Approximation of π by financial historical data

The irrational number ${\pi}$ is defined as the ratio of circumference of a circle to its radius and always becomes constant. This article does Monte Carlo approximation of its value using the famous Buffon's needle experiment and shows that its convergence is not always proportional to the sample size. We also do Monte Carlo simulations to see the convergence of the computed ${\pi}$ values from the random walk series with independent normal increment. Finally we apply the theoretical derivation to various financial time series data such as KOSPI, stock prices of Korean big firms, global stock indices and major foreign exchange rates. The historical data shows that log transformed data random walk process but most of their first lagged data don't follow a normal distribution. More importantly the computed value from the ratio of the regression coefficient ${\pi}$ tend to converge a constant, unfortunately not ${\pi}$. Using this result we could doubt on the efficient market hypothesis, and relate the degree of the hypothesis with the amount of deviation of the estimated ${\pi}$ values.

금융시계열자료를 이용한 원주율값 π의 추정

원주율 ${\pi}$는 임의의 원의 지름에 대한 둘레의 비로 정의되며 상수값을 갖는다. 이 값은 무리수이며 초월수로서 고대로부터 좀 더 정확한 값을 구하기 위한 수많은 노력이 있어왔다. 특히 확률분야에서는 18세기 Buffon의 바늘문제를 기점으로 확률실험을 통하여 ${\pi}$값을 계산하려는 많은 노력이 있어왔다. 통계분야에서 Chong (2008)은 서로 독립인 이변량표준정규확률분포와 단변량 확률보행과정의 차분이 독립인 정규분포를 따른다는 전제조건하에서 ${\pi}$값을 유도하였다. 본 연구에서는 Buffon의 바늘문제와 정사각형에 내접하는 원의 문제에서 유도된 ${\pi}$값을 확률실험을 통하여 근사값을 구해보며 이 값이 실험횟수와 어떤 관계가 있는지 알아본다. 더불어 Chong이 유도한 단변량확률보행과정의 차분에 근거한 ${\pi}$의 일치추정량을 모의실험을 통하여 검증해본다. 나아가 국내외 금융자료를 사용하여 제시된 방법에 의해 계산된 추정값의 수렴여부와 수렴할 경우 극한값과 ${\pi}$의 오차정도를 살펴보고 이를 통하여 효율적시장가설에 대한 설명을 시도한다.