Evaluation of Running Friction Torque of Tapered Roller Bearings Considering Geometric Uncertainty of Roller

롤러의 형상 불확실성을 고려한 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크 평가

Abstract

A bearing is a mechanical component that transmits rotation and supports loads. According to the type of rotating mechanism, bearings are categorized into ball bearings and tapered roller bearings. Tapered roller bearings have higher load-bearing capabilities than ball bearings. They are used in applications where high loads need to be supported, such as wheel bearings for commercial vehicles and trucks, aircraft and high-speed trains, and heavy-duty spindles for heavy machinery. In recent times, the demand for reducing the driving friction torque in automobiles has been increasing owing to the CO₂ emission regulations and fuel efficiency requirements. Accordingly, the research on the driving friction torque of bearings has become more essential. Researchers have conducted various studies on the lubrication, friction, and contact in tapered roller bearings. Although researchers have conducted numerous studies on the friction in the lips and on roller misalignment and skew, studies considering the influence of roller shape, specifically roller shape errors including lips, are few. This study investigates the driving friction torque of tapered roller bearings considering roller geometric uncertainties. Initially, the study calculates the driving friction torque of tapered roller bearings when subjected to axial loads and compares it with experimental results. Additionally, it performs Monte Carlo simulations to evaluate the influence of roller geometric uncertainties (i.e., the effects of roller geometric deviations) on the driving friction torque of the bearings. It then analyzes the results of these simulations.

1. 서론

베어링(bearing)은 회전을 전달하고 하중을 지지하는 기계요소부품으로, 내륜(inner ring), 외륜(outer ring), 그리고 전동체(rolling element)로 구성된다. 전동체의 종류에 따라서 볼 베어링(ball bearing)과 테이퍼 롤러 베어링(tapered roller bearing)으로 구분되며, 테이퍼 롤러 베어링은 볼 베어링 대비 하중 전달능력이 상대적으로 우수하여 상용차 및 트럭용 휠 베어링(wheel bearing for commercial vehicle and truck), 항공기와 고속철도(aircraft and high-speed train), 중장비용 스핀들(heavy-duty spindle) 등과 같이 고하중을 지지할 수 있는 곳에 사용된다. 최근 들어, CO₂ 배출가스와 연비 규제에 따라 자동차의 구동마찰토크 저감의 요구는 점점 증가하고 있고, 이에 부응하여 베어링의 구동마찰토크 연구는 그 필요성이 증가하고 있다[1-3].

테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크는 볼 베어링과 비교할 때 상대적으로 크며, 그 이유는 볼 베어링은 볼과 궤도부의 접촉이 점 접촉(point contact)인데 비하여 테이퍼 롤러 베어링은 롤러(roller)와 궤도부의 선 접촉(line contact)이며, 롤러 끝단과 플랜지(flange)에서의 미끄럼 마찰(sliding friction)도 존재하기 때문이다. 테이퍼 베어링의 구동마찰토크는 베어링 형상, 전동체의 표면조도(surface roughness), 냉각(cooling), 윤활(lubrication), 오정렬(misalignment), 예압(preload) 등으로부터 영향을 받는다[4].

테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크에 대한 기존의 연구들을 살펴보면, Witte[5]는 베어링의 거동과 하중 분포(load distribution)에 기반하여 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 계산할 수 있는 간단하고 실용적인 수식을 개발하였다. Karna[6]는 테이퍼 롤러 베어링의 립(rib) 끝단에서의 마찰계수를 계산하는 이론과 시험을 수행하였고, 특히 윤활조건이 립에서의 성능에 중요한 영향을 끼침을 확인하였다. Aihara[7]는 탄성유체윤활(elastohydrodynamic lubrication, EHL) 조건에서 구름 저항(rolling resistance)과 오일(oil) 유막두께 예측에 기반하여 축 하중이 작용하는 경우의 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 계산하였다. Zhou 등[8]은 베어링의 토크를 궤도부의 구름(raceway rolling) 또는 미끄럼(sliding), 립과 롤러 끝단의 접촉에 의한 마찰력, 롤러와 케이지(cage)의 마찰력, 윤활유의 이탈 저항(churning resistance)으로 구분하고, 탄성유체윤활 이론과 마이크로-매크로 접촉해석(micro-macro contact analysis)을 통하여 베어링 토크를 계산하였다. Tong 등[4]은 각도 오정렬(angular misalignment)을 가지는 테이퍼 롤러 베어링에 대하여 구동마찰토크를 계산하였다. Zhang 등[9]은 롤러 스큐 효과(skewing effect)를 고려하여 건식 윤활(dry lubrication) 조건의 테이퍼 롤러 베어링 마찰 토크를 계산하였다. 위의 연구들로부터 알 수 있듯이 테이퍼 롤러 베어링의 윤활, 마찰, 접촉 등에 대한 다양한 연구가 수행되어졌다. 특히, 립의 마찰에 대한 연구나 롤러의 오정렬 및 스큐를 고려한 연구는 다수 수행된 이력이 있으나, 립을 포함한 롤러의 형상에 대한 영향 즉, 롤러의 형상 오차를 고려한 연구는 거의 없는 실정이다.

본 연구에서는 롤러의 형상 불확실성을 고려한 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크에 대하여 연구하였다. 먼저, 축 하중이 작용하는 경우에 대하여 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 계산하고, 시험 결과와 비교하였다. 또한, 롤러의 형상 불확실성, 즉 롤러의 형상 공차에 따른 베어링의 구동마찰토크의 영향을 평가하기 위하여 Monte Carlo simulation을 수행하고 그 결과를 분석하였다.

2. 구동마찰토크 계산

일반적으로 테이퍼 롤러 베어링의 마찰 토크는 아래 네 가지로 구성된다.

(1) 롤러와 내/외륜 궤도 사이의 마찰,

(2) 롤러 끝단과 립(rib) 사이의 마찰,

(3) 롤러와 케이지 포켓(cage pocket) 사이의 마찰,

(4) 윤활제의 이탈 저항

정상 회전속도에서는 (3)과 (4)의 영향이 작기 때문에 테이퍼 롤러 베어링의 마찰 토크는 주로 (1)과 (2)에 의하여 결정된다. (1)항의 롤러와 내/외륜 궤도 접촉 표면 간의 마찰은 탄성 지연 손실(elastic hysteresis loass)과 점성 구름 저항(viscous rolling resistance)으로 구분할 수 있고, (2)항의 롤러 끝단과 립 사이의 마찰은 쿨롱 마찰(Coulomb friction)과 유체 마찰(fluid friction)을 고려한 미끄럼 마찰 저항으로 구분할 수 있다.

테이퍼 롤러 베어링의 마찰 토크와 회전 속도의 관계는 Fig. 1과 같다. 저속에서는 (2)항의 롤러 끝단과 립 접촉에서의 미끄럼 마찰이 지배적이다. 회전속도가 증가함에 따라서 립 접촉에서의 토크는 감소하고, 궤도부 접촉에서의 토크가 증가하기 때문에 실제 작동속도에서는 (1)항의 롤러와 내/외륜 궤도 사이의 마찰이 총 베어링 토크에 큰 영향을 끼친다[7,8,10].

Fig. 1. Frictional torque of tapered roller bearing[10].

축 하중 (F_a)이 가해지는 테이퍼 롤러 베어링의 구동 마찰토크 계산을 위하여 롤러에 작용하는 하중을 검토해보면 Fig. 2에서 알 수 있듯이 내륜 궤도에 작용하는 하중(inner raceway load, Q_i), 외륜 궤도에 작용하는 하중(outer raceway load, Q_o), 그리고 롤러 끝단과 립의 접촉 시 발생하는 하중(load at roller end and rib contact, Q_f)으로 나눌 수 있다. 이 하중들은 원칙적으로 분포하중(distributed load)이나 편의상 집중하중(concentrated load)으로 표시하였다.

Fig. 2. Force acting on tapered roller[7].

Q_e와 Q_i가 거의 동일하다는 가정하에 각각의 하중은 아래와 같이 표현할 수 있다.

\(\begin{aligned}Q_{e}=Q_{i}=\frac{F_{a}}{z \sin \alpha}\end{aligned}\)       (1)

\(\begin{aligned}Q_{f}=\frac{F_{a} \sin 2 \beta}{z \sin \alpha}\end{aligned}\)       (2)

여기서, z는 롤러 개수, a는 외륜 궤도 반각(outer raceway half angle), 2b는 롤러 테이퍼 각(roller head angle), e는 립 접촉높이(height of roller end and rib contact)를 의미한다.

롤러에 작용하는 마찰력을 표시하면 Fig. 3과 같다.

Fig. 3. Frictional forces acting on a roller[7].

Fig. 3에서 M_i, M_o는 궤도부와 롤러 접촉 시 발생하는 구름 저항, F_si, F_so는 궤도와 롤러 접촉부의 미끄럼 저항, 그리고, F_sf는 롤러 끝단과 립 접촉 시 미끄럼 저항에 의한 마찰력을 의미한다. 아래 첨자 i, o, f 는 각각 내륜, 외륜, 플랜지(flange) 즉 립을 의미한다.

롤러에 대하여 하중과 모멘트의 평형 방정식을 적용하면 아래와 방정식을 얻을 수 있다.

Force equilibrium:

F_so - F_si = F_sf       (3)

Moment equilibrium:

\(\begin{aligned}M_{i}+M_{o}=\frac{D_{a}}{2} F_{s o}+\frac{D_{a}}{2} F_{s i}+\left(\frac{D_{a}}{2}-e\right) F_{s f}\end{aligned}\)       (4)

테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크는 Eq. (5)와 같이 외륜에 작용하는 모멘트로 정의할 수 있다.

M = z(R_oF_so - M_o)       (5)

Eqs. (3)-(5)를 정리하면 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크는 Eq. (6) 으로 계산할 수 있다[7].

\(\begin{aligned} M= & M_{R}+M_{S} \\ & =\frac{Z}{D_{a}}\left(R_{o} M_{i}+R_{i} M_{o}\right)+ \\ & e \cdot F_{a} \cos \beta \cdot \mu_{0} \exp \left(-1.8 \Lambda_{r}^{1.2}\right)\end{aligned}\)       (6)

구름 저항 또는 궤도부 마찰에 의하여 발생하는 토크(M_R)에서 M_i,o는 Eq. (7)로부터 계산할 수 있다.

\(\begin{aligned}M_{i, o}=\left[\xi \frac{1}{\alpha_{0}}(G U)^{0.658} W^{0.31} \cdot R_{e}^{2} \cdot l\right]_{i, o}\end{aligned}\)       (7)

ξ, G, U, W는 각각 윤활 점성에 따른 열 부하 파라메터(thermal loading parameter, ξ = η₀βu²/k'), 물성 파라메터(material parameter, G = α₀E'), 속도 파라메터(speed parameter, U = η₀u / E'R_x'), 그리고 하중 파라메터(load parameter, W = F_r / E'R²_x이다. α₀는 점성에 대한 압력 계수이며, R_e는 상당 반경(equivalent radius)이다. η₀는 주변 압력에서의 윤활유 점도(lubricant viscosity at ambient pressure)로서 Ubbelohde-Walther 식 [11]으로 계산할 수 있고, β는 점도의 온도 계수(temperature coefficient of viscosity), k'는 윤활유의 열전도도(thermal conductivity of lubricant)이다.

미끄럼 마찰에 의한 토크 또는 립부 마찰에 의한 토크(M_s)에서 마찰계수(coefficient of friction, COF, μ)는 Patir-Cheng 식 [12]으로부터 Eq. (8)과 같이 계산할 수 있다.

μ = μ₀exp(-1.8Λ^{1, 2}_r)       (8)

여기서, μ₀은 COF 계수이며, Λ_r은 오일 유막 파라메터(oil film parameter, Λ_r = μ₀exp(-1.8Λ^{1, 2}_r))이다. 최소유막두께(h_min)는 Hamrock-Dowson 식 [13]으로부터 Eq.(9)와 같이 구할 수 있고, Σσ는 복합조도(composite roughness)이다. 아래 첨자 r은 립(rib)을 의미한다.

h_min = 3.63U^0.68G^0.49W^-0.073(1 - exp(-0.68κ)R_x)       (9)

위에서 설명한 내용을 기반으로 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 계산하는 프로그램을 개발하였고, Fig. 4는 프로그램 구동 예이다.

Fig. 4. Developed bearing running friction torque calculation program.

3. 구동마찰토크 시험

테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 평가하기 위한 시험기는 Fig. 5와 같다. Fig. 5의 시험기는 수직 토크 시험기로 Fig. 5의 오른쪽 그림과 같이 테이퍼 롤러 베어링 시편을 시험기에 체결하고, 상온에서 저속에서 고속으로 회전시키면서 축 하중을 적용 후 구동마찰토크를 측정하였다. 윤활은 초기에 적용하고 상온에서 일정 시간이상 유지하여 윤활막이 충분히 형성된 후 시험 및 측정을 실시하였다.

Fig. 5. Tapered roller bearing running friction torque tester.

2장에서 개발된 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크 계산 프로그램의 신뢰성을 검증하기 위하여 Fig. 5의 시험기를 이용하여 시험을 수행하였다. 시험은 15회 반복 시험을 수행하였고, 평균 0.51 Nm이다. 계산 결과는 0.53 Nm으로서 계산의 신뢰도는 4%이다. 이 결과로부터 본 연구에서 제안한 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크 계산 프로그램이 시험 결과를 잘 예측함을 알 수 있다.

4. 롤러의 형상 불확실성을 고려한 구동마찰토크 예측

롤러의 형상 불확실성을 고려한 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 예측하기 위하여 2장에서 개발된 프로그램을 이용하여 Monte Carlo simulation을 수행하였다. Monte Carlo simulation은 상용 소프트웨어인 Isight[14]를 이용하였다. 샘플링(sampling) 기법은 descriptive sampling을 사용하였고, 샘플링 회수는 5,000회이다.

롤러의 형상 공차에 따른 베어링의 구동마찰토크의 영향을 평가하기 위하여 Fig. 6과 같이 롤러의 형상에 영향을 주는 인자를 정의하고, 정의된 인자에 대하여 Table 1과 같이 확률 분포, 평균, 표준편차를 갖는 확률변수로 가정하였다. Monte Carlo simulation 수행 시 립 접촉높이(e)는 0보다 크거나 같아야 한다는 조건으로부터 Eq.(10)의 조건을 만족해야 한다.

Fig. 6. Factors influencing the shape of a roller.

Table 1. Random variables for running torque calculation considering geometric uncertainties of roller

\(\begin{aligned}e=\frac{D_{a}}{2}-R \sin \left(\alpha-\frac{\beta}{2}-\eta\right) \geq 0\end{aligned}\)       (10)

Monte Carlo simulation을 이용한 롤러 형상 불확실성을 고려한 베어링의 구동마찰토크 예측 결과를 Fig. 7과 Table 2, 그리고 Table 3에 나타내었다. Fig. 7에서 알 수 있듯이 테이퍼 베어링 구동마찰토크의 산포는 왼쪽으로 치우친 분포 (positive skewed distribution) 를 보이고 있으며, 이때 앞으로 치우친 정도를 표시하는 왜도(skewness)는 0.05이며, 산포의 평균 값은 0.70 Nm이다. 이와 같은 형태가 발생한 이유는 Eq. (10)의 조건 때문에 음의 값을 갖는 변수는 계산 시 고려가 되지 않았기 때문이다.

Fig. 7. Probability distribution for running friction torque calculation considering geometric uncertainties.

Table 2. Monte Carlo distributions for running friction torque calculation considering geometric uncertainties

Table 3. Monte Carlo response percentiles for running friction torque calculation considering geometric uncertainties

Table 1의 4개 변수에 대하여 상관도 분석(correlation analysis)을 수행하여 구동마찰토크에 영향을 미치는 변수를 분석하였다. 상관도 분석 결과, 구동마찰토크에 영향을 끼치는 변수는 Fig. 8에서 알 수 있듯이 외륜 궤도 반각, 립부 각도, 롤러 테이퍼 각도, 롤러 대단경의 순서이다. 즉, 이들 변수를 변경하면 구동마찰토크 값의 영향이 상대적으로 커진다. 여기서, 외륜 궤도 반각, 립부각도는 (−)의 영향을 끼치고, 다른 변수는 (+)의 영향을 끼친다. 따라서 본 연구에 논의한 테이퍼 베어링 구동마찰토크를 감소시키기 위해서는 외륜 궤도 반각 또는 립부 각도를 크게 해야 함을 예상할 수 있다.

Fig. 8. Correlation coefficients for running friction torque calculation considering geometric uncertainties.

Fig. 9는 확률변수에 대한 구동마찰토크의 등고선도(contour plot) 를 나타낸다. 여기서, 검은색 점은 Monte Carlo simulation 결과가 표시된 값을 의미한다. Fig. 9(a), (b), (f)에서 파란색 부분에 점선으로 표시된 부분은 Eq. (10)에 의하여 발생하는 설계 가능 영역 (feasible design region) 과 설계 불가능 영역 (infeasible design region) 의 경계를 나타낸다. 즉, 구동마찰토크 값이 음수가 발생하는 영역은 설계 불가능 영역을 의미한다. Fig. 9의 등고선도로부터 4개의 확률변수는 매우 복잡한 비선형성을 가지고 있음을 알 수 있다.

Fig. 9. Contours according to random variables for running friction torque calculation considering geometric uncertainties.

5. 결론

본 연구에서는 롤러의 형상 불확실성을 고려한 테이퍼 롤러 베어링의 구동 토크 예측을 수행하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결과는 다음과 같다.

1) 베어링 이론으로부터 축 하중이 가해지는 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 계산하는 프로그램을 개발하였다.

2) 개발된 프로그램의 신뢰성을 검증하기 위하여 토크 시험을 수행하였고, 시험 결과 개발된 프로그램의 신뢰성은 4%로서 시험 결과를 잘 예측함을 알 수 있었다.

3) 롤러의 형상 불확실성을 고려한 테이퍼 롤러 베어링의 구동마찰토크를 예측하기 위하여 Monte Carlo simulation을 수행하였다. Monte Carlo simulation 수행 결과, 구동마찰토크의 평균은 0.70 Nm이고 왜도가 0.05인 왼쪽으로 치우친 분포를 보임을 확인하였다. 확률변수의 상관도 분석 결과, 외륜 궤도 반각과 립부 각도가 큰 영향을 끼침을 예상할 수 있다.