 이는 압축기 모터의 전자기력에 의한 진동 변위의 영향으로 사료된다.

Fig. 3.Waterfall plots of rotor displacement in vertical direction measured during acceleration test : (a) rapid and (b) slow accelerations.

Fig. 4는 고속 전동기의 최대 회전속도에서 전원을 제거하여 자유감속하는 동안 측정된 자유감속 시간에 대한 회전축의 회전속도를 나타낸다. 회전축은 전원 제거 이후 약 9.7초간 자유감속 하여 회전속도에 따라 유체동압윤활(hydrodynamic lubrication)영역과 혼합윤활(mixed lubrication)영역 그리고 경계윤활(boundary lubrication) 영역을 보이며 정지하였다. 실험 결과 회전속도 40 krpm 이상의 영역에서는 임펠러의 공력 저항에 의해 회전속도가 빠르게 감소한다[10]. 이후 회전속도 9 krpm ~ 40 krpm 의 유체동압윤활 영역에서베어링의 유체전단력에 의해 지수적으로 감소함을 보인다. 이후 회전속도가 지수함수 형태에서 건마찰(dri-friction)에 의한 일차 함수의 형태로 전환하는 혼합윤활 영역을 보이며 약 3.6 krpm 이하의 경계윤활 영역에서 회전축과 베어링이 완전 접촉(touch- down)하여 회전속도가 빠르게 감소함을 보인다[15].

Fig. 4. Measured rotor speed versus time during coast down test.

Fig. 5는 빔포일 베어링과 참고문헌[9, 10]에서 사용된심포일을 갖는 범프포일 베어링이 사용된 고속 전동기의 자유감속 시간에 따른 회전축 회전속도를 비교하여 보여 주며 두 베어링 모두 동일한 표면코팅을 가지며 동일한 시간의 길들이기(running-in) 이후 실험을 수행하여 비교를 수행하였다. 두 베어링 모두 회전속도가 감소함에 따라 유체동압윤활 영역, 혼합윤활 영역, 경계윤활 영역을 보이며 정지함을 확인할 수 있다. 또한 회전축과 베어링이 완전히 접촉하는 터치다운(touch-down)은 각각 8.7 krpm과 3.6 krpm으로 빔포일 베어링의 유체 윤활 막이 더 낮은 속도에서 형성되며 부상성능이 더 우수함을 의미한다. 범프포일 베어링의 경우 터치다운 이후 회전속도가 빔포일 베어링에 비해 급격히 감소함을 보이는데 이는 3개의 패드(Pad)를 갖는 빔포일 베어링의 회전축과 베어링 간의 마찰 면적이 더 작기 때문으로 사료된다.

Fig. 5. Comparison of measured rotor speed versus time during coast-down test for beam and bump foil bearings.

2-2. 질량불평형 응답 선형 해석

Fig. 6은 실제 축계를 바탕으로 회전체동역학 성능 예측을 위해 수행한 유한요소 해석 모델을 나타낸다. 해석모델은 총 29개의 절점을 가지고 있으며 복잡한 형상의 임펠러는 무게 중심에 위치한 질량과 관성모멘트로 모사하였다. 회전축의 총 질량은 0.69 kg(6.78 N)이며 총길이는 197.8 mm이다. 회전축은 양단의 가스 빔포일 저널 베어링으로 지지되며 이때 양 베어링에 부가되는 하중은 각각 3.40N과 3.38N으로 유사하다. 양단의 저널베어링에 부가되는 정적 하중 수준이 서로 유사하고 회전축이 굽힘모드 고유진동수 이하에서 작동하기 때문에, 해석 모델은 스러스트 베어링에 의한 굽힘 모멘트가 반경 방향 진동 변위에 미치는 영향은 작다고 가정하여 고려하지 않았다[10]. 질량 불평형 응답 예측을 위한 불평 형질량의 위치가 그림에 표시되어 있으며 그 크기와 위상은 Table 1에서 확인할 수 있다.

Fig. 6. Finite element model of rotor-GBFJBs system for turbocompressor.

Table 1. Imbalance mass locations and phase

Fig. 7은 유한요소 모델링을 통해 해석된 회전축의 고유진동수 (free-free mode natural frequency)를 보여준다. 해석 결과는 회전축의 고유진동수가 정지 시에는 약 143 krpm(2383 Hz)이며, 회전속도의 증가에 따라 자이로 스코프 효과에 의해 점차 증가하여 약 155 krpm (2583 Hz) 에서 회전축의 동기 진동 (Synchronous vibration)과의 공진을 예측한다. 따라서, 최대 회전속도인 100 krpm (1667 Hz)과는 약 55%의 분리 여유를 보인다.

Fig. 7. Predicted rotor natural frequency versus rotor speed.

Fig. 8은 회전축-베어링 시스템의 회전체동역학 성능을 예측하기 위해 수행된 가스 빔포일 저널 베어링의 회 전속도에 대한 강성 및 감쇠의 예측 결과를 나타낸다. 베어링에 부가되는 축 하중은 3.4N을 사용하였으며 해석에 사용한 가스 빔포일 저널 베어링의 형상 치수 및 물 성치는 Table 2를 통해 확인할 수 있다. 베어링의 강성 및 감쇠는 포트란(fortran)기반의 자체 해석 프로그램을 사용하였으며 식 (1)의 등온, 등점성의 이상기체 레이놀 즈 방정식을 기반으로 한다. 이때 p, h, μ, Ω, R, t, x, z는 각각 압력, 유막두께, 점도, 회전축 각속도, 회전축 반 지름, 시간 그리고 각각 원주방향 좌표, 축방향 좌표를 나타낸다.

\(\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial x}\left(p h^{3} \frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(p h^{3} \frac{\partial p}{\partial z}\right) \\ &=6 \mu \Omega R \frac{\partial(p h)}{\partial x}+12 \mu \frac{\partial(p h)}{\partial t} \end{aligned}\)       (1)

Fig. 8. Predicted (a)stiffness and (b)damping coefficients versus rotor speed for GBFJB.

Table 2. Design parameters and material properties of GBFJB P

유막의 두께는 식(2)와 같으며 c_θ, e_x, e_y, θ, w_d는 각각 원주 방향 각도에 따른 윤활틈새, 수직방향 저널 편심량, 수평방향 저널 편심량, 원주방향 각도 그리고 빔포일 변형량을 나타낸다. 이때 베어링에 부가되는 정적 하중에 의한 빔포일 변형량(w_d)은 참고문헌[5]의 스프링 정적 강성 모델을 이용하여 구하며 베어링의 강성 및 감쇠는 참고문헌[16]의 모델을 통해 계산된다.

\(\begin{aligned} h=c_{\theta} &-e_{X} \cos (\Theta-\pi) \\ &+e_{Y} \sin (\Theta-\pi)+w_{d} \end{aligned}\)       (2)

예측 결과 모든 회전속도에서 하중 방향의 직교 강성 (K_XX)과 직교 감쇠(C_XX)가 가장 크게 나타남을 보여준다. 가스 빔포일 저널 베어링의 강성과 감쇠 성분은 회전속도가 증가함에 따라 크기가 감소하며 해석 구간 내에서 모두 양의 값을 갖는다. 또한 감쇠 계수의 경우 해석 구간 내에서 모든 성분이 양의 값으로 예측되었다.

Fig. 9는 회전속도에 따른 베어링의 강성 및 감쇠계수 를 유한요소 모델링에 적용한 회전체-베어링 시스템의 회 전속도에 따른 강체모드 고유 진동수를 보여준다. 고유 진동수 해석 결과 회전체-베어링 시스템의 1차 임계속도 (1st critical speed, cylindrical mode)는 4 krpm에 위치하고 2차 임계속도(2nd critical speed, conical mode)는 14 krpm에 위치하여 해당 임계속도 부근에서 공진으로 인해 회전축 진동 변위가 증가할 수 있음을 보인다.

Fig. 9. Predicted damped natural frequency for rotorGBFJBs system.

Fig. 10은 유한요소 모델에 불평형질량을 위치시켜 예측된 회전속도에 따른 불평형질량 응답과 자유감속 시 측정된 회전동기 진동성분의 비교를 보여준다. 비록 압축기 공간의 제약으로 인해 진동 위상을 측정하지 못하여 회전축의 런아웃(runout) 제거를 수행하지 못하였으 나, 질량 불평형 응답 해석 결과는 측정된 실험결과를 잘 예측함을 보인다. 질량 응답 예측 결과 1차 임계속도와 2차 임계속도 부근에서 공진으로 인한 진동변위 상승이 예측되었으며 회전속도가 증가함에 따라 진동 변위가 감 소함을 보인다. 실험결과와 비교하였을 때 2차 임계속도의 위치와 진동 변위가 유사하게 예측됨을 보인다. 1차 임계속도의 경우 회전축이 유체동압으로 완전히 부상하 기 이전 영역으로 회전축의 진동 변위가 상승하다 회전 축 완전 부상 이전 영역에서는 감소함을 보인다.

Fig. 10. Comparison of predicted imbalance response and measured synchronous rotor motion for rotor- GBFJBs system.

2-3. 바닥 가진 응답 실험

바닥 가진 응답 실험은 동적 외란에 대한 회전체-베어 링 시스템의 회전체동역학적 응답 특성 평가에 그 목적이 있다. 기저 회전속도인 15 krpm(250 Hz)로 회전중인 압축기의 바닥판을 수직방향으로 가진한 후 회전축의 진 동 변위를 측정하는 방법으로 수행하였다. 회전축의 진동 변위를 측정하기 위한 센서의 종류와 위치는 앞선 고속 구동 시험과 동일하다. 바닥가진은 2G ~ 10G의 가속도 범 위에서 수행하였으며 10 Hz ~ 200 H의 주파수 범위로 가진 하였다. Fig. 11은 8G의 가진력으로 가진 하였을 때의 회전축의 진동 변위를 보여준다. 가진력의 방향과 동일한 수직방향의 진동변위가 지배적임을 알 수 있다. 또한, 주 파수 분석을 통해 바닥가진 주파수 동기 성분(ωexcitation)과 회전 동기 주파수 성분(ωdriving)이 가장 우세하게 나타남을 확인할 수 있다. 바닥가진 주파수의 배수 성분의 경우는 300Hz이상에서 그 응답이 증폭되는데 이는 회전체-베어 링시스템의비선형고유진동수(nonlinear natural frequency) 가 해당 구간에 위치하기 때문으로 사료된다.

Fig. 11. Measured rotor displacement (a)base excitation synchronous responses and (b)waterfall plot in vertical displacement. Dynamic force of 8 G.

Fig. 12는 2G, 8G, 그리고 10G로 가진하였을 때 측정 된 주파수에 따른 수직방향 바닥가진 주파수 동기 진동 변위를 나타낸다. 실험 결과 가진력이 증가할수록 진동변위가 증가하는 경향을 보이며 주파수가 증가할수록 진동 변위가 소폭 증가하는 경향을 보인다. 해당 주파수 구간 내에서 진동 변위가 커지는 공진 발생은 관찰되지 않았다.

Fig. 12. Measured rotor displacement versus excitation frequency for increasing dynamic forces of 2G, 8G and 10G in vertical direction.

2-4. 바닥 가진 응답 비선형 해석

압축기의 바닥가진 응답을 효과적으로 예측하기 위해서 단순화된 1자유도 해석 모델을 적용하다. 2.2절에서 질량불평형 응답을 정확히 예측하기 위해 사용한 유한요소 선형모델과 달리 1 자유도 모델은 회전축의 원추형모드 (Conical mode)진동을 예측할 수는 없지만 바닥가진을 통해 원통형 모드 (Cylindrical mode)의 진동이 지배적일 경우에는 적용이 가능하며, 특히 가스 포일 베어링 특유의 비선형 강성에 따른 진동 영향을 고찰할 수 있는 장점을 고려하였다.

Fig. 13은 바닥가진 실험을 모사한 1자유도 해석 모델과 좌표를 나타낸다. 바닥가진 수직 변위(y)가 발생하였을 때 회전축 질량(M)의 수직 방향 (x) 운동방정식은 식 (3)과 같다[17].

\(\ddot{M x}+C(\dot{x}-\dot{y})+K(x-y)=0\)       (3)

Fig. 13. Simple model of rotor-GBFJBs system with base excitation.

여기서 C와 K는 각각 가스 빔포일 베어링의 강성과 감쇠를 나타낸다. 가진 실험 시 회전축의 변위는 실험장치에 설치된 변위 센서를 통해 측정된 상대진동이므로 식 (3)을 상대진동(x1 = x − y)에 관해 정리하면 식 (4)와 같다.

\(\begin{aligned} &M \ddot{\ddot{x}}+F_{\text {bearing }}\left(\dot{x}_{1}, x_{1}\right) \\ &=-M \ddot{y y}=M A_{y} \sin (\omega t) \end{aligned}\)       (4)

\(F_{\text {bearing }}\left(\dot{x}_{1}, x_{1}\right)=\left(C \dot{x}_{1}+K x_{1}\right)\)이며 빔포일 저널 베 어링의 반력을 나타낸다. \(-M \ddot{y}=M A_{y} \sin (\omega t)\) 는 바닥 가진으로 인해 발생되는 동하중의 크기이다. 회전체-베어링 시스템은 두 개의 가스 빔포일 저널 베어링으로 지지되는 병렬 시스템으로 해석에는 50%의 회전축 질량 (M = 0.345 kg)을 적용하였다.

저널 베어링의 반력(Fbearing)은 실험을 통해 측정된 값에 기반하여 결정하였다. Fig. 14는 가스 빔포일 저널 베어링 탄성 구조체의 정하중 –변위 실험을 통해 측정된 데이터 [5]와 이를 3차 다항식으로 Curve-fit된 결과를 보여준다. Curve-fit을 위해 내부 간극을 편측 기준 약 30μm를 제거 하였다[14]. 구조손실계수(γ)를 적용해 등가감쇠를 추가한 베어링 반력\(\left(F_{\text {bearing }}\left(\dot{x}_{1}, x_{1}\right)\right)\) 은 식 (5)와 같이 나타낼 수 있다[18]. Fig. 14의 다항식 수식 (x: displacement y: static load, K1 = 3.48 × 104 N/m, K2 = 9.26 × 107 N/m2 , K3 = 2.14 × 1014 N/m3 )으로부터 베어링의 반력은 회전축의 상 대 변위(x1)와 비선형 관계임을 알 수 있다.

\(\begin{aligned} &\quad F_{\text {bearing }}\left(\dot{x}_{1}, x_{1}\right) \\ &=\frac{K_{1} \gamma}{\omega} \dot{x}_{1}+K_{1} x_{1}+K_{2} x_{1}^{2}+K_{3} x_{1}^{3} \\ &\text { Where, } K_{1}=3.48 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \\ &K_{2}=9.26 \times 10^{7} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, K_{3}=2.14 \times 10^{14} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}, \\ &\gamma=0.5 \end{aligned}\)       (5)

Fig. 14. Static load versus displacement. Clearance of 30µm removed around the origin in displacement.

식 (5)를 식(4)에 대입한 후 질량불평형력을 추가하면 운동 방정식은 아래와 같다[14].

\(\begin{aligned} \ddot{M} x_{1} &+\frac{K_{1} \gamma}{\omega} \dot{x}_{1}+\left[K_{1} x_{1}+K_{2} x_{1}^{2}+K_{3} x_{1}^{3}\right] \\ &=M A_{y} \sin (\omega t) \end{aligned}\)       (6)

수치해석을 위해 \(x_{2}=\dot{x}_{1}\)으로 치환하여 미분 방정식을 상태 방정식(state equation)으로 표현하면 식 (7)과 같다.

\(\left\{\begin{aligned} \dot{x}_{1}=& x_{2} \\ \dot{x}_{2}=&-\frac{K_{1} \gamma}{M \omega} x_{2}-\frac{x_{1}}{M}\left[K_{1}+K_{2} x_{1}+K_{3} x_{1}^{2}\right] \\ &+A_{y} \sin (\omega t) \end{aligned}\right.\)       (7)

해를 구하기 위해 Runge-Kutta 기법[14,17]을 적용하여 유한 적분을 수행하였으며, 초기 변위와 속도는 모두 0으로 적용하였다. 식 (4)에 질량불평형력을 추가하면 식 (8)을 얻을 수 있다.

\(\begin{aligned} &M \ddot{x_{1}}+F_{\text {bearing }}\left(\dot{x}_{1}, x_{1}\right) \\ &=M A_{y} \sin \left(\omega_{\text {excitation }} t\right) \\ &\quad+M e \omega_{\text {driving }}^{2} \sin \left(\omega_{\text {driving }} t\right) \end{aligned}\)       (8)

e는 도심과 질량중심과의 거리(imbalance displacement)이며, 실험결과에 기반하여 5 μm를 적용하였다. 식(8)을 이용하여 바닥가진에 대한 특수해와 불평형질량에 대한 특수해를 각각 구한 후 중첩하여 최종해를 구하였다[17].

Fig. 15는 회전축의 진동 예측 결과를 Fig. 12의 2 G 와 8 G 실험결과와 비교하여 보여준다. 해석결과는 실험 결과와 대체적으로 잘 일치하며 가진력의 증가에 따라 회전축의 진동도 증가함을 보인다.

Fig. 15. Comparison of predicted rotor amplitude versus excitation frequency to test data for dynamic forces of 2G and 8G.

Fig. 16은 가진력 2G에서의 해석 결과와 실험 결과 워터폴 그래프를 비교하여 보여준다. 해석과 실험 모두 회전동기 진동 성분과 바닥가진 동기 진동 성분이 지배적으로 발생하는 것을 확인할 수 있으며 그 크기와 경향이 매우 유사함을 확인할 수 있다. 또한 2G 가진의 경우 해석과 실험 모두 200~250 Hz 근방에서 바닥가진 배수 성분의 응답이 커지는데 이는 고유진동수와의 공진에 따른 영향으로 사료된다.

Fig. 16. Waterfall plots of rotor displacements for excitation force of 2 G : (a) Nonlinear prediction and (b) Measured test data.

Fig. 17은 가진력 8G에서의 해석 결과와 실험 결과의 워터폴 그래프를 보여준다. 회전동기 진동성분과 바닥가진 동기 진동 성분이 지배적으로 발생함을 확인할 수 있으며 해석과 실험이 매우 유사함을 확인할 수 있다. 또한 실험과 해석 모두 임계속도로 인한 바닥가진 배수 성분 응답이 증폭되는 구간이 250 Hz 이상으로 이동한 것을 확인할 수 있는데 이는 진동변위 증가로 인한 베어링 강성 상승의 영향(Stiffening effect)으로 고유진동수가 비선형적으로 증가하였기 때문으로 사료된다.Fig. 15는 회전축의 진동 예측 결과를 Fig. 12의 2 G 선형적으로 증가하였기 때문으로 사료된다.

Fig.17. Waterfall plots of rotor displacements for excitation force of 8 G : (a) Nonlinear prediction and (b) Measured test data.

3. 결론

본 논문에서는 GBFJBs로 지지되는 고속 공기압축기의 회전체동역학 성능을 실험적으로 측정하였으며 해석 모델을 통해 결과를 예측한 후 비교하였다.

1. 가스 빔포일 저널 베어링으로 지지되는 회전체의 고속구동실험 결과 회전축의 진동 성분은 회전동기 성분이 지배적이며 비동기 진동 성분은 매우 작게 발생하여 회전체동역학적으로 안정됨을 보였다.

2. 유한 요소 모델을 이용하여 회전축의 임계속도를 예 측하였으며 실험과 비교하였을 때 그 크기와 경향이 유 사하여 해석 모델의 신뢰성을 검증하였다.

3. 바닥가진 실험 결과 회전축의 진동 성분은 바닥가진 주파수 동기 성분과 질량불평형에 따른 회전 주파수 동기 성분이 지배적으로 발생하였으며 바닥가진 동기 성분의 진동 진폭은 가진력이 증가함에 따라 증가하였다.

4. GBFJB의 강성 측정 결과를 이용한 비선형 해석을 통해 회전축의 진동 변위가 증가함에 따라 베어링 강성 이 증가하며 비선형 고유진동수 특성을 유추할 수 있다.

5. 압축기의 1자유도 비선형 해석 모델을 사용하여 수직 방향의 바닥가진 실험에 따른 회전축 진동 응답을 효과적으로 예측할 수 있다.