• 대한수학회보
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• 제22권1호
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• pp.11-15
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• 1985

Manddelberg [9] has shown that a Clifford algebra of a free quadratic space over an arbitrary semi-local ring R in Brawer-Wall group BW(R) is determined by its rank, determinant, and Hasse invariant. In this paper, we prove a corresponding result when R is a full ring.Throughout this paper, unless otherwise specified, we assume that R is a commutative ring having 2 a unit. A quadratic space (V, B, .phi.) over R is a finitely generated projective R-module V with a symmetric bilinear mapping B: V*V.rarw.R which is non-degenerate (i.e., the natural mapping V.rarw.Ho $m_{R}$(V,R) induced by B is an isomorphism), and with a quadratic mapping .phi.: V.rarw.R such that B(x,y)=1/2(.phi.(x+y)-.phi.(x)-.phi.(y)) and .phi.(rx) = $r^{2}$.phi.(x) for all x, y in V and r in R. We denote the group of multiplicative units of R by U9R). If (V, B, .phi.) is a free rank n quadratic space over R with an orthogonal basis { $x_{1}$,.., $x_{n}$}, we will write < $a_{1}$,.., $a_{n}$> for (V, B, .phi.) where the $a_{i}$=.phi.( $x_{i}$) are in U(R), and denote the space by the table [ $a_{ij}$ ] where $a_{ij}$ =B( $x_{i}$, $x_{j}$). In the case n=2 and B( $x_{1}$, $x_{2}$)=1/2 we reserve the notation [a $a_{11}$, $a_{22}$] for the space. A commutative ring R having 2 a unit is called full [10] if for every triple $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ of elements in R with ( $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$)=R, there is an element w in R such that $a_{1}$+ $a_{2}$w+ $a_{3}$ $w^{2}$=unit.TEX>=unit.t.t.t.

• 한국광물학회지
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• 제4권1호
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• pp.22-31
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• 1991

세 개의 탈수한 $Ag^+$이온과 $Ca^{2+}$ 이온으로 치환한 제올라이트 $A(Ag_4Ca_4-A,\;Ag_^Ca_3-A,\;Ag_8Ca_2-A)$를 0.1 Torr의 Rb 증기로 처리한 결정구조를 공간군 Pm3m을 써서 단결정 X-선 회절법으로 결정하였다. (단위세포상수 a는 각각 $12.271(1){\AA},\;12.255(1){\AA}$ 및 $12.339(1){\AA}$이다). 이들 구조의 최종 오차인수 R(무게)는 $I>3{\rho}(I)$가 되는 130 회절반사로 0.072, 110 회절반사로 0.050 및 86 회절반사로 0.082이었다. 각각의 구조에서 Rb 종은 세개의 다른 결정학적 위치에 위치하고 있다. 즉 단위세포당 3개의 $Rb^+$이온은 8-링 중심에 위치하고 약 2.5개 내지 3.0개의 $Rb^+$이온은 소다라이트 동공내 3회 회전축상에 위치한다. 또 Ag 종이 두 개의 다른 결정학적 위치에 위치하고 약 0.7∼2.1개의 $Ag^+$이온은 4-링과 마주보는 위치에, 약 2.2∼4.8개의 Ag 원자는 큰 동공 중심 가까이에 위치한다. 이들 구조에서 단위 세포당 Ag 원자이 수는 각각 2.2, 2.4 및 4.8개이었고 이들은 큰 동공 중심에 헥사실버 클라스터를 만든다. $Rb^+$이온은 8-링을 막고 있어서 Ag가 골조 밖으로 이동하는 것을 막고 있고 각각의 헥사실버 클라스터는 13개의 $Rb^+$ 이온과 배위하여 안정화된다. 단위 세포당 약 0.8개의 Rb원자가 과잉으로 존재하여 삼각 대칭형의 $(Rb_3)^{2+}$클라스터가 소다라이트 동공내의 존재한다. 적어도 하나의 큰 동공의 6-링 $Rb^+$ 이온은 소다라이트 동공의 $(Rb_3)^{2+}$클라스터에 접근하므로 이들 클라스터는 $(Rb)_4^{3+}$, $(Rb)_5^{4+}$ 혹은 $(Rb)_6^{5+}$가 형성될 수도 있다.