Optimum Shoulder Height Design using Non-dimensional Shape Variables of Ball Bearing

볼 베어링의 무차원 형상변수를 이용한 최적 턱 높이 설계

Abstract

This paper presents an optimization method to determine the shoulder height of an angular contact ball bearing by 3D contact analysis using nondimensional-shaped variables. The load analysis of the ball bearing is performed to calculate the internal load distributions and contact angles of each rolling element. From the results of bearing load analysis and the contact geometry between the ball and inner/outer raceway, 3D contact analyses using influence function are conducted. The nondimensional shoulder height and nondimensional load are defined to give the generalized results. The relationship between the shoulder height and radius of curvature of the shoulder under various loading conditions is investigated in order to propose a design method for the two design parameters. Using nondimensional parameters, the critical shoulder heights are optimized with loads, contact angles, and conformity ratios. We also develop contour maps of the critical shoulder height as functions of internal loads and contact angles for the different contact angles using nondimensional parameters. The results show that the dimensionless shoulder height increased as the contact angle and dimensionless load increased. Conversely, when the conformity ratio increased, the critical shoulder height decreased. Therefore, if the contact angle is reduced and the conformity ratio is increased within the allowable range, it will be an efficient design to reduce the shoulder height of ball bearings.

1. 서 론

볼 베어링은 회전기계 시스템의 필수 요소로서 이미많은 연구가 진행되어왔으며 최근 연구동향은 높은 신뢰성을 가지면서 소형화 및 경량화라는 명제를 동시에 실현하는 것이다. 즉, 시스템의 요구수명을 만족하면서 조기 파손이 발생하지 않는 베어링의 적정치수의 설계는 매우 중요한 문제이다.

일반적으로 볼 베어링은 회전 중에 볼이 궤도륜의 턱(shoulder)을 타지 않는 수준으로 설계되어야 하며, 축 방향 하중을 버틸 수 있는 턱 높이 치수를 결정해야 한다. 만약 턱 높이 치수가 과소하게 설계된 경우에는 모서리 효과(edge effect)에 의한 압력 스파이크의 형성(Fig. 1) 등으로 인한 베어링 시스템의 신뢰성이 떨어진다. 반면,턱 높이가 과대하게 설계된 경우에는 재료비 증가와 같은 보이지 않는 원가 상승의 요인이 발생하며 리테이너 설치 공간이 부족해지는 문제를 수반하게 된다[1]. 그뿐만 아니라 궤도륜 턱의 곡률반경 역시 볼 베어링의 성능에 영향을 미치는 중요한 인자일 수 있다. 하지만 이러한 설계인자들이 특별한 기준이 설정되지 않은 채 경험에 의해 결정되어 왔으며, 궤도륜 턱의 곡률반경에 대한 연구는 미흡한 실정이다.

 

Fig. 1. Pressure spike due to the edge effect.

본 연구에서는 접촉해석을 이용하여 다양한 하중 조건에서 턱 높이와 턱의 곡률반경의 관계를 검토하여 두 인자의 설계 방법을 제시하고자 하였다. 이를 위해서 볼베어링에 작용하는 외부하중으로부터 각 전동체의 궤도륜에 작용하는 내부하중과 접촉각도를 수치해석을 통하여 계산하였으며 턱 높이와 접촉 압력 등 중요한 설계인자를 무차원 하중(Non-dimensional load)과 무차원 턱높이(Non-dimensional shoulder height)으로 무차원화시켜 다양한 변수에서 모서리 효과가 발생하지 않는 턱높이를 결정하는 방법을 알아보고자 한다.

 

2. 연구방법 및 내용

 

2-1. 베어링 시스템 해석

턱 높이와 턱의 곡률반경이 접촉 압력에 미치는 영향을 살펴보기 위해서는 우선 각 전동체에 작용하는 하중분포와 전동체와 궤도륜이 이루는 접촉각을 계산하여야 한다. 이러한 볼 베어링의 시스템 해석과 관련해서 지금까지 많은 연구가 이루어져 왔으며 크게 정적 해석(static analysis)[2], 준정적 해석(quasi-static analysis)[3, 4] 그리고 동적 해석(dynamic analysis)[5, 6]으로 나눌 수 있다. 만약 구름베어링의 회전속도가 크지 않다면 볼에 작용하는 원심력과 자이로스코픽 모멘트를 무시할 수 있으므로 정적해석만으로도 충분히 신뢰성 있는 결과를 얻을 수 있다[7]. 따라서 본 연구에서는 정적 해석을 이용하여 베어링에 작용하는 외력으로부터 각 전동체의 내력과 접촉각의 분포를 계산하였다.

Table 1과 같은 제원을 가지는 자동차 휠에 사용되는볼 베어링을 해석 대상으로 삼아 정적 해석을 수행한 결과가 Fig. 2와 같다. 주어진 볼 베어링에 반경방향의 하중을 1.5 kN으로 고정하고 축방향 하중을 2.5 kN에서 10 kN까지 일정하게 증가시킬 때 각각의 전동체에 작용하는 내부하중 및 접촉각을 계산한 것이다[8]. 이렇게 계산된 결과를 이용하여 최대하중이 작용하는 전동체의 궤도륜과 볼에서의 접촉해석 결과를 계산할 수 있다.

 

Table 1. Specifications of ball bearing

 

Fig. 2. Static analysis results with different external axial loads with 3 kN of radial load[8].

 

2-2. 접촉해석

본 연구에서는 기본적으로 영향함수를 이용한 방법으로 3차원 접촉해석을 수행하였다. 접촉 해석을 수행하기 위해서는 우선 베어링의 형상 함수가 필요하다. 그 중에서 볼과 궤도륜의 접촉 형태를 분석하면 내륜의 경우, conformal 및 non-conformal 접촉이 동시에 이루어지며, 외륜의 경우에는 conformal 접촉만 발생한다. 결과적으로 타원접촉의 접촉형상을 가지게 되며, 볼과 궤도륜의 기하학적인 분석을 통하여 하나의 상당 표면(equivalent surface)과 강체 평판의 접촉으로 모델링하여 이를 통해 접촉면의 압력분포를 구할 수 있다. 볼은구의 형상으로 간단하게 형상함수를 구할 수 있으며, 궤도륜의 경우 Fig. 3에서 보는 바와 같이 groove부분(Y≤ Y_V ), 곡률 부분(Y_V < Y ≤ Y_S ), 그리고 궤도륜 턱부분(Y ≥ Y_S )로 나누어 형상함수를 나타낼 수 있다[1].

1) Groove part, Y £ Y_v ;

\(\begin{aligned} &Z_{i n}=\sqrt{\left\{R_{r}-\left(r_{g}^{2}-Y^{2}\right)^{1 / 2}\right\}-X^{2}}\\ &Z_{o t}=\sqrt{\left\{R_{r}+\left(r_{g}^{2}-Y^{2}\right)^{1 / 2}\right\}-X^{2}} \end{aligned}\)       (1)

2) Ridge part, Y_v < Y ≤ Y_S ;

\(\begin{aligned} &Z_{i n}=\sqrt{\left\{R_{f}+\left(r_{f}^{2}-\left(Y_{f}-Y\right)^{2}\right)^{1 / 2}\right\}^{2}-X^{2}}\\ &Z_{o t}=\sqrt{\left\{R_{f}-\left(r_{f}^{2}-\left(Y_{f}-Y\right)^{2}\right)^{1 / 2}\right\}^{2}-X^{2}} \end{aligned}\)       (2)

3) Shoulder part, Y ³ Y_S ;

\(Z_{i n, o t}=\sqrt{\left(R_{S}^{2}-Y^{2}\right)}\)       (3)

여기서, R_f는 베어링 축 중심에서 궤도륜의 곡률중심까지의 거리, rg는 궤도륜의 곡률반경, R_f = Rs - rf , R_s는 턱 반경, r_f는 곡률부의 곡률반경이고 in 과 ot는 각각 내륜과 외륜을 의미한다.

 

Fig. 3. Pressure spike due to the edge effect

접촉문제를 풀기 위해서 반무한 탄성체 내에서 생기는 변위와 응력을 포텐셜 함수(potential function)로 표현한 Boussnesq 식[9]을 이용하였고 해석영역을 사각조각면으로 이산화시켜 사각면에서의 압력은 일정한 값을 갖는다고 가정한 Love의 식[10]을 적용하여 수치적인 반복연산을 통해 압력과 접촉영역을 계산하였다. 수치해석 방법은 비선형 연립방정식에 강인한 Newton-Raphs on법을 이용한 알고리즘을 사용하였다[11].

 

2-3. 무차원 수를 적용한 해석

하중 해석을 통하여 접촉각도와 하중을 계산할 수 있으며, 이를 근거하여 형상함수와 영향함수를 이용하여 접촉해석을 수행하였다. 또한, 베어링의 볼과 내·외륜에 발생하는 접촉압력 분포 및 모서리 효과가 발생하지 않는 턱 높이를 결정할 수 있다. 이러한 과정을 통하여 결정된 접촉압력과 턱 높이는 다음과 같은 연산으로 무차원 하중과 무차원 턱 높이로 계산할 수 있으며, 무차원하중 P는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(P=\frac{P_{0}}{E_{e q}}\)       (4)

여기서 P₀는 모서리 효과가 발생하지 않는 최대접촉압력이며 E는 상당탄성계수이다. 무차원 턱 높이의 경우에는 다음과 같이 무차원화하였다.

\(H=\frac{2 h_{i, o}}{d_{B}}=\frac{h_{i, o}}{r_{B}}\)       (5)

Conformity ratio는 볼과 궤도륜의 접합성을 나타내는비로서 다음과 같은 관계를 가진다.

\(f=\frac{r_{g}}{d_{B}}\)       (6)

 

3. 해석 결과

Fig. 2의 볼 베어링의 정적 해석 결과 중 가장 큰 전동체 하중을 받는 전동체의 접촉해석결과를 Fig. 4에 도시하였다. 즉, 축방향 하중 10 kN, 반경반향 하중 13kN가 작용할 때 180°에 위치한 전동체와 궤도륜의 접촉에서 발생되는 압력형상을 도시한 것이다. 여기서 SH는 턱 높이를 의미한다. 턱의 곡률반경은 0으로 하였고턱 높이를 기존의 높이 3.5 mm에서 감소시켜 2.7 mm 및 2.5 mm일 때의 해석결과를 도시한 것이다. SH가 2.7 mm일 때는 Fig. 4(a)에서 보는 바와 같이 최대압력이 접촉 중심부에서 나타나는 것을 알 수 있다. 그러나 SH가 2.5 mm일 때는 Fig. 4(b)에서 보는 바와 같이 충분한 접촉영역을 확보하지 못함으로 모서리 효과가 발생함을 알 수 있다.

 

Fig. 4. 3D Contact pressure distributions of ball with 180° position at the inner raceway with Fa=10 kN.

Fig. 5는 접촉압력분포를 궤도륜의 Y축 방향에 대하여 나타내었으며, Fig. 5(a)에서 턱 높이가 2.7 mm일 때는 어떠한 모서리 효과도 발생하지 않는다. 반면 2.6 mm 이하의 턱 높이에서는 점층적으로 모서리 효과가 발생하여 2.4 mm에서 중심압력보다 높은 최대접촉압력이 발생한다. Fig. 5(b)는 턱 높이를 2.7 mm로 고정하고 턱의 곡률반경이 증가시켜 압력분포의 결과를 나타낸 것이다. 곡률반경이 0.1 mm까지는 압력 스파이크가 나타나지 않지만 0.15 mm에서 모서리 효과의 발생으로 최대압력이 급격히 증가함을 알 수 있다.

 

Fig. 5. 2D contact pressures at X=0 for different shoulder heights.

Fig. 6과 Fig. 7은 무차원 하중이 0.002에서 0.02까지 증가함에 따라 모서리 효과가 발생하지 않는 턱 높이를 무차원 수로 도시한 결과이다. Fig. 6에서 conformity ratio의 변화가 무차원 턱 높이에 미치는 영향을 알 수 있으며, conformity ratio가 증가하면 무차원 턱 높이의 증가 폭이 전체적으로 커진다. 이는 conformity ratio가 증가할수록 볼과 궤도륜이 충분한 접촉영역을 확보하게 되므로 작은 턱 높이를 설계하여도 모서리 효과에 의한 압력 스파이크가 발생하지 않음을 의미한다. Fig. 7은접촉각도가 증가할 때 턱 높이를 비교한 것으로, 접촉각도가 증가할수록 그래프의 기울기가 커진다. 따라서 압력 스파이크가 발생하지 않는 임계 턱 높이는 접촉각도와 비례함을 알 수 있다. 또한 무차원 하중 0.002는 매우 작은 값이므로 동일한 접촉각도에서 conformity ratio에 따른 변화가 크게 발생하지 않음을 확인할 수 있다.

 

Fig. 6. Variation of non-dimensional critical shoulder height as a function of non-dimensional load with conformity ratios for three different contact angles.

 

Fig. 7. Variation of non-dimensional critical shoulder height as a function of non-dimensional load with different contact angles for three conformity ratios.

무차원 하중과 접촉각도, conformity ratio가 무차원턱 높이에 미치는 영향을 알아보기 위하여 3차원 그래프와 이에 따른 등고선 형태의 그래프를 Fig. 8에서 Fig. 10까지 도시하였다. Fig. 8~10의 삼차원 그래프에서 보는 바와 같이 압력 스파이크에 의한 모서리 효과가 발생하지 않는 무차원 턱 높이는 접촉각도와 무차원 하중에 비례하여 증가함을 확인할 수 있다. 또한 등고선 간격이 Fig. 8에서 가장 조밀하며 이는 conformity ratio가 가장 낮아 동일한 접촉각도와 무차원 하중에서 가장 높은 턱 높이를 가지기 때문이다.

 

Fig. 8. Non-dimensional critical shoulder heights at conformity ratio 0.51.

 

Fig. 9. Non-dimensional critical shoulder heights at conformity ratio 0.52

 

Fig. 10. Non-dimensional critical shoulder heights at conformity ratio 0.53

이처럼 임계 턱 높이는 접촉각도와 무차원 하중에 비례하며, conformity ratio와는 반비례함을 알 수 있다. 따라서 허용 가능한 범위 내에서 접촉각도를 줄이고 conformity ratio를 높인다면 턱 높이를 줄일 수 있는 효율적인 설계가 될 것이다[12].

 

5. 결 론

본 연구에서는 각 전동체의 하중과 접촉각도를 계산하기 위해 정적 해석을 수행하였다. 또한 볼과 궤도륜의 형상 함수와 영향 함수법을 이용하여 수치적인 3차원 접촉해석을 실행하였으며 볼 베어링의 턱 높이와 턱의 곡률반경을 결정하는 방법을 제시하였다. 이를 위하여 턱 높이와 접촉압력을 간단한 연산을 통하여 무차원턱 높이와 무차원 하중이라는 새로운 인자를 정의하였다. 그리고 무차원 하중, conformity ratio와 접촉각도가 임계 턱 높이와의 상관 관계를 분석하였다. 임의의 외력조건에서 모서리 효과에 의한 압력 스파이크가 발생하지 않는 정량화된 임계 턱 높이와 턱의 곡률반경을 제시하였다. 해석 결과 접촉각도와 무차원 하중이 증가할수록 무차원 쇼울더 높이가 증가하였다. 반대로 con-formity ratio가 증가하면 임계 턱 높이는 감소함을 알수 있었다.