• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제25권3호
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• pp.251-278
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• 2022

본 연구의 목적은 한국, 일본, 싱가포르, 핀란드의 초등 수학교과서의 소수의 곱셈과 나눗셈에 대하여 어떻게 제시하고 있는지 분석하여 수학교육을 위한 시사점을 얻고자 하는 것이다. 소수의 곱셈과 나눗셈은 학생들이 자주 오개념을 가지는 것에 비하여 이를 표현하는 최근 초등 수학교과서의 비교 연구는 많지 않았다. 이 연구를 위하여 한국의 초등 수학교과서와 TIMSS나 PISA와 같은 국제성취도 연구에서 높은 수학 성취도를 나타내는 일본, 싱가포르, 핀란드에서 널리 사용하는 초등 수학교과서를 선정하였다. 분석은 소수의 곱셈과 나눗셈과 관련한 초등 수학과 교육과정, 지도 시기와 내용, 실생활 소재, 시각적 모델의 사용, 알고리즘의 형식화 방법의 관점에서 살펴보았다. 연구 결과, 소수의 곱셈과 나눗셈 관련 수학과 교육과정은 한국과 핀란드의 경우 어림을 포함하고, 일본과 싱가포르는 실생활 연계를 보다 강조하며 핀란드는 중등에서 연산이 완성되도록 하고 있다. 지도 시기와 내용은 짧은 기간에 집중적으로 지도하거나 여러 학년과 학기에 분산하기도 한다. 실생활의 소재는 모든 나라에서 간단한 문장제 형식으로 제시하였고, 시각적 모델의 사용이나 알고리즘의 형식화 방법은 단위 환산 등에서 자연수의 연산과 연계하도록 한다. 이러한 분석을 통해 교과서 개발 및 교사 연수에 제안을 하였다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제13권8호
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• pp.1593-1600
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• 2009

부동소수점 제곱근 연산은 곱셈을 반복하여 근사값을 계산하는 뉴턴-랍손 알고리즘 및 골드스미트 알고리즘과 뺄셈을 반복하여 정확한 간을 계산하는 SRT 알고리즘이 있다. 본 논문에서는 곱셈기를 사용하여 정확한 값을 계산하는 제곱근 알고리즘을 제안한다. 본 논문에서는 뉴턴-랍손 알고리즘을 이용하여 근사 역제곱근을 구하고, 이의 오차를 줄이면서 제곱근을 구하는 알고리즘과 계산된 제곱근을 보정하는 알고리즘을 제안한다. 제안한 알고리즘은 단정도 실수에서는 전수 조사를 통해서, 배정도 실수에서는 10억 개의 무작위 수를 계산하여 모두 정확한 값을 얻었다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 곱셈기만을 사용하므로 별도의 하드웨어가 필요하지 않다. 따라서 실장제어용기기, 휴대용기기 등 정확한 제곱근 연산을 요구하는 분야에서 사용될 수 있다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제11권1호
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• pp.46-55
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• 2007

다음은 부동소수점 역수 및 역제곱근 계산에 많이 사용하는 뉴톤-랍손 알고리즘은 일정한 횟수의 곱셈을 반복하여 계산한다. 본 논문에서는 뉴톤-랍손 알고리즘의 반복 과정의 오차를 예측하여 오차가 정해진 값보다 작아지는 시점까지 반복 연산하는 개선된 뉴톤-랍손 알고리즘을 제안한다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 입력 값에 따라서 곱셈 횟수가 다르므로, 평균 곱셈 횟수를 계산하는 방식을 유도하고, 여러 크기의 근사 테이블에서 단정도실수 및 배정도실수의 역수 및 역제곱근 계산에 필요한 평균 곱셈 횟수를 산출한다. 이들 평균 곱셈 횟수를 종래 알고리즘과 비교하여 본 논문에서 제안한 알고리즘의 우수성을 증명한다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 오차가 일정한 값보다 작아질 때까지만 반복 연산을 수행하므로 역수 및 역제곱근 계산기의 성능을 높일 수 있고 최적의 근사 테이블을 구성할 수 있다. 본 논문의 연구 결과는 디지털 신호처리, 컴퓨터 그라픽스, 멀티미디어, 과학 기술 연산 등 부동소수점 계산기가 사용되는 분야에서 폭 넓게 사용될 수 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제33권3호
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• pp.255-273
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• 2019

소수의 개념적 측면에 대한 학생들의 이해 부족 현상이 목격되는바 본 연구는 학생들이 소수 개념의 본질을 바르게 이해하도록 돕고자, 소수 개념 발전 역사를 조망하고 교과서의 개념 도입 방법을 분석하였다. 고대 그리스에서 소수는 곱셈 원자였다. 당시 단위는 수가 아니었지만, 소수 표기 개발로 단위가 수로 통합되면서 1의 소수성이 문제시 되었다. 소인수분해의 유일성을 근거로 1이 소수에서 배제되었으며, 이후 발전을 거듭하여 prime 개념과 irreducible 개념이 자리 잡게 되었다. 소수 개념 발전의 역사는 소수가 곧 곱셈 원자라는 사실이 개념의 본질임을 명백히 드러낸다. 교과서 분석 결과, 교과서는 소수 개념을 결정론적 시각 혹은 게임으로 도입하여 개념 본질을 드러내지 못하는 문제, 개념 도입 후 분석적 개념 정의로 급진적 전개가 이루어지는 문제 등이 있었다. 분석 결과에 기초하여 소수의 개념적 면에 주목하도록 돕는 것과 관련하여 몇 가지 교수학적 시사점을 제공하였다.

• 한국정보처리학회:학술대회논문집
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• 한국정보처리학회 2006년도 춘계학술발표대회
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• pp.839-842
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• 2006

대부분의 불리언 행렬에 대한 연구는 두 불리언 행렬의 곱셈에 초점을 두고 있으며 모든 불리언 행렬을 대상으로 한 곱셈에 대한 연구는 최근에야 극히 소수의 연구결과가 보이고 있다. 이 연구들은 모든 불리언 행렬 사이의 곱셈 실행시간을 개선시켰으나 연속된 세 개의 모든 lxn, nxm, mxk 불리언 행렬에 대한 곱셈은 아직 많은 개선이 필요하다. 본 논문은 모든 $l{\times}n,\;n{\times}m,\;m{\times}k$ 불리언 행렬의 곱셈 실행시간을 보다 개선할 수 있는 이론을 제시하고 이를 적용한 불리언 행렬 연속곱셈의 실행결과에 대하여 논한다.

• 한국정보처리학회:학술대회논문집
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• 한국정보처리학회 2022년도 춘계학술발표대회
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• pp.494-496
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• 2022

엣지 디바이스에서 딥러닝을 활용하기 위하여 CNN 경량화 연구들이 진행되고 있다. 경량 CNN 은 대부분 고정 소수점을 사용하며, 계층에 따라 정밀도는 달라진다. 본 논문에서는 경량 CNN 을 지원하기 위하여, 사용 계층에 따라 정밀도를 선택할 수 있는 가변 정밀도 곱셈기를 제안한다. 제안하는 가변 정밀도 곱셈기는 낮은 정밀도 곱셈기를 병합하는 구조로, 정밀도가 낮을 때는 병렬 처리를 통해 효율을 높인다. 제안하는 곱셈기를 Verilog HDL로 설계하고 ModelSim 에서 동작을 확인하였다. 설계된 곱셈기는 계층별로 정밀도가 다른 CNN 가속기에서 효율적으로 적용될 것으로 기대된다.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제9권2호
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• pp.380-389
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• 2005

부동소수점 나눗셈에서 많이 사용하는 골드스미트 나눗셈 알고리즘은 일정한 횟수의 곱셈을 반복한다. 본 논문에서는 오차가 정해진 값보다 작아질 때까지 곱셈을 반복하여 나눗셈을 수행하는 가변 시간 골드스미트 부동소수점 나눗셈 알고리즘을 제안한다. 부동소수점 나눗셈 ‘$\frac{N}{F}$'는 'T=$\frac{1}{F}+e_t$'를 분모와 분자에 곱하면 ’$\frac{TN}{TF}=\frac{N_0}{F_0}$'가 된다. ’$R_i=(2-e_r-F_i),\;N_{i+1}=N_i{\ast}R_i,\;F_{i+1}=F_i{\ast}R_i$, i$\in${0,1,...n-1}'를 반복한다. 중간 곱셈 결과는 소수점이하 p 비트 미만을 절삭하며, 절삭 오차는 ‘$e_r=2^{-p}$', 보다 작다. p는 단정도실수에서 29, 배정도실수에서 59이다. ’$F_i=1+e_i$'이라고 하면 ‘$F_{i+1}=1-e_{i+1},\;e_{i+1},\;e_{i+1}'이 된다. '$[F_i-1]<2^{\frac{-p+3}{2}}$'이면, ’$e_{i+1}<16e_r$'이 부동소수점으로 표현 가능한 최소값보다 작아지며, ‘$N_{i+1}\risingdotseq\frac{N}{F}$이다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 입력 값에 따라서 곱셈 횟수가 다르므로, 평균 곱셈 횟수를 계산하는 방식을 도출하고, 여러 크기의 근사 역수 테이블($T=\frac{1}{F}+e_t$)에서 단정도실수 및 배정도실수의 나눗셈 계산에 필요한 평균 곱셈 횟수를 계산한다. 이들 평균 곱셈 횟수를 종래 알고리즘과 비교하여 본 논문에서 제안한 알고리즘의 우수성을 증명한다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 오차가 일정한 값보다 작아질 때까지만 반복 연산을 수행하므로 나눗셈기의 성능을 높일 수 있다. 또한 최적의 근사 역수 테이블을 구성할 수 있다. 본 논문의 연구 결과는 디지털 신호처리, 컴퓨터 그라픽스,, 멀티미디어, 과학 기술 연산 등 부동소수점 계산기가 사용되는 분야에서 폭 넓게 사용될 수 있다.

• 정보처리학회논문지A
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• 제12A권2호
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• pp.95-102
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• 2005

부동소수점 나눗셈에서 많이 사용하는 뉴톤-랍손 부동소수점 역수 알고리즘은 일정한 횟수의 곱셈을 반복하여 역수를 계산한다. 본 논문에서는 오차가 정해진 값보다 작아질 때까지 곱셈을 반복해서 역수를 계산하는 가변 시간 뉴톤-랍손 부동소수점 역수 알고리즘을 제안한다. 'F'의 역수 계산은 초기값 $'X_0=\frac{1}{F}{\pm}e_0'$에 대하여, $'X_{i+1}=X=X_i*(2-e_r-F*X_i),\;i\in\{0,\;1,\;2,...n-1\}'$을 반복한다. 중간 곱셈 견과는 소수점 이하 p비트 미만을 절삭하며, 절삭 오차는 $'e_r=2^{-p}'$보다 작다. p는 단정도실수에서 27, 배정도실수에서 57이다. $'X_i=\frac{1}{F}+e_i{'}$라 하면 $'X_{i+1}=\frac{1}{F}-e_{i+1},\;e_{i+1}이 된다. $'\mid(2-e_r-F*X_i)-1\mid<2^{\frac{-p+2}{2}}{'}이면, $'e_{i+1}<4e_r{'}$이 부동산소수점으로 표현 가능한 최소값보다 작이지며, $'X_{i+1}\fallingdotseq\frac{1}{F}'$이다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 입력 값에 따라서 곱셈 횟수가 다르므로, 평균 곱셈 횟수를 계산하는 방식을 유도하고, 여러 크기의 근사 역수 테이블$(X_0=\frac{1}{F}{\pm}e_0)$에서 단정도실수 및 배정도실수의 역수 계산에 필요한 평균 곱셈 횟수를 계산한다. 이들 평균 곱셈 횟수를 종래 알고리즘과 비교하여 본 논문에서 제안한 알고리즘의 우수성을 증명한다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 오차가 일정한 값보다 작아질 때까지만 반복 연산을 수행하므로 역수 계산기의 성능을 높일 수 있다. 또한 최적의 근사 역수 테이블을 구성할 수 있다. 본 논문의 연구 결과는 디지털 신호처리, 컴퓨터 그라픽스, 멀티미디어, 과학 기술 연산 등 부동소수점 계산기가 사용되는 분야에서 폭 넓게 사용될 수 있다.

• 한국정보과학회:학술대회논문집
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• 한국정보과학회 2005년도 가을 학술발표논문집 Vol.32 No.2 (1)
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• pp.952-954
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• 2005

D-클래스는 $n{\times}n$ 불리언 행렬의 집합에서 특정 관계(relation)에 따딸라 동치(equivalent) 관계에 있는 불리언 행렬의 집합으로 구성된다. D-클래스 계산은 $n{\times}n$ 불리언 행렬의 전체 집합을 대상으로 이 집합에서 조합할 수 있는 모든 두 $n{\times}n$ 불리언 행렬 사이의 곱셈을 기본적으로 요구한다. 그러나 불리언 행렬에 대한 대부분의 연구는 두 개의 불리언 행렬에 대한 효율적인 곱셈에 집중되었으며 모든 $n{\times}n$ 불리언 행렬 사이의 곱셈에 대한 연구는 최근에야 소수가 보이고 있다. 두개의 $n{\times}n$ 불리언 행렬 곱셈에 대해 최적화된 알고리즘은 현재 알려져 있으나, 모든 $n{\times}n$ 불리언 행렬 사이의 곱셈에 대해 제시된 알고리즘은 아직 실행시간이 크게 향상되지 못하고 있으며 많은 개선과 연구가 필요하다. 본 논문은 개별적인 $n{\times}n$ 불리언 행렬 곱셈 대신 하나의 $n{\times}n$ 불리언 행렬과 불리언 행렬 집합과의 곱셈을 다루고 또한 이 곱셈에서 계산되는 모든 $n{\times}n$ 불리언 행렬을 집합으로 표현하는 방법을 통해 D-클래스 계산을 보다 효율적으로 할 수 있는 알고리즘에 대해 논한다.

• 한국콘텐츠학회:학술대회논문집
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• 한국콘텐츠학회 2005년도 추계 종합학술대회 논문집
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• pp.389-392
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• 2005

불리언 행렬은 다양한 분야에 응용되어 유용하게 사용되고 있으며, 불리언 행렬의 응용과 곱셈에 대하여 많은 연구가 수행되었다. 대부분의 연구에서는 불리언 행렬의 곱셈을 다루고 있으나 모두 두 불리언 행렬 곱셈에 관심을 두고 있으며 많은 불리언 행렬 쌍의 곱셈은 극히 소수의 연구에서 보이고 있다. 본 논문에서는 기존에 제시된 두 불리언 행렬의 최적 곱셈 알고리즘이 많은 불리언 행렬 쌍에 대한 곱셈을 해야 하는 경우 부적합함을 보이고 하나의 $n{\times}m$ 불리언 행렬과 모든 $m{\times}k$ 불리언 행렬의 곱셈을 개선시킬 수 있는 방법을 제시한다.