Improvement of Genetic Algorithm for Evaluating X-ray Reflectivity on Multilayer Mirror

다층박막 거울의 반사율 평가를 위한 유전 알고리즘의 개선

Abstract

Multilayer mirrors have widely been used not only in the industry but also in the medical field. X-ray reflectivity was measured by X-ray diffractometer to evaluate the performance of W/C multilayer mirror with 40 layers. Genetic algorithm are used to obtain thickness, density, and interfacial roughness for each of the 40 layers. The existing uniform random selection causes a problem that the solution does not converge or the error increases even if it convergence. To reduce the time to calculate the fitness of the genetic algorithm, the genetic algorithm was written in C/C++ parallel programming. The genetic algorithm showed excellent scalability of linear time increase with increasing number of generation and population. The genetic algorithm was selected with uniform and Gaussian randomness of 1:1 to improve the convergence of solution. The improved genetic algorithm can be applied to characterize each layer of a sample with more than a few tens of layers, such as a multilayer mirror.

다층박막 거울은 산업뿐만 아니라 의료 분야에서도 사용되고 있다. 층수가 40인 W/C 다층박막 거울의 성능을 평가하기 위해 엑스선회절분석기로 엑스선반사율을 측정하였다. 40층의 각 층에 대해 두께, 밀도, 계면거칠기를 획득하기 위하여 유전 알고리즘이 사용된다. 기존의 균일 무작위 선택을 하면 해가 수렴하지 않거나 수렴하더라도 오차가 커지는 문제가 발생하여 개선이 요구되었다. 유전 알고리즘의 적합도를 계산하는 시간을 단축하기 위해 C/C++로 병렬 프로그래밍하였다. 제작된 유전 알고리즘은 세대수의 증가와 개체군의 증가에 대해 선형적인 시간 증가를 보여 우수한 scalability를 보였다. 유전 알고리즘의 선택을 균일과 가우시안 무작위를 1:1로 하여 해의 수렴을 보다 안정적으로 개선하였다. 개선된 유전 알고리즘은 다층 박막 거울과 같이 층의 개수가 수십 층 이상이 되는 시료의 각 층의 특성을 파악하는데 적용할 수 있을 것이다.

Ⅰ. INTRODUCTION

엑스선 광학소자(X-ray optics)는 엑스선의 반사, 굴절, 회절, 간섭 등의 물리적인 성질을 이용하여 엑스선을 집속(focusing)하거나 대상 물질을 영상화(imaging) 하는데 사용된다. 엑스선 광학소자 중 다층박막 거울(Multilayer mirror)^[1]은 엑스선의 회절 또는 간섭의 성질을 이용하는 것으로 입사하는 다색의 엑스선 중 특정 파장 또는 에너지를 갖는 엑스선을 선택적으로 반사시킬 수 있어 산업뿐만 아니라 바이오 분야의 활용이 점차 증가하고 있다.^[2]

다층박막 거울은 중원소(High Z-material)와 경원소(Low Z-material)가 기판(Substrate) 위에 번갈아 증착되어 있는 구조이고 응용 분야에 따라 수십에서 수백 층 증착된다.^[3] 엑스선의 반사율은 각 층을 이루는 중원소와 경원소의 특성에 의하여 결정된다. 각층의 두께(Thickness), 밀도(Density), 계면거칠기(Interfacial roughness)가 주요 인자가 된다.^[4] 엑스선 응용에서는 각 층의 두께가 1-2 nm 정도로 매우 얇아 제작이 쉽지 않다.

제작된 다층박막 거울의 반사율을 평가하기 위해 엑스선회절분석기를 이용하여 엑스선 반사율을 측정한다.^[5] 엑스선회절분석기의 반사율 측정분석프로그램은 다층박막 거울의 중원소 층 모두는 동일한 두께, 밀도, 계면거칠기를 갖고 경원소 층도 모두 갖은 인자를 갖는다고 가정한다. 따라서 중원소 및 경원소 층의 각각 평균 두께, 밀도, 계면거칠기의 6개 인자로 측정된 반사율을 피팅(fitting)하여 역으로 반사율을 계산한다.^[6,7]

실제 다층박막 거울을 제작할 때 각각의 중원소와 경원소층은 모두 같은 두께, 밀도, 계면거칠기를 갖도록 제작하지만, 제작 과정에서 전기적인 오차, 기계적인 오차 등으로 인해 동일하지 않다. 이러한 오차는 1-2 nm의 두께를 갖는 박막층에서는 그 영향이 심각하므로 각 층을 분석하여 제작 또는 다층박막 설계에 되먹임(Feedback) 하여 성능을 높일 수있다.

중원소와 경원소 층끼리 모두 동일한 인자를 갖는다고 가정하는 것보다 각 층이 서로 다른 두께, 밀도, 계면거칠기를 갖는다고 하고 각 층의 특성을 분석할 필요가 있다. 엑스선회절분석기의 반사율측정분석 프로그램 중 유전 알고리즘(Geneticalgorithm) 기능은 이러한 요구를 위해 개발되었으나^[8,9] 층의 개수가 수 개의 경우에 적합하고 다층박막 거울과 같은 응용에서는 오히려 그 오차가 커 평균으로 구하는 방법보다 성능이 떨어지는 경우가 빈번하여 개선이 요구되어왔다. 본 논문은 바이오 또는 의료 분야의 응용을 위해 제작된 다층막거울의 반사율을 층마다 각각의 두께, 밀도, 계면거칠기를 갖는다고 가정하고 개선된 유전자 알고리즘으로 최적의 피팅이 가능하도록 개선하여 각층의 두께, 밀도, 계면거칠기를 평가할 수 있도록 하였다.

Ⅱ. MATERIAL AND METHODS

1. 연구 재료

엑스선회절분석기(PANalytical X'Pert Pro-MRD,Netherland)를 이용하여 17.5 keV의 몰리브덴(Mo) 특성 엑스선을 선택적으로 반사시킬 수 있는 텅스텐 20층과 탄소 20층으로 구성된 총 40층의 W/C다층박막 거울(50 mm × 50 mm)에 대한 반사율 측정 자료를 이용하였다. 다층박막 거울의 특성이 충분히 반영될 수 있도록 첫 번째 및 두 번째 브레그피크(Bragg peak)가 포함된 되도록 하였다.

Fig. 1은 측정된 다층박막 거울의 반사율을 그래프로 나타낸 것이다. 0.001도 간격으로 반사율을 측정하였다. 반사율의 범위가 넓어 분석에서는 측정값을 로그(log)를 취하여 다룬다.

Fig. 1. (a) W/C multilayer mirror of 40 layers and (b) the measured X-ray reflectivity.

2. 연구 방법

40개 층 각각의 두께, 밀도, 계면거칠기를 결정하기 위해서는 총 120개의 파라미터를 결정해야 한다. 많은 개수의 파라미터를 결정하기 위한 최적화기법 중 유전 알고리즘을 이용하였다. 유전 알고리즘은 자연계의 진화 원리를 모사한 것으로 선택(Selection), 교차(Crossover), 변이(Mutation)를 통해 최적의 유전자(Gene)를 찾아낸다.

다층박막 거울을 구성하는 각층의 주요 인자인 두께, 밀도, 계면거칠기를 유전자로 하고 40층에 해당하는 염색체(Chromosome)를 구성한다. 염색체에는 총 120개의 유전자로 구성된다. 세대(Generation)를 반복하여 측정된 다층박막 거울의 반사율과 계산한 반사율의 오차가 최소화되도록 최적의 염색체를 결정한다. 적합도(fitness)는 측정값과 이론값의 차이 제곱이 최소화되도록 아래와 같이 결정하였다.^[10]

\(\text { fitness }=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left(\log \left(y_{n}\right)-\log \left(\bar{y}_{n}\right)\right)^{2}\)        (1)

여기서 y_n과 \(\bar y_n\)은 n 각도에서 계산한 W/C의 이론적 반사율과 측정된 반사율을 나타낸다.

통상의 방법과 같이 최초 유전자를 무작위(Random)로 결정하면 기존의 엑스선회절분석기에 사용하고 있는 유전자 알고리즘과 같은 문제가 자주 발생한다.

최초 유전자 선택 방법을 변경하였다. 120개의 실수(Real number) 유전자를 가지는 염색체를 512개의 개체군(Population)으로 구성하였다.

이때 256의 염색체는 기존 방식과 같이 균일한 무작위로 결정하였다. 여기서는 다층박막 거울을 제작할 때 적용한 설계값(평균)을 중심으로 ± 0.3의 범위에서 무작위 값을 선택하였다.

나머지 256개의 염색체는 평균과 평균의 1/100의 표준편차를 갖는 가우시안(Gaussian)에서 무작위로 선택하였다. 이전 세대의 우수한 유전자가 다음 세대에 포함되도록 하고 확률적으로 선택, 교차, 변이과정을 거치도록 하였다.

한 세대에는 512개의 염색체가 있어 512개 염색체 각각에 대해 적합도를 계산해야 한다. 순차적으로 한 세대의 적합도를 계산할 수 있으나 512개의 염색체를 동시에 계산할 수 있도록 C/C++ 프로그램을 작성하였다. 100세대를 계산하고 이때의 최적염색체를 각각의 층이 갖는 두께, 밀도, 계면거칠기로 결정하였다.

Ⅲ. RESULT

1. Scalability

유전 알고리즘을 병렬(Parallel) 계산하여 시간을 줄이도록 프로그래밍하였다.

개체군을 512로 고정하고 세대수를 증가시키면 세대수에 따라 계산 시간이 선형적으로 증가하였다. 반대로 세대수를 100으로 고정하고 개체군의 개수를 2ⁿ으로 증가시켜도 Fig. 2와 같이 계산 시간이 선형적으로 증가하였다.

Fig. 2. Scalability for the coded parallel program ofthe genetic algorithm.

프로그래밍한 유전 알고리즘의 확장성이 매우 높음을 알 수 있다.

2. 최적 염색체의 결정

512개의 염색체로 된 개체군에 대해 초기 유전자를 선택하는 방법을 모두 균일하게 선택하는 방법, 균일과 가우시안을 1:1로 혼합하여 결정하는 방법에 대해 10회 반복하여 최적의 적합도를 나타내는 세대를 결정하였다. 두 방법 모두 1회 계산 시간은 대략 8.2 sec였다. 기존 방법은 최적의 적합도를 주는 세대의 편차가 Fig. 3(a)와 같이 최소 6, 최대 94로 상대적으로 크지만 1:1로 혼합했을 때는 Fig. 3(b)와 같이 상대적으로 중심으로 모이는 경향이 나타났다. 두 경우 모두 최적의 적합도는 0.033 정도를 나타내었다.

Fig. 3. Generation with a best fitness within 10events for (a) uniform selection and (b) mixed 1:1selection of uniform and Gaussian.

적합도 0.033을 주는 세대는 Fig. 3과 같이 100세대 이내에서 결정되었다. 그러나 적합도를 0.031로 낮추면 100세대를 넘어가는 경우가 다수 발생하였다. 기존의 방법에서는 심지어 150세대를 넘어가는 경우도 있었다. 하지만 1:1로 혼합하는 경우는 Fig.4와 같이 120세대를 넘어가는 경우는 없었다. 적합도를 미리 결정하고 필요한 세대수를 고려하더라도 1:1로 혼합된 경우가 더 우수한 성능을 보였다.

Fig. 4. Generations fixed by the fitness of 0.031 for 1:1 selection of uniform and Gaussian.

적합도 0.031일 때 측정된 반사율과 유전 알고리즘으로 계산된 염색체를 적용한 반사율을 Fig. 5에 나타내었다. 회절분석기에서 측정된 값을 매우 근접하게 피팅하였다.

Fig. 5. X-ray reflectivities for measured value (blackline) and the calculated value (red line) by using thebest chromosome obtained the genetic algorithm.

최적의 적합도(0.031)로 결정된 염색체를 다층박막 거울의 층별로 두께, 밀도비(박막 밀도/고체 밀도), 계면거칠기를 그래프로 나타내면 Fig. 6과 같이 된다. 각 층의 특성이 거의 일정하지만 매우 작은 편차로 변하고 있다. Fig. 6(a)에서 보는 것과 같이 텅스텐 및 탄소층의 두께가 설계값 2.3 nm 및1.5 nm과 다소 차이를 보였고 층마다 조금의 편차를보였다. 평균적으로 인자를 구하는 것 보다 각 층의 정보가 정확하게 평가되는 것을 알 수 있었다. Fig. 6(b)와 (c)에서도 각 층의 밀도와 계면거칠기의 정보를 쉽게 파악할 수 있다.

Fig. 6. Thickness, density ratio, and interfacial roughness for each layer determined by geneticalgorithm.

Ⅳ. DISCUSSION

유전 알고리즘에서 초기 선택이 어떻게 되느냐에 따라 최적의 해를 나타내는 세대수가 달라진다. 확률적으로 결정되기 때문에 항상 같은 세대 또는 적합도를 주지는 못하지만, 초기 선택을 균일과 가우시안 무작위 선택을 1:1로 하는 방법이 균일 무작위만을^[8] 적용하는 방법보다 안정적으로 최적의 염색체를 얻을 수 있다.

무작위 가우시안 선택에서도 표준편차의 범위를 넓히면 수렴 속도가 떨어진다. 즉, 계산해야 하는 세대의 수가 증가한다는 것을 의미한다. 그리고 다층박막 거울의 층수가 증가할수록 결정해야 하는 염색체의 수가 증가하기 때문에 역시 수렴하는 속도가 떨어지게 된다. 두 경우 모두 Fig. 4와 같이 고정된 적합도를 얻을 수 있도록 세대수를 증가시키면서 계산을 해야 한다. 다행히 유전 알고리즘의 적합도를 계산하는 프로그램을 병렬화하여 계산시간을 줄였기 때문에 산업에 적용될 수 있는 가능성이 커진다.

Ⅴ. CONCLUSION

다층박막 거울의 각 층의 두께, 밀도, 계면거칠기를 유전 알고리즘으로 조사할 수 있도록 하였다. 초기 선택의 방법에 따라 해의 수렴 정도가 조금씩 달랐다. 균일과 가우시안 무작위를 1:1로 하는 초기선택이 100세대 이내에서 더 안정적인 특성을 나타내었고 적합도를 고정하는 경우에도 1:1로 혼합하는 경우가 낮은 세대수에서 주어진 적합도를 나타내었다.

1:1로 초기 선택을 하면 안정적으로 해를 구할수 있어서 다층박막 거울과 같이 층의 개수가 수십층 이상이 되는 시료의 각 층의 특성을 파악하는데 적용할 수 있을 것이다.