Minimum Cost Range Assignment for the Vertex Connectivity of Graphs

For n points $p_i$ on the m-dimensional plane $R^m$ and a fixed range r, consider a set $T_i$ containing points the distances from $p_i$ of which are less than or equal to r. In case m=1, $T_i$ is an interval on a line, it is a circle on a plane when m=2. For the vertices corresponding to the sets $T_i$, there is an edge between the vertices if the two sets intersect. Then this graph is called an intersection graph G. For m=1 G is called a proper interval graph and for m=2, it is called an unit disk graph. In this paper, we are concerned in the intersection graph G(r) when r changes. In particular, we consider the problem to find the minimum r such that G(r)is connected. For this problem, we propose an O(n) algorithm for the proper interval graph and an $O(n^2{\log}\;n)$ algorithm for the unit disk graph. For the dynamic environment in which the points on a line are added or deleted, we give an O(log n) algorithm for the problem.

그래프의 정점 연결성에 대한 최소 범위 할당

m차원 평면 $R^m$ 상에 n개의 점들 $p_i$가 주어질 때, 범위 r에 대해서, 점 $p_i$로부터 거리 r이내 점들의 집합 $T_i$를 생각한다. m=1 일 때, $T_i$는 직선상의 구간이고, m=2일 때, $T_i$는 평면상의 원에 해당된다. 집합 $T_i$들을 정점에 대응하고, 두 집합이 교차하는 경우에 대응하는 두 정점 사이에 간선를 연결하면 교차 그래프 G를 얻을 수 있다. m=1일 때, G는 진구간 그래프(proper interval graph), m=2일 때, G는 단위 원판 그래프(unit disk graph)라고 부른다. 본 논문에서는 범위 r이 변화하면 바뀌는 교차 그래프 G(r)에 관심이 있다. 특별히 G(r)가 연결 그래프가 되는 최소 r을 찾는 문제를 다룰 것이다. 이 문제에 대해서 진구간 그래프 G(r)에 대해서 O(n)시간 알고리즘, 단위 원판 그래프 G(r)에 대해서 $O(n^2{\log}\;n)$시간 알고리즘을 제안한다. 직선상의 점들이 추가 되거나 삭제되는 동적 환경 하에서 위 문제를 O(lon n)시간에 해결하는 알고리즘도 제안한다.