Dean (1965) proposed the use of the root mean square error (RMSE) in the dynamic free surface boundary condition (DFSBC) and kinematic free-surface boundary condition (KFSBC) as an error evaluation criterion for wave theories. There are well known wave theories with RMSE more than 1%, such as Airy theory, Stokes theory, Dean's stream function theory, Fenton's theory, and trochodial theory for deep-water waves. However, none of them can be applied for deep-water breaking waves. The purpose of this study is to provide a closed-form solution for deep-water waves with RMSE less than 1% even for breaking waves. This study is based on a previous study (Shin, 2016), and all flow fields were simplified for deep-water waves. For a closed-form solution, all Fourier series coefficients and all related parameters are presented with Newton's polynomials, which were determined by curve fitting data (Shin, 2016). For verification, a wave in Miche's limit was calculated, and, the profiles, velocities, and the accelerations were compared with those of 5th-order Stokes theory. The results give greater velocities and acceleration than 5th-order Stokes theory, and the wavelength depends on the wave height. The results satisfy the Laplace equation, bottom boundary condition (BBC), and KFSBC, while Stokes theory satisfies only the Laplace equation and BBC. RMSE in DFSBC less than 7.25×10-2% was obtained. The series order of the proposed method is three, but the series order of 5th-order Stokes theory is five. Nevertheless, this study provides less RMSE than 5th-order Stokes theory. As a result, the method is suitable for offshore structural design.
Taylor 정리를 이용하여 평균위치에서의 Eulerian유속으로부터 수립자의 시간에 따른 Lagrangian 운동궤적을 결정하는 방법이 제안되었다. 이 방법을 Stokes 유한진폭파이론에 적용하여 고차 파성분을 포함하는 수립자의 운동궤적과 질양이동속도를 결정하였다. Stokes 5차파이론의 적용 결과, 평균위치에서의 Eulerian 유속으로부터 결정한 수립자의 운동궤적은 자유수면 부근을 제외하고는 5차파이론에 의한 순간속도에 의해 계산된 값과 매우 좋은 일치를 보여주었다. Stokes 5차파 이론에 의한 질양이동속도는 종전의 2차파이론에 의한 질양이동속도보다 전수심에서 작은 값을 보여준다.
A general scheme is developed which determines the Lagrangian motions of water particles by the Eulerian velocity at their mean positions by use of Taylor's theorem. Utilizing the Stokes finite-amplitude wave theory, the mass transport velocity which includes the effects of higher-order wave components is determined. The fifth-order theory predicts the mass transport velocity less than that given by the existing second-order theory over the whole depth. Limited experimental data for changes in wave celerity in closed wave flumes are compared with the theoretical predictions.
The objective of this paper is to present an analytical solution in deep water waves and verify the validity of the theory (Shin, 2015). Hence this is a follow-up to Shin (2015). Instead of a variational approach, another approach was considered for a more accurate assessment in this study. The products of two coefficients were not neglected in this study. The two wave profiles from the KFSBC and DFSBC were evaluated at N discrete points on the free-surface, and the combination coefficients were determined for when the two curves pass the discrete points. Thus, the solution satisfies the differential equation (DE), bottom boundary condition (BBC), and the kinematic free surface boundary condition (KFSBC) exactly. The error in the dynamic free surface boundary condition (DFSBC) is less than 0.003%. The wave theory was simplified based on the assumption tanh $D{\approx}1$ in this paper. Unlike the perturbation method, the results are possible for steep waves and can be calculated without iteration. The result is very simple compared to the 5th Stokes' theory. Stokes' breaking-wave criterion has been checked in this study.
본 연구에서는 3차원 수치파동수조에서 무반사 조파시스템을 이용한 경사입사파의 조파방법을 새롭게 제안하고, 계산된 수면변위 및 수평유속에 대한 수치결과와 Stokes파의 3차 근사이론값과의 비교 분석을 통하여 새로운 모델의 검증을 실시하였다. 그 결과 본 연구에서 제안한 경사입사파의 조파방법의 타당성과 유효성을 확인할 수 있었다.
A Digital Wave Tank simulation technique, based on a finite-difference method and a modified marker-and-cell (MAC) algorithm, is applied in order to investigate the characteristics of nonlinear Tsunami propagations and their interactions with a 2D sloping beach, Ohkushiri Island, and to predict maximum wove run-up around the island. The Navier-Stokes (NS) and continuity equation are governed in the computational domain, and the boundary values are updated at each time step, by a finite-difference time-marching scheme in the frame of the rectangular coordinate system. The fully nonlinear, kinematic, free-surface condition is satisfied by the modified marker-density function technique. The near shore Tsunami is assumed to be a solitary wave, and is generated from the numerical wave-maker in the developed Digital Wave Tank. The simulation results are compared with the experiments and other numerical methods, based on the shallow-water wave theory.
A Digital Wave Tank simulation technique based on a finite-difference method and a modified marker-and-cell (MAC) algorithm is applied to investigate the characteristics of nonlinear Tsunami propagations and their interactions with a 2D sloping beach and Ohkushiri island, and to predict maximum wave run-up around the island. The Navier-Stokes (NS) and continuity equation are governed in the computational domain and the boundary values updated at each time step by a finite-difference time-marching scheme in the frame of rectangular coordinate system. The fully nonlinear kinematic free-surface condition is satisfied by the modified marker-density function technique. The Nearshore Tsunami is assumed to be a solitary wave and generated from the numerical wavemaker in the developed Digital Wave Tank. The simulation results are compared with the experiments and other numerical methods based on the shallow-water wave theory.
Optimal values of $\alpha$ characterizing the linear dispersion property in the modified Boussinesq equations are determined by minimizing the combined relative errors of the phase and group velocities. The value of $\alpha$ is fixed in previous studies, whereas it is varying in the present study. The phase and group velocities are calculated by using variable $\alpha$ and compared to those of the linear Stokes wave theory and previous studies. It is found that the present study produces the best match to the linear Stokes theory.
Unsteady nonlinear wave motions on the free surface over a plane beach of constant slope are numerically simulated using a finite difference method in rectangular grid system. Two-dimensional Navier-Stokes equations and the continuity equation are used for the computations. Irregular leg lengths and stars are employed near the boundaries of body and free surface to satisfy the boundary conditions. Also, the free surface which consists of markers or segments is determined every time step with the satisfaction of kinematic and dynamic free surface conditions. Moreover, marker-density method is also adopted to allow plunging jets impinging on the free surface. The second-order Stokes wave theory and solitary wave theory are employed for the generation of waves on the inflow boundary. For the simulation of wave breaking phenomena, the computations are carried out with the plane beach of constant slope in surf zone. The results are compared with each other. The marker-density method is better then the hybrid method. Also they are compared with other existing experimental results. The Agreement between the experimental data and the computation results is good.
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[게시일 2004년 10월 1일]
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