1. 서 론
열간 압연은 슬라브(slab)를 가열로에서 가열하여 조압연과 사상압연을 통해 원하는 폭과 두께로 압연하여 코일(coil) 형태의 최종 제품을 생산하는 공정이다. 그 중 조압연은 마무리 압연에서의 목표 판형상을 얻기 위해 슬라브를 중간 크기의 두께와 폭을 가지는 바(bar)로 가공하는 열간 압연의 중간 공정이다.
근래 실수율 향상과 자원 절감 차원에서 폭 정밀도의 향상이 요구되고, 특히 조압연에서의 정확한 폭퍼짐 예측에 관한 관심이 높아지고 있다. 조압연 pass schedule 에 따르면 도그 본(dog-bone) 형상 뿐만 아니라 평판 압연도 행해지므로 평판에 대한 폭 퍼짐 예측 또한 필수적이다. 과거 여러 연구자들에 의해 폭 퍼짐에 관한 모델이 제안되었으나 대부분 경험에 의한 실험식이었다[1~6]. 다른 접근 방법으로 Oh and Kobayashi 모델[7]은 가용 속도장(admissible velocity filed)을 이용하여 경계치 문제를 푸는 것으로 근사해를 구하였다[8].
본 연구에서는 extremum principle 을 기초로 하여 근사해를 구하기 위해 새로운 가용 속도장을 적용하였다. 제시된 폭 퍼짐 예측모델로부터 얻은 결과는 3 차원 비정상상태 유한요소해석(FE simulation)을 이용해 검증하였다.
2. 폭 퍼짐 예측 모델 수식화
2.1 Extremum principle
PartⅠ에서 소개한 대로 소성 변형이 일어나는 소재에 대하여 extremum principle을 적용하면 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.
여기서 는 소재의 유동 응력, 는 유효 변형률 속도, 은 롤 속도이다. 또한 λ 는 롤과 판의 접촉면에 작용하는 마찰 응력이고k' 는 최대 전단 응력으로 으로 나타낼 수 있다. Extremum principle에 의해 적용 가능한 여러 가용 속도장(admissible velocity field) 가운데 실제 속도장 가 위의 식을 최소화한다. Fig. 1에 압연되는 소재의 기하학적인 개략도를 나타내었다.
Fig. 1Definition sketch of flat rolling. Only a quadrant of the rolling geometry is shown
식 (1)의 우변의 항들은 각각 소성 변형에 의한 에너지, 마찰에 의한 에너지, 속도 불연속에 의해 발생하는 에너지를 의미하며 아래와 같이 정리할 수 있다.
2.2 가용 속도장
Part Ⅰ과 같이 속도장을 정의하면 다음과 같다. 본 논문에서 x 는 압연 진행 방향, y 는 폭방향을, z 는 소재의 두께 방향을 의미한다.
2.3 평판 적용 모델
직사각 단면을 가진 슬라브를 평평한 프로파일을 가지는 롤로 압연한다고 할 때 입측 두께 H1 (y) = H1 이며, 압연 중인 소재의 두께 h(x, y) 는 계산의 편의를 위해 다음과 같이 2차식으로 근사화하여 나타내었다. H2 는 출측 두께이다.
소성 변형이 bite zone에서만 발생한다고 가정할 때, 가용 속도장의 필수 조건으로 롤의 입측과 출측에서 길이 방향 속도 (x,y)는 일정한 상수 값을 가져야 한다. 이 조건을 식 (5)에 적용하면 폭 방향 변위(lateral displacement) w(x, y)가 만족해야 할 조건은 다음과 같다.
또 다른 경계 조건으로 x = 0 에서 w(x, y) = 0 이 되어야 한다.
유한요소 해석을 분석한 결과, 폭 방향 변위의 폭 방향( y 방향) 분포는 거의 선형에 가까웠다. 이러한 관점에서 폭 방향 변위 모델을 다음과 같이 선택한다.
여기서 α1은 무차원 변수이다. 식 (11)에서 압연진행 방향의 폭 퍼짐 형상에 대한 함수 P(x) 를 선정할 때 Part Ⅰ에서 유도한 Q(x) 도 고려하였다. 이때 w(x, y)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
식 (12)와 식(5) ~ (7)을 이용하여 식 (1)을 최소화하는 α1 을 찾아 폭 퍼짐을 예측할 수 있다. Table 1에 요약된 공정 조건들에 대하여 식 (12)를 이용하여 얻은 폭 퍼짐 예측치와 유한요소 해석을 실행하여 비교한 결과를 Fig. 2에 나타내었다.
Table 1Rolling conditions for the problem of rectangular inlet cross sections. R = 600mm, VR = 1666.7mm/sec, μ = 0.3. Regarding the flow stress and Young’s modulus of the slab material, = 0.2kN/mm2, E = 200kN/mm2. Total number of sets = 81
Fig. 2Width spread for the problem of a rectangular inlet cross section. Comparison between predictions from the present model (P(x) = Q(x)) and those from FEM
Fig. 2에서 볼 수 있듯 유한요소 해석과 식(12) ~ (17)을 이용한 폭 퍼짐 모델은 잘 일치하지 않았고 Q(x)가 P(x) 에 대해 올바른 선택이 아니라고 결론 내릴 수 있다. 따라서 bite zone에서 압연 진행 방향에 따라 폭 방향 변위의 변화를 정확하게 표현할 수 있는 P(x)를 찾을 필요가 있다.
유한요소 해석의 결과를 분석하여, 압연 진행 방향의 폭 퍼짐 형상에 관한 함수 P(x) 를 다음과 같이 정의한다.
여기서 c 는 무차원 변수로 압연 형상에 관계되는 무차원의 공정 변수(process variables)들로 이루어진 함수 형태로 나타낼 수 있다.
각각의 공정 변수는 다음과 같이 정의한다.
Fig. 3에는 s 와 r 의 c 에 대한 경향성을 나타낸 것이다. 유한요소 해석으로부터 예측한 폭 퍼짐과 일치하는 c 값을 찾고 s , r 과 𝛾의 경향성을 파악한 결과 s 와 𝛾 에 비해 r 이 미치는 영향은 미미하였다. r 을 제외한 나머지 변수들은 3차 다항식을 선택하여 최소제곱 회귀 분석(least square regression)을 통해 다음과 같은 식을 구하였다.
Fig. 3The effect of s and r on c . 𝛾 =3.5
Fig. 4에는 유한요소 해석과 식 (23)으로부터 얻은 c 값을 비교한 것으로 식 (23)의 결과가 유한요소 해석과 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다.
Fig. 4c values, comparison between predictions from the proposed equation and those from FE simulation. The range of s ; 0.75~1.75, the range of r ; 0.1~0.3, the range of 𝛾 ; 3.5~13.5
3. 모델 검증 및 결과
Fig. 5(a)와 (b)는 H1 = 24.19mm, H2= 19.35mm, b= 84.66mm, R = 600mm인 공정 조건에 대하여 각각 유한요소 해석과 식 (18)을 이용한 폭 퍼짐 모델의 입측에서 출측까지 bite zone 내부에서의 폭 방향 변위를 나타낸 것이다. Fig. 6(a)와 (b)에서 같은 공정 조건에 대하여 각각 FEM과 모델의 슬라브 중앙에서 가장자리까지 bite zone 내부에서의 폭 변위를 압연 진행 방향으로 나타내었다.
Fig. 5(a) FEM - lateral displacements in the bite zone across the bar width. Line no. 1 indicates the lateral displacement at the roll entrance, while line no. 10 indicates the lateral displacement at the roll exit, (b) Model - lateral displacements in the bite zone across the bar width. α1 = 4.3314, c = 4.38 is used
Fig. 6(a) FEM - lateral displacements in the bite zone along the rolling direction. Line no. 1 indicates the lateral displacement at the center of the bar, while line no. 10 indicates the lateral displacement at the edge, (b) Model - lateral displacements in the bite zone along the rolling direction. α1= 4.3314, c = 4.38 is used
Fig. 5와 Fig. 6에서 유한요소 해석과 제시된 폭 퍼짐 모델의 두 결과가 잘 일치하는 것을 확인함으로써 선택된 P(x)의 신뢰성을 검증하였다.
식 (5) ~ (7)과 식 (11), (18)을 식 (1)에 대입하고 상계 정리(upper bound theorem)를 적용, quadratic curve fitting[9] 최적화 기법을 이용하여 식 (1)을 최소화하는 α1 을 계산할 수 있고 이로써 폭 퍼짐 양을 예측 할 수 있다.
Table 1에 정리한 공정 조건에 대해 3차원 비정상 상태 유한요소 해석을 실행하였고 본 논문에서 제시된 모델과 비교하여 Fig. 7에 나타내었다. 대부분의 경우 유한요소 해석과 모델의 전체 폭에 대한 폭 퍼짐의 오차 범위가 1mm 내에서 형성되는 것을 확인할 수 있다.
Fig. 7Width spread for the problem of a rectangular inlet cross section. Comparison between predictions from the present model and those from FEM. The data represents change in the whole width (not half width) after rolling
4. 결 론
본 논문에서는 조압연 공정에서 직사각 단면을 가지는 슬라브를 수평 압연할 때 발생하는 폭 퍼짐을 예측하는 모델을 개발하였다. 도그 본 적용 모델인 식 (12)의 Q(x) 는 Part Ⅰ에서 소개한 대로 도그 본 높이가 낮아질수록 잘 맞지 않는 경향을 보였으며, 실제 평판의 유한요소 해석 결과와 일치하지 않았다(Fig. 1).
본 연구에서는 폭 퍼짐 예측을 위해 extremum principle에 기초를 두고 소성 가공 이론을 바탕으로 유도된 가용 속도장(admissible velocity field)을 이용하였다. 제시된 폭 퍼짐 모델은 유한요소 해석 결과를 분석하여 폭 방향 변위에 관한 함수를 정의하였고, 상계 정리(upper bound theorem)을 이용하여 폭 퍼짐 양을 구했다.
폭 퍼짐 예측 모델의 검증을 위해 다양한 공정 조건에 대하여 3차원 비정상상태 유한요소 해석을 실행하였다. 유한요소 해석과 모델의 오차는 대부분 1mm 이내로 모델의 우수한 예측 정밀도를 입증하였다.
본 모델은 물리적인 이론과 유한요소 해석 결과를 바탕으로 만든 수학적인 예측 모델로 향후 추가적인 실험을 통해 검증하여 모델의 신뢰성을 확보 할 수 있다.
본 연구를 통해 개발된 해석 기법과 결과는 사상 압연에도 적용될 수 있으며, 폭 퍼짐 예측 정밀도 개선을 위한 가치 있는 자료로 쓰이기를 기대한다.
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Cited by
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