A Polynomial Time Algorithm for Vertex Coloring Problem

The Vertex Coloring Problem hasn't been solved in polynomial time, so this problem has been known as NP-complete. This paper suggests linear time algorithm for Vertex Coloring Problem (VCP). The proposed algorithm is based on assumption that we can't know a priori the minimum chromatic number ${\chi}(G)$=k for graph G=(V,E) This algorithm divides Vertices V of graph into two parts as independent sets $\overline{C}$ and cover set C, then assigns the color to $\overline{C}$. The element of independent sets $\overline{C}$ is a vertex ${\upsilon}$ that has minimum degree ${\delta}(G)$ and the elements of cover set C are the vertices ${\upsilon}$ that is adjacent to ${\upsilon}$. The reduced graph is divided into independent sets $\overline{C}$ and cover set C again until no edge is in a cover set C. As a result of experiments, this algorithm finds the ${\chi}(G)$=k perfectly for 26 Graphs that shows the number of selecting ${\upsilon}$ is less than the number of vertices n.

정점 색칠 문제의 다항시간 알고리즘

본 논문은 지금까지 NP-완전인 난제로 알려진 정점 색칠 문제를 선형시간 복잡도로 해결한 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 그래프 G=(V,E)의 최소 채색수 ${\chi}(G)$=k를 결정하기 위해 사전에 k값을 알지 못한다는 가정에 기반하고 있다. 단지 주어진 그래프를 독립집합 $\overline{C}$와 정점 피복 집합 C로 정확히 양분하여 $\overline{C}$에 색을 배정하는 방법을 적용하였다. 독립집합 $\overline{C}$의 원소는 ${\delta}(G)$인 정점 ${\upsilon}$가, C의 원소는 정점 ${\upsilon}$의 인접 정점들 u가배정된다. 축소된 그래프 C는 다시 $\overline{C}$와 C로 양분되며, 이 과정을 C의 간선이 없을 때까지 수행한다. 26개의 다양한 그래프를 대상으로 제안된 알고리즘을 적용한 결과 정점 ${\upsilon}$를 선택하는 횟수는 정점의 수 n보다 작은 값을 나타내었으며, ${\chi}(G)$=k를 찾는데 성공하였다.