Security Analysis of ElGamal-Type Signature Scheme Using Integer Decomposition

For an ElGamal-type signature scheme using a generate g of order q, it has been well-known that the message nonce should be chosen randomly in the interval (0, q-1) for each message to be signed. In (2), H. Kuwakado and H. Tanaka proposed a polynomial time algorithm that gives the private key of the signer if two signatures with message nonces 0＜$k_1$, $k_2$$\leq$Ο(equation omitted) are available. Recently, R. Gallant, R. Lambert, and S. Vanstone suggested a method to improve the efficiency of elliptic curve crytosystem using integer decomposition. In this paper, by applying the integer decomposition method to the algorithm proposed by Kuwakado and Tanaka, we extend the algorithm to work in the case when ｜$k_1$ ｜,｜$k_2$, ｜$\leq$Ο(equation mitted) and improve the efficiency and completeness of the algorithm.

정수의 분해를 이용한 ElGamal형 서명기법의 안전성 분석

위수가 q인 생성원 g를 사용하는 ElGamal형 서명기법에서는 서명되어질 각 문서마다 message nonce를 구간(0, q-1)에서 랜덤하게 선택해야 한다는 것은 잘 알려진 사실이다. H. Kuwakado와 H. Tanaka는 사용된 message nonce가 각각 0＜$textsc{k}$$_1$, $textsc{k}$$_2$$\leq$Ο(equation omitted)인 서명 두 개가 주어졌을 때, 서명자의 비밀키를 다항식 시간으로 계산해내는 알고리즘을 제안하였다. 최근 R. Gallant, R. Lambert, S. Vanstone등은 정수를 적절히 분해하여 타원곡선암호의 효율성을 개선하는 방법을 제안하였다. 이 논문에서는 타원곡선암호의 고속연산에서 사용되었던 정수의 분해기법을 Kuwakado등의 알고리즘에 적용하여 message nonce가 ｜$textsc{k}$$_1$｜, ｜$textsc{k}$$_2$｜인 경우에도 적용할 수 있도록 확장하고, 알고리즘의 효율성 및 공격의 완성도를 개선하였다.