Embedding Multiple Meshes into a Crossed Cube

The crossed cube has received great attention because it has equal or superior properties compared to the hypercube that is widely known as a versatile parallel processing system. It has been known that disjoint two copies of a mesh of size $4{\times}2^m$ or disjoint four copies of a mesh of size $8{\times}2^m$ can be embedded into a crossed cube with dilation 1 and expansion 1 [Dong, Yang, Zhao, and Tang, 2008]. However, it is not known that disjoint multiple copies of a mesh with more than eight rows and columns can be embedded into a crossed cube with dilation 1 and expansion 1. In this paper, we show that disjoint $2^{n-1}$ copies of a mesh of size $2^n{\times}2^m$ can be embedded into a crossed cube with dilation 1 and expansion 1 where $n{\geq}1$ and $m{\geq}3$. Our result is optimal in terms of dilation and expansion that are important measures of graph embedding. In addition, our result is practically usable in allocating multiple jobs of mesh structure on a parallel computer of crossed cube structure.

다중 메쉬의 교차큐브에 대한 임베딩

교차큐브는 병렬처리 시스템의 상호연결망으로서 널리 알려진 하이퍼큐브와 많은 면에서 비슷하면서도 절반 정도의 지름을 가지는 등 개선된 망 성질들을 가지므로 각광 받아 왔다. 크기 $4{\times}2^m$인 메쉬의 복사본 두 개, 혹은 크기 $8{\times}2^m$인 메쉬의 복사본 네 개가 교차큐브에 연장율 1, 확장율 1로 임베딩 될 수 있음이 알려져 있다.[Dong, Yang, Zhao, and Tang, 2008]. 그러나 양변의 길이가 모두 8 보다 큰 메쉬 다수 개가 교차큐브에 연장율 1, 확장율 1로 임베딩될 수 있는지는 알려진 바가 없다. 이 논문에서는 크기 $2^n{\times}2^m$인 메쉬의 복사본 $2^{n-1}$개가 교차큐브에 연장율 1, 확장율 1로 임베딩될 수 있음을 보인다. $n{\geq}1$, $m{\geq}3$. 이 연구 결과는 연장율과 확장율이라는 주요 임베딩 측정 척도에서 최적이다. 또한 이 연구 결과는 메쉬 구조를 가지는 다수 개의 작업을 교차큐브 구조를 가지는 병렬 컴퓨터에 할당하는데 효과적으로 활용될 수 있다.