Analysis on High School Students' Recognitions and Expressions of Changes in Concentration as a Rate of Change

변화율 관점에서 농도 변화에 대한 인식과 표현의 변화 과정에 대한 분석

  • Received : 2016.06.28
  • Accepted : 2016.08.08
  • Published : 2016.08.31

Abstract

The aim of the present study is twofold. One is to confirm a hypothesis that a student's rate concept influences her conceiving change of a function in the view of rate of change and the other is to build up foundations for understanding the transition process from her rate concept to the concept of rate of change when she investigates the change of concentration as an intensive quantity. We explored how three participating high school students recognized and expressed change of given functions by using their rate concept as a conceptual tool. The result indicates that a change in students' rate concept might have an effect on understanding how function values change in term of rate of change. We also expect that it could be a catalyst for further research for clarifying the relationship between students' rate concept and their development of a concept of rate of change as a foundation for learning calculus.

학생들의 '비와 비율 개념의 발달 과정'에서 변화율 개념이 어떻게 드러나는지에 대한 연구는 추후 변화율 관점에서 미분의 원리를 지도하는 연구에 중요한 기초연구가 될 수 있다. 특히 비율 개념 이해의 상태에 따라 이후 변화율 개념 발달에 장애물 혹은 중요한 개념적 발판이 될 수 있는지에 대하여, 학생을 대상으로 확인한 연구가 드물다는 점에서, 비율 개념과 변화율 개념의 관계에 대한 교수실험은 이후 변화율 관점에서의 미분 학습 관련 연구에 의미 있는 연구 자료를 제공해줄 것으로 보인다. 본 연구는 비율 개념이 변화율 관점에서 함수의 변화를 인식하는데 영향을 준다는 가설을 확인하기 위한 연구이자, 내포량에 해당하는 농도의 변화 과정에 대한 탐구과정을 통하여 학습자의 비율 개념에서 변화율 개념 형성 과정에 대한 이해의 폭을 넓히기 위한 기초연구이다. 세 명의 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 그들이 가지고 있는 비율 개념을 확인하고 과제 수행과정에서 비율 개념의 변화를 관찰했다. 또한 비가 변하는 상황 속에서 비율로 함수의 변화를 설명하는 활동을 통하여, 참여 학생들이 변화율 관점에서 함수의 변화를 인식하고 표현하는 것을 관찰한 결과, 비율 개념의 변화가 변화율 관점에서 함수의 변화를 인식하는 것에 변화를 가져올 수 있음을 확인하였다.

References

  1. 강향임 (2012). 수학적 모델링 과정에서 접선 개념의 재구성을 통한 미분계수의 재발명과 수학적 개념 변화, 학교수학, 14(4), 409-429.
  2. 강향임, 최은아(2015). 비와 비율에 관한 학생의 오류와 어려움 해결을 위해 필요한 교사지식. 학교수학, 17(4), 613-632.
  3. 김경희, 백희수(2010). 비와 비율 영역에 대한 우리나라와 싱가포르 교육과정 및 교과서 비교. 학교수학, 12(4), 473-491.
  4. 김성희, 방정숙(2005). 수학교수.학습 과정에서 과제의 인지적 수준 분석. 수학교육학연구, 15(3), 251-272.
  5. 임재훈, 박교식 (2004). 학교 수학에서 접선 개념 교수 방안 연구, 수학교육학연구, 14(2), 171-185.
  6. 박희옥, 박만구(2012). 비와 비율 학습에서나타나는 초등학교 학생들의 인식론적 장애 분석. 한국수학교육학회지 시리즈 C, 15(2), 159-170.
  7. 박희자, 정은실(2010). 우리나라 교과서와 미국 MIC 교과서의 비와 비율관련 단원 비교.분석. 한국초등수학교육학회지, 14(3), 769-788.
  8. 이동근, 문민정, 신재홍(2015). 이차함수에서 두변량사이의 관계 인식 및 표현의 발달 과정 분석, 한국수학교육학회지 시리즈 A, 54(4), 299-315.
  9. 이현주, 류중현, 조완영(2015). 통합적 이해의 관점에서 본 고등학교 학생들의 미분계수 개념 이해 분석. 수학교육논문집, 29(1), 131-155.
  10. 임태훈, 노석호, 백종민, 이복영, 강대훈, 장효순, 김주성, 이용철, 황인신, 고현덕, 신미영 (2015). 중학교 과학 2, 서울: 비상교육(주)
  11. 장혜원(2002). 초등학교 수학에서의 비의 값과 비율 개념의 구별에 대한 논의. 학교수학, 4(4), 633-642.
  12. 정연준, 이경화 (2009). 미적분의 기본정리에 대한 고찰 - 속도 그래프 아래의 넓이와 거리의 관계를 중심으로, 수학교육학연구, 19(1), 123-142.
  13. 정은실(2003a). 비 개념에 대한 교육적 분석. 수학교육학연구, 13(3), 247-265.
  14. 정은실(2003b). 비 개념에 대한 역사적, 수학적, 심리적 분석. 학교수학, 5(4), 421-440.
  15. 정은실(2010). 초등학교 수학교과서에서의 양의 계산에 대한 연구. 수학교육학연구, 20(4), 445-458.
  16. 정은실(2013). 초등학교 수학 교과에서의 비례 추론에 대한 연구. 수학교육학연구, 23(4), 505-516.
  17. 최영주, 홍진곤(2014). 도함수의 성질에 관련한 학생들의 사고에 대하여. 수학교육, 53(1), 25-40.
  18. 한재영, 연용호, 이상한, 임성모(1996). 교과과정상의 미분의 개념에 대한 대수적 고찰. 수학교육, 35(1), 101-107.
  19. 홍갑주(2013). 초등학교 2007 개정 교과서 비와 비율 관련 용어에 대한 고찰. 수학교육학연구, 23(2), 285-295.
  20. Byerley, C., Hatfield, N., & Thompson, P. W. (2012). Calculus student understandings of division and rate. In S. Brown, S. Larsen, K. Marrongelle, & M. Oehrtman (Eds.), Proceedings of the 15th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education (pp. 358-363). Portland, Oregon: SIGMAA/RUME.
  21. Confrey, J. & Smith, E. (1994). Exponential functions, rates of change, and the multiplicative unit. Educational Studies in Mathematics, 26(2), 135-164. https://doi.org/10.1007/BF01273661
  22. Ellis, A. B. (2011). Algebra in the middle school: Developing functional relationship through quantitative reasoning. In J. Cai, & E. Knuth (Eds.), Early algebraization (pp. 215-238). Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
  23. Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company.
  24. Lesh, R., & Clarke, D. (2000). Formulating operational definitions of desired outcomes of instruction in mathematics and science education. In A. E. Kelly & R. A. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp. 113-150). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
  25. Lobato, J., & Ellis, A. B. (2010). Essential understandings: Ratios, proportions, and proportional reasoning. In R. M. Zbiek (Series Ed.), Essential understandings. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).
  26. Steffe, L. P. & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying principles and essential elements. In A. E. Kelly & R. A. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp. 267-306). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
  27. Thompson, P. W. (1994). The development of the concept of speed and its relationship to concepts of rate. In G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 179-234). Albany, NY: SUNY Press.
  28. Thompson, P. W. (2008). Conceptual analysis of mathematical ideas: Some spadework at the foundation of mathematics education. In O. Figueras, J. L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano, & A. Sepulveda (Eds.), Proceedings of the Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. 45-64) Morelia, Mexico. PME.
  29. Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. CBMS Issues in Mathematics Education, 8, 103-122.