Application of Vector Scalar Product to Solve the Kinematic Equations in the Earth's Gravitational Field

Any object located in the earth's gravitational field experiences a force in the direction of the center of the earth. In order to describe the motion of objects in the field, the solutions to a system of simultaneous vector kinematic equations need to be obtained. In the analysis of freely-falling objects, the reference direction +y is usually defined to be the downward direction. In the analysis of the motion of objects thrown upward, the reference direction +y is usually defined to be the upward direction. In the analysis of the motion of objects thrown downward, the reference direction +y is usually defined to be the downward direction. In this paper, we show that the choice of reference axis in either upward or direction gives the same results by adopting a scalar product of two vectors in solving the vector kinematic equations. It is rare to find other examples of using a scalar product of two vectors in solving vector kinematic equations describing the motion of objects. An application of this study is that we can arbitrarily choose the reference direction for objects moving in a horizontal direction, including projectile motions.

지구 중력장 내에서 성립하는 운동 상태 방정식의 해를 구하기 위한 벡터의 스칼라 프로덕트 응용

지구 중력장 내에 위치한 물체는 연직 아래 방향의 힘을 받고 있다. 중력장 내에서 물체의 운동을 기술하기 위하여 운동상태 방정식을 이용한다. 자유 낙하하는 물체를 해석할 때 기준 방향은 연직 하방을 +y으로, 연직위로 던져 올린 물체를 해석할 때 기준방향은 연직상방을 +y으로, 연직 아래로 던져 내린 물체를 해석할 때, 기준 방향은 연직 하방을 +y으로 선택하여 해석함이 일반적이다. 이 논문에서는 두 벡터의 스칼라 곱 (즉, 도트 곱)을 이용하여 연직 상방 또는 하방 두 경우를 방향으로 선택하여 구성한 벡터 운동 상태 방정식(vector kinematics equations)을 해석의 결과가 서로 일치함을 제시한다. 두 벡터의 스칼라 곱 (즉, 도트 곱)을 이용하여 물체의 상태 방정식를 해석한 예는 선행 연구에서 거의 찾아볼 수가 없다. 이 결과를 이용하면, 수평면의 방향 또는 빗각을 이루는 방향의 초속도로 던져 올리거나 던져 내린 물체의 운동 상태를 해석하기 위하여 연직 기준 방향을 상방 또는 하방으로 임의 선택할 수가 있다.