Rotordynamic Model Development with Consideration of Rotor Core Laminations for 2.2 kW-Class Squirrel-Cage Type Induction Motors and Influence Investigation of Bearing Clearance

2.2 kW급 유도전동기의 회전자 적층구조를 고려한 회전체 동역학 해석모델 개발 및 베어링 간극의 영향 분석

Abstract

This paper presents the investigation of two types of rotordynamic modeling issues for 2.2 kW-class, rated speed of 1,800 rpm, squirrel-cage type induction motors. These issues include the lamination structure of rotor cores, and the radial clearance of ball bearings that support the shaft of the motor. Firstly, we focus on identifying the effects of rotor core lamination on the rotordynamic analysis via a 2D prediction model. The influence of lamination is considered as the change in the elastic modulus of the rotor core, which is determined by a modification factor ranging from 0 to 1.0. The analysis results show that the unbalanced response of the rotor-bearing system significantly varies depending on the value of the modification factor. Through modal testing of the system, the modification factor of 0.079 is proven to be appropriate to consider the effects of lamination. Next, we investigate the influence of ball bearing clearance on the rotordynamic analysis by establishing a bearing analysis model based on Hertz's contact theory. The analysis results indicate that negative clearance greatly changes the bearing static behavior. Rotordynamic analysis using predicted bearing stiffness with various clearances from -0.005 mm to 0.010 mm reveals that variations in clearance result in a slight difference in the displacement of the system up to 18.18. Thus, considering lamination in rotordynamic analysis is necessary as it can cause serious analysis errors in unbalanced response. However, considering the effect of the bearing clearance is optional because of its relatively weak impact.

Nomenclature

D : Rolling element diameter (mm) (구름요소직경)

d_i : Inner raceway diameter (mm) (내륜직경)

d_o : Outer raceway diameter (mm) (외륜직경)

E : Elastic modulus of rotor core (Pa) (회전자코어 탄성계수)

F_r : Applied load (N) (베어링 외력)

G_r : Bearing radial clearance (mm) (베어링 간극)

Jr(ϵ ) : Load distribution integral (하중분포적분)

Kn : Bearing combined stiffness (N/mm) (베어링 내/외륜 강성조합)

k_r : Bearing stiffness (N/mm) (베어링 강성)

Q_ψ : Load distribution (N) (하중분포)

U_per : Amount of unbalance (gmm) (불평형량)

δr : Inner ring shift (mm) (내륜 이동량)

δ_ψ : Radial deflection (mm) (반경방향 변형량)

η : Modification factor (보정계수)

2_ψ : Angular location of rolling elements(º) (구름요소의 각위치)

ψZ : Angular extent of the load zone (º) (하중영역의 각위치범위)

ϵ : Load distribution coefficient (하중분포계수)

 

1. 서 론

 

1-1. 연구의 배경

전동기는 전기에너지를 기계에너지로 변환시키는 핵심 에너지기기로서 국가에너지의 11%, 전체 전력 소비량의 54% 이상을 차지한다. 특히 전동기의 초기 구입비용, 유지보수비용, 에너지비용 중 에너지비용이 약 96.6%를 차지할 정도로 전동기는 상당히 많은 에너지를 소비하고 있다[1, 2]. 따라서 미국을 비롯한 선진 각국에서는 90년대에 들어 에너지 절감 및 고효율 전동기의 보급 확대를 위해서 고효율 전동기의 생산 판매를 의무화하는 최저효율제(MEPS, Minimum Energy Performance Standards) 정책을 법률로 제정하여 시행해 오고 있다. 우리나라의 경우 2008년 7월 1일부터 각 용량별 고효율 전동기 (IE2)의 규제를 시작하였으며, 최근 2018년 10월 1일부로 프리미엄급 고효율 전동기(IE3)의 의무 생산 판매를 규제하고 있다.

전동기의 다양한 형태 중 유도전동기의 효율을 향상시키기 위해서는 기본적으로 손실에 대한 정확한 분석과 손실을 저감하는 것이 필요하다. 유도전동기의 손실은 고정자 권선에서 발생하는 동손(1차측 동손)과 회전자 도체바 및 단락환(End bar and end ring)에서 발생하는 동손 (2차측 동손), 히스테리시스(Hysteresis)와 와전류에 의해 발생하는 철손, 전동기 운전 중의 베어링 마찰손과 냉각팬의 풍손에 의한 기계손으로 분류된다[3]. 손실의 비율은 고정자 동손이 30~50%, 회전자 동손이20~25%, 철손이 20~25%, 표류부하손이 5~15%, 그리고 기계손이 5~10%를 차지한다[4].

위에서 언급한 손실 중 기계손은 최적의 베어링 선정, 회전체 진동 안정화 및 냉각팬 지름의 감소를 통해서 저감이 가능하다. 특히 베어링 선정 및 회전체 진동 안정화는 축계(Rotor-bearing system)에 대한 회전체 동역학(Rotordynamic) 해석 및 설계에 기반하는데, 이 해석 및 설계는 단순히 손실저감의 문제를 넘어서 축계 안정성 문제, 전동기 수명 문제에 직결된다. 잘못된 회전체 해석 및 설계는 과도한 회전체 진동으로 인한 진동/소음 증가 및 과도한 베어링 마찰, 전동기 수명 단축 등의 문제를 야기한다. 특히 고속으로 운전되는 환경 또는 다물체(Multi-body) 회전체가 전동기에 연결되어 운전되는 환경에서는 시스템 파괴까지 이어질 수 있다. 따라서 전동기의 해석 및 설계단계에서 회전체 해석 및 설계가 필수적으로 수행되어야 한다.

전동기의 회전체 해석 관련 연구로, Hong 등[5]은 동 다이캐스팅 회전자를 갖는 11.2 kW, 18,000 rpm급 유도전동기의 회전체 동역학 해석을 통해 축계의 불평형 응답을 예측하였다. 축계에 대한 3차원 유한요소 해석모델을 수립하였는데, 이때 회전체는 3차원 유한요소로 모델링 하였으며 베어링은 상수 강성을 가지는 선형 스프링으로 모델링 하였다. 위험속도 및 불평형 응답 예측을 통해 예측된 축계 거동을 API standard 611[6] 및 ISO 1940-1[7] 규정을 기반으로 분석하여, 본 시스템이 정격 운전속도에서 안정적으로 작동할 수 있음을 보여주었다. 유사한 회전체 동역학 해석이 영구자석 전동기에도 적용되었다[8].

 

1-2. 유도전동기 축계 모델링 이슈

회전체 동역학 해석은 기본적으로 회전체와 윤활요소인 베어링, 실(Seal), 댐퍼(Damper) 등으로 구성된 축계의 진동 특성(대표적으로 고유진동수 및 모드형상) 및 거동(대표적으로 위험속도 및 불평형 응답)의 예측을 목표로 한다. 본 연구에서는 해석 대상을 유도전동기로 제한하므로, 축계는 회전체와 베어링으로 구성된 계(System)로 정의된다.

유도전동기 회전체 해석의 일반적인 절차는 주어진 축계 도면 및 재질정보를 기반으로 회전체를 2차원 빔요소(beam element) 및 질량요소(mass element) 또는 3차원 유한요소(finite element)로 모델링한다. 그 다음 베어링은 스프링 요소(Spring element)로 정의되어 회전체 해석 모델에 추가된다. 스프링 요소는 베어링 제조사에서 제공하는 베어링 반경방향 강성[9] 또는 접촉이론(Contact theory) 및 유체동압윤활(Hydrodynamic lubri-cation)[10-12]에 기반해 해석 예측된 강성을 이용하여 정의된다. 또한 반대로 회전체 해석을 통해 베어링 요구강성을 설정할 수도 있다[5].

유도전동기 축계 2차원 회전체 해석의 주요 이슈(Issue)는 실제 전동기 축계 형상을 타당한 수준으로 단순화시켜 모델링하는 데에 있다. 다음 두 절에서 회전체 해석의 주요 모델링 이슈에 대해서 자세하게 설명하고자 한다.

 

1-2-1. 회전자 적층구조

농형 유도전동기(Squirrel-cage type induction motors)의 회전체는 Fig. 1과 같이 샤프트(Shaft), 회전자 코어(Rotor core), 그리고 도체바와 단락환으로 구성된다. 회전자 코어는 회전자계를 형성하고, 도체바는 전류를 유도하며, 샤프트는 회전자 (회전자 코어, 도체바, 단락환)를 지지하며 회전한다.

 

Fig. 1. (a) Schematic views for laminations of rotor cores. and (b) deflected shape of the rotor core when the bending moment is applied.

유도전동기 회전자는 철손을 저감하기 위해서 두께가 0.3t~0.5t인 회전자 코어 전기강판을 Fig. 1(a)와 같이 축방향으로 적층하여 제작된다. 이때 적층된 전기강판은 회전자의 양 끝에 위치한 단락환과 슬롯(Slot)에 삽입된 도체바에 의해서 고정된다. 따라서 제작 상태, 또는 강판의 표면 조도에 따라 인접한 두 강판이 완벽하게 접촉해 있지 않고 강판 사이에 국부적으로 미소간극(Microgap)이 존재할 수 있다. 이러한 회전자 구조는 Fig. 1(b)와 같이 회전자 코어가 하나의 실린더 형태일 때보다 회전체의 굽힘 변형에 대해서 취약할 수밖에 없다. 또한 두 강판사이의 미소간극은 회전자 구조를 더욱 연하게(Softening)만든다.

앞서 언급한 적층구조를 회전체 해석에 반영하기 위해서는 3차원 해석 모델링 단계에서 적층된 회전자 강판 모두를 3차원으로 모델링하고, 인접한 두 강판 사이에 접촉 조건을 마찰이 존재하고 서로 분리될 수 있는 조건으로 설정해야한다. 하지만 이는 상당한 해석 계산량을 요구하고, 접촉문제를 수치해석적으로 해결해야 하므로 효과적이지 않은 방법이다.

반면, 2차원 해석에서는 회전자의 적층된 구조를 해석모델에 직접적으로 표현할 수 없다. 또한 회전자 강판 사이의 국부적 미소간극의 크기를 사전에 파악해서 해석모델에 반영하는 것은 불가능하다. 따라서, 본 논문에서는 회전자 적층구조, 미소간극 등 적층된 회전자 구조에 의해서 발생하는 영향을 간접적인 방법으로 2차원 회전체 해석모델에 반영하는 것을 제안한다. 이는 회전자 강성변화, 즉 탄성계수의 변화로 해석모델에 반영하는 것을 의미한다. 이후 절에서 제안된 방법을 적용하여 유도전동기 회전체 해석 모델을 개발하고 본 방법에 대한 검증을 진행한다.

 

1-2-2. 볼 베어링 간극

유도전동기에 일반적으로 사용되는 대표적인 베어링 타입인 깊은홈 볼 베어링(Deep-groove ball bearings)의 구성은 Fig. 2[13]과 같다. 베어링의 구성은 내륜(Innerrace way)과 외륜(Outer raceway) 사이에 다수의 볼(Ball)이 위치해 있으며, 볼의 위치는 유지기(Cage)에 의해서 고정된다. 반경방향 베어링 간극(Radial Internal clearance)은 안쪽링(Inner ring)과 바깥링(Outer ring)이 상대적으로 움직일 수 있는 총 반경방향 거리를 의미한다.

 

Fig. 2. Schematic view of deep-groove ball bearing details [13].

베어링 간극은 베어링 마찰, 수명, 진동, 소음 등 베어링 성능에 큰 영향을 미치는 인자로 전동기의 사용 환경 및 성능요구 조건에 따라 적절한 크기의 베어링 간극을 갖는 베어링 선정이 필요하다. ISO 5753 규정[14]에 따라서 간극의 크기는 2, N(Normal), 3, 4, 5에 해당하는 다섯 그룹으로 정의된다. 특히 가장 정밀한 2그룹의 경우 베어링 크기에 따라 간극은 0 μm 부터 최대 140 μm까지로 제한된다.

규정된 베어링 간극은 실제 베어링 작동환경에 장착될 때 크게 달라질 수 있다. 베어링 간극은 1차적으로 베어링 안쪽링과 샤프트 결합에서의 끼워맞춤(Fits) 정도와 베어링 바깥링과 마운트 결합에서의 끼워맞춤 정도에 의해서 감소된다. 그리고 최종적으로 베어링 작동온도 변화에 따른 베어링 안쪽링, 바깥링, 볼의 열팽창 및 수축에 의해서 최종적으로 작동 베어링 간극(Operating clearance)이 결정된다. 따라서 베어링 간극은 작동 환경에 따라서 음수가 될 수 있으며, 정확한 작동 베어링 간극을 파악하는 것은 쉽지 않다. 참고로, 초기 베어링 간극은 베어링 안쪽링을 고정시키고, 바깥링에 반경방향으로 하중을 가하여 바깥링의 이동거리를 측정함으로써측정이 가능하다[15].

베어링 간극은 대표적으로 구름요소의 하중분포(Loaddistribution)와 베어링 수명에 크게 영향을 미치는 것으로 알려져 있다. 큰 양의 베어링 간극은 최대 볼 하중(Maximum ball normal load)을 증가시키며, 적절한 음의 간극은 최대 볼 하중을 감소시키고 베어링 수명 및 강도를 향상시킨다[16,17].

또한 베어링 간극에 따른 베어링의 수명계수(Life factor)는 최대 볼 하중과 반대의 경향을 보인다[13]. 회전체 해석에 베어링 간극을 고려하기 위해서는 회전체 해석모델의 스프링요소의 강성을 간극을 고려해서 결정해야 한다. 따라서 이후 4절에서 베어링 간극이 베어링 강성에 미치는 영향을 분석하고, 더 나아가 개발된 회전체 해석모델을 이용하여 적절한 베어링 강성의 값 선정에 대해서 논하고자 한다.

 

1-3. 연구의 목표 및 범위

본 논문은 기본적으로 유도전동기의 2차원 회전체 동역학 해석에 있어서 회전자 적층구조와 볼 베어링 간극이라는 두 가지 모델링 이슈의 영향에 대해서 논하고자 한다. 첫 번째 단계로, 2.2 kW 유도전동기 축계의 기본회전체 해석모델을 수립하고 본 축계의 기본적인 회전체 거동에 대해 분석한다. 그 이후 회전자 적층구조를 본 연구에서 제안하는 방법인 회전자 탄성계수의 변화로 해석모델에 반영하여 유도전동기 회전체 해석 모델 개발을 완성한다. 이 때 해석모델의 검증은 유도전동기 축계에 대한 모달실험을 통해 수행된다. 마지막으로, Hertz 접촉이론에 기반하여 볼 베어링의 간극 크기가 베어링 구조적 거동에 미치는 영향을 분석하고, 개발된 회전체 해석모델을 이용하여 최종적으로 베어링 간극이 회전체 거동이 미치는 영향을 분석한다.

 

2. 기본 회전체 동역학 해석모델

 

2-1. 기본모델 수립

Fig. 3은 2.2 kW급 유도전동기의 (a) 3차원 도면과 (b) 2차원 회전체 해석모델을 나타낸다. 유도전동기는 축계는 샤프트(Shaft)와 회전자, 냉각팬 그리고 베어링으로 구성되며, 회전자(Rotor)는 회전자 코어(Rotor core)와 엔드링 그리고 엔드바(End bar)로 구성된다. 회전체 해석모델은 2차원 회전체 동역학 해석 프로그램 XLRotor[18]을 이용하여 수립하였다. 샤프트, 회전자 코어, 단락환은빔요소로 모델링되며, 냉각팬은 질량요소, 그리고 베어링은 등가 스프링으로 모델링된다. 실제 회전자 코어 내부를 관통하는 도체바가 있지만, 알루미늄으로 제작되어 가볍고 크기가 회전자 코어보다 작기 때문에 회전자 코어 모델링 시 무시되었다. 또한 냉각팬은 불 균일한 형상이므로 질량요소로 모델링되었다.

 

Fig. 3. (a) 3D drawing for the 2.2 kW-class squirrel-cagetype induction motor and (b) a 2D basic rotordynamicanalysis model.

회전자 코어와 샤프트는 규소강판(Silicon steel, 50PN310)과 강(Steel, S45c)으로 제작되었으며, 단락환은 알루미늄(Aluminum, AL1050)으로 제작되었다. 냉각팬은 질량요소로 실제 질량과 동일한 60.18 g으로 모델링하였다. 마지막으로 스프링요소의 위치는 실제 베어링이 장착되는 위치와 동일하며, 기본 모델에서는 가장 단순한 형태인 강체 지지로 가정하여 무한대 강성으로 가정하였다. 유도전동기의 전기적 사양과 축계의 사양은 Table 1에 정리되어 있으며, 회전체 해석모델에 사용한 각 요소의 재질과 물성치는 Table 2에 제시되어 있다.

 

Table 1. Electric and mechanical specifications of the 2.2 kW-class induction motor for rotordynamic analysis

 

Table 2. Mechanical properties of elements for the rotordynamic prediction model

 

2-2. 위험속도 및 불평형응답 해석

 

Fig. 4. Predicted damped natural frequencies and mode shapes of the rotor-bearing system.

2.2 kW 유도전동기 축계의 기본적인 거동을 파악하기 위해서 수행한 축계 위험속도 해석 결과를 Fig. 4에 나타내었다. 회전 · 속도 변화에 따라 축계 고유진동수는 변화하는데, 회전 · 속도 속도 성분에 해당하는 동기성분(1X)과 고유진동수가 일치할 때 축계의 공진현상이 발생하고 이 때의 회전속도를 위험속도라 칭한다. 1차 전방휘둘림(Forward whirl) 위험속도는 92,000 rpm이며, 2차 위험속도는 134,000 rpm으로 전동기의 정격 운전속도 1,800 rpm 보다 상당히 높은 것을 알 수 있다. 따라서 정격 운전속도 내에 축계 위험속도는 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 모드형상은 1차 모드가 U자형 모드이며, 2차 모드가 S자형으로 회전체가 변형하는 모드로 전형적인 축계 굽힘모드가 발생한다.

축계의 불평형응답을 예측하기 위해서는 축계 가진원에 해당하는 불평형량(U_per )이 먼저 정의 되어야한다. 불평형량은 ISO 1940-1규정에 따라 발란싱 등급 G2.5로 가정하여 U_per = 145.67 gmm로 계산하였으며[7], 해석모델에는 안전계수 4를 곱하여 4U_per = 582.68 gmm의 불평형량을 회전자의 중간지점에 위치시켰다.

 

Fig. 5. Predicted unbalance responses of the rotor-bearing system with 4Uper = 582.68 gmm.

Fig. 5은 샤프트의 양 끝단(a, e위치)과 베어링 위치(b,d 위치) 그리고 불평형량의 위치(c 위치)에서의 축계 불평형 응답을 나타낸다. 응답의 크기는 회전속도가 증가함에 따라 비선형적으로 증가하는데, 이는 해석이 수행된 회전속도가 축계 1차 위험속도 이하의 영역이기 때문이다. 또한 a위치에서의 진동크기가 가장 크며, 베어링 위치에서 가장 작은 값을 가진다.

 

3. 회전자 적층구조가 고려된 해석모델

 

3-1. 회전자 적층구조 영향 고려

회전자 적층구조를 앞서 수립된 회전체 해석모델에 반영하여 그 영향을 분석하기 위해서 회전자의 탄성계수를 변화시키면서 회전체 해석을 진행하였다. 수정된 회전자의 탄성계수(E^m )는 다음 수식을 만족한다.

\(E^{m}=\eta E\)        (1)

여기서 E는 Table 2에 제시된 회전자의 원래 탄성계수를 의미하며, η는 보정계수(modification factor)를 의미한다. 참고로 η = 0.5는 원래 회전자 탄성계수의 50% 수준의 값을 사용하여 해석하였음을 의미한다.

Fig. 6은 보정계수를 0에서 1까지 변화시켜가면서 축계의 1차, 2차 전방 휘둘림 위험속도의 변화를 나타낸 그래프이다. 보정계수가 1일 때 1차 위험속도 92,000 rpm와 2차 위험속도 134,000 rpm은 보정계수가 감소함에 따라 함께 감소한다. 이는 회전자의 강성이 점차 약해지면서 축계 변형이 더 낮은 회전속도에서 쉽게 발생할 수 있기 때문이다. 또한 회전자의 연화(Softening)에 따라 1차 및 2차 모드형상은 회전자 위치에서 더 큰 변형이 발생하도록 변화한다.

 

Fig. 6. Predicted first two critical speeds depending on modification factors.

Fig. 7은 보정계수를 0에서 1까지 변화시켜가면서 예측한 샤프트 부하단(DE)에서의 불평형응답 그래프이다. 계수를 1에서 0까지 감소시킬 때 회전체 진동응답은 비선형적으로 증가하며, 특히 정격운전속도인 1,800 rpm에서의 진동크기는 0.07 µm에서 0.86 µm까지 10배 이상 증가한다. 결과적으로, 회전체 해석에서 회전자 적층구조에 의한 강성감소를 고려하지 않으면 축계 위험속도를 과대예측할 수 있으며, 반대로 진동응답은 과소예측할 수 있다.

 

Fig. 7. Predicted unbalance responses depending on modification factors with 4Uper = 582.68 gmm.

이러한 예측의 오류는 잘못된 축계 설계로 이어질 수 있으며, 잘못된 설계에 기인한 실제 운전 중 과도한 진동 문제를 발생시킬 수 있다. 따라서 보정계수의 값을 어떻게 가정해야 타당한 회전체 해석 결과를 보장할 수 있는지 확인이 필요하다.

 

3.2 축계 모달실험

회전체 해석 시 타당한 보정계수 값을 밝히기 위해서,축계에 대한 모달실험(Modal test)을 수행하여 고유진동수와 모드형상을 측정한다. 이후 측정된 결과와 회전체해석결과를 비교하여 타당한 보정계수의 값을 선정한다.

유도전동기 축계에 대한 모달실험 환경을 Fig. 8에 나타내었다. 실험 축계는 샤프트와 회전자 그리고 베어링까지 조립이 되어있으며, 냉각팬은 샤프트에서 분해되었다. 베어링은 샤프트에 열박음되어 있어 샤프트에 조립된 상태로 실험을 진행하였으나, 베어링 자체의 질량(0.2 kg)이 샤프트와 회전자 질량(10.9 kg)에 비해 무시할 만한 수준이기 때문에, 냉각팬과 더불어 베어링의 유무는 모달실험 결과에 유의미한 차이를 발생시키지 않는다. 실험 축계를 부하단과 자유단에서 끈으로 메달아 축계가 자유상태(Free-free condition)가 되도록 하였다. 그리고 축계의 진동응답을 측정하는 가속도계를 부하단 베어링 옆에 위치시켰으며, 충격 망치(Impact hammer)로축계를 충격 가진하고 그 가진력을 측정하였다. 이 때 가진 위치는 축계를 위치 1부터 위치 20까지 20개의 충격점으로 나누고 모든 충격점에서 가속도와 가진력 데이터를 취득하였다.

 

Fig. 8. Configuration of modal test setup for the test rotor-bearing system for 2.2 kW-class induction motor.

 

Fig. 9. Measured frequency response functions of the test rotor-bearing system from the free-free modal test.

Fig. 9는 샤프트의 양 끝단(위치1, 위치20)과 회전자 중간지점(위치13)에서 측정한 주파수응답 함수(Frequency response function)의 크기를 나타낸다. 주파수응답 함수는 가진력과 가속도응답의 비율로 정의되는 Accelerance 주파수 응답함수이며, H_i (ω) = A_j (ω) / F_i (ω)로 정의된다. 여기서 i는 위치1-20에 해당하는 가진점을 나타내며, j는 응답점을 나타낸다. A_j (ω)는 j위치에서 가속도 주파수응답, F_i (ω)는 i위치에서 가진력의 주파수응답에 해당한다. 측정결과를 보면 4,000 Hz 이내에서 2개의 피크점(1,553 Hz, 2,873 Hz)이 존재하며, 이 피크점은 축계의 고유진동수로 추정된다. 참고로 위치 13에서 2차 고유진동수의 주파수가 2,873 Hz보다 미세하게 낮은 것을 알 수 있는데, 이는 다른 회전자 위치 (i = 8~17)에서도 발생하는 현상으로, 회전자 적층 강판 간의 건 마찰 현상으로 인한 감쇠의 영향으로 보인다.

다음으로 모달실험과 동일한 조건에서 해석을 수행하여 축계 고유진동수를 예측하고, 그 결과를 실험결과와 비교하였다. 즉, 축계는 정지해 있으며, 외부 구속조건이 없는 자유상태이다. Fig. 10에 나타낸 결과를 보면, 보정계수가 0.079일 때 해석과 실험의 1차 고유진동수가 1,553 Hz로 일치하며, 반면 보정계수가 0.121일 때 2차 고유진동수가 2,873 Hz로 일치하게 된다. 따라서 타당한 계수는 0.079에서 0.121수준으로 판단할 수 있다. 그리고 본 결과에는 적층구조에 의한 회전자의 강성감소 뿐만 아니라 회전자 슬롯에 삽입된 도체바의 영향과 회전자와 샤프트의 불완전한 결합에 의한 강성감소 영향이 포함되어 있을 수 있다.

 

Fig. 10. Comparison between measured and predicted natural frequencies of the test rotor-bearing system depending on modification factors.

본 유도전동기의 정격 운전속도는 1,800 rpm(60 Hz)이므로 2차 고유진동수보다 1차 고유진동수에 더 가까워,축계 진동 특성 및 거동이 1차 고유진동수에 더 크게 영향을 받게 된다. 그러므로 본 시스템의 보정계수를 0.079로선정하는 것이 타당하다고 사료된다.

Fig. 11은 해석과 실험의 모드형상 비교결과를 나타낸다. 모드형상은 모든 충격위치에서 측정한 주파수응답함수의 크기와 위상을 이용하여 추정이 가능하다[19]. 해석과 실험 모두 1차 모드형상은 U자 형태, 2차 모드형상은 S자 형태로 변형하는 굽힘모드이다. 보정계수를 0.079로 할 때 1차, 2차 모드에서 모두 높은 정확도를 보여주며, 상대적으로 보정계수가 0.121일 때 낮은 정확도를 보인다. 이는 보정계수를 통해서 적층된 회전자 영향을 보정하더라도, 모드형상은 정확하게 예측하지 못할 수 있음을 보여준다. 특히, 보정계수 0.121에서 샤프트 양 끝단의 예측값이 실험값보다 작은데, 이는 해석예측 시 2차 고유진동수 근방에서 샤프트 양 끝단의 진폭을 과소 예측할 수 있음을 시사한다.

 

Fig. 11. Mode shape comparisons between the modal test and prediction depending on modification factors.

 

4. 베어링 간극 영향

 

4-1. 베어링 지배방정식 및 수치해석

베어링 간극이 베어링 구름요소(Rolling element)의 하중분포와 베어링 반경방향 강성에 미치는 영향을 파악하기 위해서, Hertz[20]의 접촉 이론에 기반하여 베어링해석을 진행하였다. 이는 기본적인 베어링 해석방법으로, 베어링 내에 윤활유의 효과를 고려하지 않으며 구름 요소와 내륜/외륜과의 접촉응력만 고려한다.

 

Fig. 12. (a) Major design parameters for deep-groove ball bearings with radial clearance and (b) load-distribution of the rolling elements when radial load is applied.

대표적인 깊은홈 베어링의 설계 변수는 Fig. 12 (a)에 나타낸 것과 같이, 내륜의 직경(Inner raceway diameter, d_i )과 외륜의 직경(Outer raceway diameter, d_o ) 그리고 구름 요소의 직경(D)으로 정의된다. 이 때 반경방향 베어링 간극(Gr )은 다음의 수식을 만족한다.

\(G_r=(d_0-d_i-2D)/2\)        (2)

Fig. 12 (b)는 베어링의 외륜이 고정되어 있는 상태에서 내륜에 수직방향으로 외력 Fr이 가해졌을 때 발생하는 하중분포(δ_ψ )와 내륜의 이동량(δ_r ), 구름요소 위치에서 반경방향 변형량(δ_ψ )을 보여준다. 이 때, 반경방향 변형량은 다음과 같다.

\(\delta_{\psi}=\delta_{r} \cos \psi-G_{r}\)       (3)

정적 평형 상태에서, 내륜에 가해진 외력 F_r과 베어링의 반력에 해당하는 구름요소 하중분포의 수직방향성분의 합은 일치한다. 따라서

\(F_{r}=\sum_{\psi=0}^{\psi-\pm \psi_{z}} Q_{\psi} \cos \psi\)       (4)

ψz 는 하중영역(Load zone)의 각도 범위로 ψ_z = cos− 1(Gr / δr )으로 정의된다. 구름요소와 내/외륜의 점접촉 조건(Point contact condition)에서 하중분포와 변형량간의 관계 Q_ψ / Q_max = (δ_ψr / δ_max )^2/3 를 이용하여 하중분포와 외력을 다시 정의하면 식 (5)와 식(6)과 같다.

\(Q_{\psi}=Q_{\max }\left[1-\frac{1}{2 \varepsilon}(1-\cos \psi)\right]^{2 / 3}\)       (5)

\(F_{r}=Z K_{n}\left(\delta_{r}-\frac{1}{2} G_{r}\right)^{2 / 3} J_{r}(\varepsilon)\)       (6)

여기서 Z는 구름요소의 개수, K_n은 베어링 내륜과 외륜의 강성 조합이며, J_r (ε)는 하중분포 적분(Load distribution integral)으로 하중분포계수(Load distribution factor)인 ϵ의 함수이며, 참고문헌[17]와 [20]에서 하중분포계수에 따른 하중분포적분의 그래프를 제공하고 있다.

마지막으로 베어링 반경방향 선형강성은 베어링 내륜이동량 δr에서 외력과 이동량 비율로 정의되며, 식 (7)과 같다.

\(k_{r}=\frac{\partial F_{r}\left(\delta_{r}\right)}{\partial \delta_{r}}\)       (7)

주어진 베어링 형상정보 및 외력조건에서, 베어링 하중분포와 강성을 결정하기 위해서는 반복계산(Iteration)을 통한 해의 수렴이 필요하다. 계산과정은, 초기 δr를 특정 값으로 가정한 후 J_r (ε )을 계산한다. 그 이후 식 (6)을 통해 새로운 δ_r을 계산하며, 해의 수렴성을 향상시키기 위해서 수정된 할선법(Modified secant method)을 이용하여 δ_r을 다시 결정한다. 이와 같은 과정을 δ_r가 일정값으로 수렴할 때까지 반복수행 하게 되며, 수렴 후에 식 (5)와 (7)을 이용하여 하중분포와 강성을 계산한다.

 

4-2. 베어링 간극 영향 해석

 

Table 3. Design parameters of 6206 ball bearings

본 논문의 대상인 유도전동기의 베어링은 6 206ZZ-C3베어링으로 베어링 간극 3그룹에 속하며, 간극의 크기로는 0.015 mm~0.033 mm에 해당한다. 베어링의 주요 설계변수는 Table 3과 같으며, 해석 상에서 베어링 간극의 변화는 식 (2)에 따라 외륜직경을 기본값 55.50 mm에서 간극만큼 변경하여 구현하였다.

 

Fig. 13. Predicted load distributions of the rolling elements depending on the bearing clearances.

Fig. 13은 외력조건 500 N에서 베어링 간극을 −0.002 mm에서 0.010 mm까지 변경시키면서 예측한 하중분포를 나타낸다. 이 값들은 3그룹으로 규정된 베어링 간극보다 수십 µm작은 값이며, 앞서 2절에서 언급한 것처럼 실제 베어링이 장착되어 작동할 때 베어링 간극이 감소하는 것을 고려하여서 설정하였다. 하중분포의 최대값은 외력 방향에 해당하는 δ = 0^o , 360^o에서 최대가 되며, 외력의 반대방향인 y = 180^o에서 최소가 된다. 특히, 간극이 증가할수록 하중의 최대값은 증가하며, 반대로 하중영역은 좁아지는 것을 알 수 있다. 즉, 이러한 경향은 베어링에 국부적으로 큰 응력을 발생시켜 베어링의 수명을 감소시키는 원인이 될 수 있다.

다음으로 베어링 간극을 −0.005 mm부터 0.010 mm까지 변화시키면서 베어링 강성 예측을 수행하였으며, 그 결과는 Fig. 14와 같다. 음의 간극일 때, 즉 예압이 가해진 경우, 베어링 강성은 간극에 따라 민감하게 변한다. 간극이 −0.005 mm에서 0 mm까지 변할 때 강성은 598 kN/mm에서 321 kN/mm로 46%감소하였다. 하지만 간극이0 mm에서 0.010 mm까지 변할 때, 강성은 8.4%감소하였다. 이는 좁은 간극에서는 다수의 구름요소가 외력에 저항하여 반력을 발생시키지만, 큰 간극에서는 소수의 구름 요소만 반력을 발생시켜, 결과적으로 강성이 감소하는 결과를 낳기 때문이다.

 

Fig. 14. Predicted radial stiffness coefficients of the bearing depending on the bearing clearances.

Fig. 14의 예측된 강성 값을 이용하여 3절에서 수립된 유도전동기 축계 회전체 동역학 해석모델의 스프링 요소를 다시 정의하고, 보정계수를 0.079로 설정하여 위험속도와 불평형응답을 예측하였다.

Fig. 15 (a)는 위험속도 예측 결과로, 강성의 경향과 동일하게 간극이 커질수록 위험속도가 감소하는 것을 알수 있다. 특히 간극이 −0.005 mm에서 0.010 mm로 변할 때 1차 위험속도는 9.38% 감소하며, 2차 위험속도는 9.69% 감소한다. Fig. 15 (b)는 정격운전속도에서 축계의 변형형상을 보여준다. 간극 증가에 따라 회전자 위치에서 변위가 증가하며 최대 18.18%증가한다. 참고로 실제 베어링 간극내 범위에서 회전체가 운동할 때 구름 요소와 내륜/외륜이 서로 접촉하지 않기 때문에 회전체의 강체운동과 같이 베어링 강성이 운동에 관여하지 않을 수 있다. 하지만 본 결과는 구름요소와 내륜/외륜이 이미 접촉한 상태를 가정하고 계산한 베어링 강성을 이용하여 해석한 결과이므로, 회전체 운동 변위가 베어링 간극보다 작음에도 불구하고, 축계 거동은 베어링 구조적 강성에 지배된다.

 

Fig. 15. Predicted (a) critical speeds and (b) deflected shapes of the rotor at rotor speed of 1,800 rpm depending on the bearing clearances.

결과적으로, 예측결과는 베어링 간극을 고려하지 않고 회전체 해석을 수행할 경우, 큰 해석의 오차를 발생시킬 수 있음을 시사한다. 특히 본 시스템은 정격 운전속도가 위험속도에 비해 상당히 낮아 간극의 영향이 상대적으로 작지만, 고속 전동기의 경우 그 해석의 오차는 더욱 더 커질 수 있다. 따라서, 베어링이 작동 중 음의 간극을 가질 수 있는 시스템, 즉 고온에서 작동하여 열팽창이 큰 환경이나 베어링이 과도한 끼워맞춤으로 조립되는 환경에서 필수적으로 베어링 간극을 회전체 해석에 고려해야한다.

 

5. 결 론

본 연구에서는 정격속도 1,800 rpm, 2.2 kW급 유도전동기를 대상으로 하여, 회전자의 적층구조를 고려한 회전체 동역학 해석모델을 개발하였으며, 이를 이용하여 베어링 간극이 회전체 해석에 미치는 영향을 고찰하였다.

첫 번째로 회전자 적층구조가 회전체 해석 결과에 미치는 영향에 대해서 분석하고 적층구조가 고려된 회전체 해석모델을 완성하였다. 적층구조의 영향을 회전체 해석모델에 회전자 탄성계수 값의 변화로 반영하였으며, 이때 0~1.0사이 값을 가지는 보정계수를 이용하여 탄성계수 값을 변화시켰다. 해석결과로 축계 불평형응답은 탄성계수 변화에 따라 10배이상 변화하였으며, 축계에 대한 모달실험을 통해 1차 고유진동수 기준 보정계수를 0.079로 설정해야 타당하다는 것을 밝혔다.

다음으로 볼 베어링 간극의 영향에 대해 검토하였다.6206ZZ-C3 베어링에 대해서 점접촉 조건에서 Hertz 접촉이론에 기반하여 구름요소의 하중분포와 베어링 강성을 예측하였고, 특히 음의 간극에서 베어링 강성은 민감하게 변화하였다. 예측된 강성을 이용하여 축계 회전체해석을 수행한 결과, 베어링 간극에 따라 축계 진동변위가 최대 18.18% 변하였다. 본 예측 결과는 특히 베어링이 음의 간극을 가질 때, 베어링 간극 효과를 회전체 해석에 고려해야함을 의미한다.

결론적으로, 본 논문의 저자들은 유도전동기 2차원 회전체해석 시 회전자 적층구조 영향을 회전자 탄성계수 변화로 고려할 것을 강력히 권고한다. 이 때 적절한 보정계수의 값은 대상 전동기의 회전자 제작 방식, 형상, 회전자와 샤프트간의 결합 방식 등에 따라 다를 수 있음을 유념해야한다. 한편, 베어링 간극의 영향은 앞서 언급한 것처럼, 음의 간극을 가질 수 있는 환경에서만 선택적으로 고려하는 것이 타당하다고 사료된다.