초록
이 연구는 경기과학고등학교 1학년 학생 5명을 대상으로 사사연구를 진행하면서 학생들이 탐구한 수학적인 내용에 대한 분석과 그 결과가 나오기까지 멘토링을 하는 지도교수의 역할을 설명하고 있다. 학생들이 탐구한 수학적인 내용은 4차원 도형의 모양과 그 도형들에 나타나는 수학적인 성질이다. 지도교수는 연구에 익숙하지 않은 학생들을 위하여 수학자 피코크가 제안했던 '형식불역의 원리'를 모델로 삼도록 했고, 지도교수는 학생들의 창조적인 산출물 생산을 격려하기 위해 수학교육학자 프로이덴탈의 '안내된 재발명의 방법'을 사용하였다. 학생들은 지도교수의 안내에 의한 (재)발명의 원리에 따라 기존에 이미 알고 있던 수학적 성질을 고차원 도형에 적용시키면서 확장, 일반화시켜나갔는데, 여기에는 '형식불역의 원리'라는 틀이 매우 유용하게 작용하였다. 지도교사는 학생들에게 3차원 도형을 2차원에 표현하는 겨냥도, 전개도, 평면그래프를 응용하여 4차원을 3차원과 2차원에 표현하는 방식을 탐구하도록 하였다. 이 과정에서 학생들은 이미 알려진 파스칼의 삼각형과 이항정리, 오일러 정리, 하세의 다이어그램 등을 4차원 이상의 도형을 탐구할 때에도 적용할 수 있음을 확인하였다. 그리고 몇 가지의 추측과 후속 연구 과제를 제안하였다. 학생들의 산출물들은 형식불역의 원리와 안내된 재발명의 방법의 결과물인 것이다. 이 연구는 사사연구의 과정에 도움이 될 수 있는 3가지의 제안과 그 실 예를 담고 있다.
Some properties on the mathematical hyper-dimensional figures by 'the principle of the permanence of equivalent forms' was investigated. It was supposed that there are 2 conjectures on the making n-dimensional figures : simplex (a pyramid type) and a hypercube(prism type). The figures which were made by the 2 conjectures all satisfied the sufficient condition to show the general Euler's Theorem(the Euler's Characteristics). Especially, the patterns on the numbers of the components of the simplex and hypercube are fitted to Binomial Theorem and Pascal's Triangle. It was also found that the prism type is a good shape to expand the Hasse's Diagram. 5 mathematically gifted high school students were mentored on the investigation of the hyper-dimensional figure by 'the principle of the permanence of equivalent forms'. Research products and ideas students have produced are shown and the 'guided re-invention method' used for mentoring are explained.
