• 한국수학사학회지
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• 제22권3호
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• pp.31-44
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• 2009

현재 융합과학의 모델로 주목받고 있는 인지과학을 이해하기 위해서는 세 가지의 중대한 수학적 업적을 살펴볼 필요가 있다. 본 논문에서는 이 세 가지의 역사적 업적에 해당하는 튜링기계, 신경망, 괴델의 불완전성 정리를 중심으로 인지과학의 수학적 기틀을 연구한다. 먼저, 메타수학으로서의 인지과학을 고찰한다. 다음으로 컴퓨터의 수학적 모델로서 튜링기계와 그 발전을 탐구하고, 뇌의 수학적 모델로서 신경망과 그 발전을 탐구하고자 한다. 마지막으로는 인지과학의 미래를 위한 괴델의 불완전성 정리의 함의를 논의하고 양자인지과학을 전망한다.

• 한국수학사학회:학술대회논문집
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• 한국수학사학회 2005년도 춘계 학술발표회
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• pp.9.1-9.1
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• 2005

• 한국수학사학회지
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• 제27권1호
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• pp.47-57
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• 2014

This paper aims to evaluate works of Frege and G$\ddot{o}$del, who play the trigger role in development of logic, by Knowledge Change Model. It identifies where their positions are in the model respectively. For this purpose I suggest types of knowledge change and their criteria for the evaluation. Knowledge change are classified into five types according to the degree of its change: improvement, weak glorious revolution, glorious revolution, strong glorious revolution, and total revolution. Criteria to evaluate the change are its contents, influence, pervasive effects, and so forth. The Knowledge Change Model consists of the types and the criteria. I argue that in the model Frege belongs to the total revolution and G$\ddot{o}$del to the weak glorious revolution. If we accept that the revolution in logic initiated by Frege was completed by G$\ddot{o}$del, it is a natural conclusion.

• 한국수학사학회지
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• 제27권1호
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• pp.59-66
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• 2014

This interdisciplinary study explores G$\ddot{o}$del's hermeneutics of the relationship between relativity theory and idealistic philosophy in terms of time. For G$\ddot{o}$del, Einstein's contribution to the physical realization of idealistic philosophy would be remarkable. We start with a historical background around G$\ddot{o}$del's paper for Einstein(1949a). From the perspective of G$\ddot{o}$del's cosmology, the second part addresses the relative nature of time, and the next then investigates the rotating model of universes. G$\ddot{o}$del's own results show that the temporal conditions of relativity and idealistic philosophy are satisfiable in the mathematical model of rotating universes. Thus, it could be asserted to travel into any region of the past, present or future, and back again.

• 논리연구
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• 제9권2호
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• pp.117-175
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• 2006

이 논문은 매디가 왜 수학적 실재론을 포기하고 그녀 특유의 수학적 자연주의를 표방하게 되었는지를 탐구하려 한다. 이 문제에 관하여 널리 받아들여지고 있는 한 가설에 따르면, 매디의 입장 변화는 콰인-퍼트남 필수불가결성 논증을 비판하고 포기함으로써 야기되었다. 필자는 이 가설이 지닌 설득력을 인정하지만, 그것만으로는 실재론의 포기의 충분한 이유가 될 수 없다고 생각하며, 그 대신 과학과 수학의 유비 문제가 매디의 입장 변화를 이해하는 데 더 나은 조망을 제공한다는 점을 보여주고자 한다. 이를 위해서는 콰인과 괴델에 크게 빚졌던 실재론자 시절 매디의 사유가 얼마만큼 수학과 과학의 유비에 지배되었는지를 살펴보아야 하는 동시에, 왜 매디가 이 유비를 포기함으로써 실재론을 포기하게 되는지를 이해하여야 한다. 아울러 이 유비의 포기에 대한 다소의 비판적 검토를 통해 매디의 수학적 존재론의 지적 여정을 왜 필자가 존재론적 퇴보라 믿는지에 대한 몇 가지 이유가 시사될 것이다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제15권
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• pp.1-7
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• 2003

수학사 및 수리철학에 관한 연구는 교사양성 대학에서 더욱 강조되어야 할 부분임에도 불구하고 그에 관한 연구가 미진하다. 자연대의 수학과는 수학 그 자체가 중요하겠지만, 교사양성 대학에서는 수학 내용자체 뿐만 아니라, 수학의 역사적인 측면과 수학에 관한 인식론적인 측면이 함께 요구되어 진다. 절대적인 것으로 인식되어 온 수학에 대한 잘못된 선입견은 수학교육에도 심각한 악영향을 끼칠 수 있다. 그러나 괴델의 불완전성 정리 등으로 인해 수학에서의 논리체계는 더 이상 절대적이지 않다는 것을 알 수 있다. 본 연구에서는 숱한 오류들의 극복을 통해 발전해 온 수학사적인 측면과 그로 인하여 수학에 관한 인식론적 변화를 수학에서의 큰 사건들을 중심으로 살펴보고자 한다. 구체적으로 유클리드 기하에서 비유클리드 기하의 발견, 칸토어의 무한한 역설의 발생, 역설을 극복하기 위한 수학기토론의 탄생, 괴델의 불완전성 정리로 이어지는 과정들을 살펴보고, 그로 인해 도출되어지는 수학교육적 시사점을 논의해 보며, 이르르 바탕으로 교사양성 대학에서의 수학사 및 수리철학 강좌의 운영 방안을 제시한다.

• 논리연구
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• 제4권
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• pp.37-62
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• 2000

괴테의 불완전성 정리와 그것의 역사적 배경을 이루었던 힐베르트의 프로그램이 어떤 관계에 놓이느냐 하는 쟁점은 전자가 후자를 논박하느냐 하는 문제로 요약될 수 있다. 전자는 수리논리학에서의 한 정리이고 후자는 어떤 철학적 해석이 요구되는 요소를 지니고 있다. 따라서 전자는 '그 자체만으로는' 후자를 논박할 수 없으며, 어떤 철학적 해석이 부여될 때에만 그런 일은 가능할 수 있다. 후자가 지니고 있는 철학적 요소 중에서 가장 중요한 것은 힐베르트의 "유한주의"의 개념이다. 이 개념에 대해서 어떤 철학적 해석이 부여되느냐에 따라, 전자는 후자를 논박할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 특히, 힐베르트의 "유한주의"에 대한 철학적 해석은 괴델의 "특수한 유한주의적" 해석과 겐첸의 "구성주의적 해석"으로 대변할 수 있으며, 각각 논박설과 반논박설의 근거를 제공하고 있다. 결국, 문제는 그러한 철학적 해석들이 힐베르트의 사유에 비추어 얼마나 정당한가 하는 점이다. 이 글에서 나는 겐첸의 해석이 괴델의 해석에 대해 대등하게 경합적일 뿐만 아니라, 어떤 점에서는 힐베르트의 사유에 비추어 더 정당하다는 것을 보이고자 한다.

• 한국수학사학회지
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• 제27권6호
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• pp.403-408
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• 2014

The interdisciplinary study addresses the G$\ddot{o}$del's ontology from the perspective of the mathematical maximality. We first investigate G$\ddot{o}$del's God having all the positive properties as the intersection of ultrafilters in his own ontological proof(1970). Regarding the axiom of choice and his compactness theorem(1930), the next part discusses the ontological meaning of the maximal rather than the maximum in terms of an episteme space. The results show that G$\ddot{o}$del's ontological arguments imply all the existence of the maximal reality, and all the human's epistemological boundedness as well.

• 한국정보과학회 언어공학연구회:학술대회논문집(한글 및 한국어 정보처리)
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• 한국정보과학회언어공학연구회 1995년도 제7회 한글 및 한국어 정보처리 학술대회
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• pp.258-263
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• 1995

마음과 기계의 관계에 대한 $G{\ddot{o}}del's$의 선언결론(disjunctive conclusion)은 마음과 정보처리형식체계의 논리적 동치성을 함의하고 있다. 그리고 $G{\ddot{o}}del's$의 불완전성 정리(Incompleteness Theorems)에 따르면 마음과 정보처리형식체계의 논리적 동치성은 무모순이며, 동치성 반증의 이론은 그 모델을 가질 수 없다.

• 인지과학
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• 제23권3호
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• pp.367-388
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• 2012

이 연구는 튜링의 탄생 백주년을 맞이하여 인지과학을 위한 그의 심대한 공헌을 고찰하기 위한 작업이다. 이 논문에서는 특히 튜링에게 가장 중요한 학문적 영향을 주었던 괴델의 시각을 통하여 튜링의 공헌과 입장이 논의된다. 이를 위하여 메타수학적 접근이 시도되며, (1) 튜링의 인지에 대한 수학적 분석, (2) 보편튜링기계, (3) 보편튜링기계의 한계, (4) 보편튜링기계의 한계를 넘는 모델로서의 오라클튜링기계, (5) 인지과학을 위한 튜링테스트가 논의된다. 이 연구에 의하면, 튜링의 공헌은 다음과 같이 정리될 수 있다. 첫째 튜링은 수리논리를 사용하여 마음과 물리적 세계의 새로운 가교를 발견했다. 둘째, 튜링은 마음의 작동에 대하여 새로운 형식적 분석을 제공했다. 셋째, 튜링은 자신의 튜링기계의 한계를 넘어서는 마음의 새로운 모델로서 오라틀 튜링기계와 연결주의적 신경망기계를 제시했다. 우리 인지과학자들은 튜링의 어깨 위에 서서 늘 새로운 튜링테스트를 기다리고 있게 될 것이다.