Prediction of the Dynamic behavior and Contact Pressure of Overhung Rotor Systems According to the Support Characteristics of Double-row Tapered Roller Bearings

복열테이퍼 롤러베어링 지지특성에 따른 오버헝 회전축 시스템의 동적 거동 예측 및 접촉부 압력 해석

Abstract

This study establishes a numerical analysis model of the finite element overhung rotor supported by a DTRB and describes the stiffness properties of the DTRB. The vibration characteristics and contact pressure of the RBR system are predicted according to the DTRB support characteristics such as the initial axial compression and roller profile. The stiffness of the DTRB significantly varies depending on the initial axial compression and external load owing to the occurrence of rollers under the no-load condition and increase in the Hertz contact force. The increase in the initial axial compression increases the rigidity of the DTRB, thereby reducing the displacement of the RBR system and simultaneously increasing the natural frequency. However, above a certain initial axial compression, the effect becomes insignificant, and an excessive increase in the initial axial compression increases the contact pressure. The roller crowning radius, which gives a curvature in the longitudinal direction of the roller, decreases the displacement of the RBR system and increases the natural frequency as the value increases. However, an increase in the crowning radius increases the edge stress, causing a negative effect in terms of the contact pressure. These results show that the DTRB support characteristics required for reducing the vibration and contact pressure of the RBR system supported by the DTRB can be designed.

1. 서론

구름 베어링은 두 기계 요소 사이의 회전 운동을 유지하며 동력을 지지하고 전달하기 위한 필수 기계 요소이다. 구름 베어링의 한 종류인 테이퍼 롤러 베어링(Tapered Roller Bearing, TRB)은 원추형 롤러와 궤도륜으로 이루어진 롤러 베어링의 한 유형이며, 롤러와 궤도륜이 원뿔을 형성하도록 배열된다. TRB는 가혹한 작업조건, 특히 큰 축방향 및 반경방향 하중을 전달할 수 있어 헬리콥터 기어박스, 가스터빈 엔진, 고속철도 등에 널리 사용되고 있다. 이러한 장점을 기반으로 전세계적으로 자동차 및 중장비에 TRB를 사용하는 경우가 늘어나고 있으며 이에 따라 TRB를 대상으로 하는 연구도 활발히 이루어지고 있다[1,2].

많은 기계산업분야에서 TRB를 복열로 조립해 큰 하중수용 능력 혹은 베어링 강성을 확보한다. 두 개의 TRB를 조립하여 만든 베어링을 복열테이퍼 롤러베어링(Double-row Tapered Roller Bearing, DTRB)라고 한다. 복열로 베어링을 조립하는 방법은 배면조합(back-to-back)과 정면조합(face-to-face) 두 가지가 있는데, 그 중 배면조합은 예압을 통해 최대의 안정성과 강성 확보를 하며, 직선 방향 하중뿐만 아니라 축계 시스템의 모멘트에 대한 저항력 역시 우수한 것으로 알려져 있다.

회전축계 시스템 설계 및 연구에서 가장 중요한 두 인자는 회전축 그리고 이를 지지하는 베어링이다. 또한 대부분의 기계에서 구름 베어링은 축과 함께 결합하여 작동하며 이러한 시스템은 구름 베어링-회전축(Rolling Bearing-Rotor, RBR) 시스템이라 명명된다. RBR 시스템은 단순한 자전거부터, 변속기, 공작기계, 항공기 엔진, 우주선의 터보 펌프 등의 성능, 안정성 등을 결정하는 핵심 요소이며 이러한 수요에 따라 다수의 연구자들이 RBR 시스템의 기계적 특성에 관해 연구해왔다[3]. 그 중 DTRB는 큰 하중 및 모멘트를 수반할 수 있는 능력 때문에 자동차 허브, 풍력 터빈 등 오버헝 형태의 RBR 시스템에 널리 사용된다. 따라서 본 논문에서는 오버헝 형태의 로터를 지지하는 DTRB로 구성된 RBR 시스템 수치 해석 모델을 정립해 주요 매개 변수를 선정하고 그 영향을 정량적으로 알아볼 것이다.

본 연구의 첫 번째 주요 모델은 DTRB이다. Becrea 등[4]은 기존 벡터해석 기반의 TRB 준-정적 해석 모델에 착안하여 DTRB의 준-정적 모델을 정립했다. 또한 내륜 및 롤러의 회전 관성을 고려하는 준-동적 모델 역시 개발하여 DTRB의 피로수명, 미끄럼 속도 그리고 동력 손실 등을 예측했다. 하지만 해당 모델은 모델의 고도화로 인해 다양한 경우에서의 결과를 확인하기 힘들었다. 그에 따라서, Yang 등[5]은 수치적 수렴성이 좋지 않은 모델은 산업에 널리 사용될 수 없음을 지적하여 Luo[6]의 단순한 모델을 개선시켜 롤러의 자유도를 고려하지 않는 간단한 DTRB 준-정적 모델을 정립했다. 해당 모델은 수치적 수렴성이 우수하지만 국부적 압력 상승을 일으키는 롤러의 틸팅을 고려할 수 없으며, 내륜의 3 자유도 만을 고려해 다방향의 하중 및 모멘트의 결합 효과를 볼 수 없었다. 따라서 본 연구에서는 DTRB의 특성을 면밀히 살펴보기 위해 Becrea[4]의 모델을 채택하였으며 외륜으로 설정된 전체 베어링 평형 방정식 대상을 내륜으로 변경해 RBR 시스템에 결합하고자 한다.

구름 베어링, 회전축은 결합되어 서로 상호작용하며 작동한다. 따라서 정확한 회전축계 시스템 해석을 위해, 두 요소가 결합된 RBR 시스템에 대한 연구가 지속적으로 증가하고 있다. RBR 시스템에서 구름 베어링을 고려하는 방법은 Lumped-parameter model, 준-정적 해석 모델, 준-동적 해석 모델, 동적 해석 모델로 크게 4가지로 나뉜다. 회전축 역시 Jeffcott 모델, 강체 모델, 유한 요소 모델로 나뉜다. RBR 시스템에서 구름 베어링의 동적 해석 모델과 회전축의 유한 요소 모델을 결합한 것이 가장 고도화된 모델이지만, 수치적 수렴의 어려움으로 인해 연구자들의 필요에 따라 각각 단순화된 모델을 선택하는 것이 일반적이다[3].

Sinou[7]등 은 Timoshenko 빔 회전축 모델과 볼 베어링 모델을 결합해 RBR 시스템의 비선형 진동 거동 및 접촉을 연구했다. 그들은 RBR 시스템의 비선형 응답을 발생시키는 주요 원인은 디스크의 불평형력과 볼 베어링의 반경 방향 간극이라고 설명했고 이러한 효과에 따른 RBR 시스템의 응답을 정량적으로 분석했다. Bai 등[8]은 볼 베어링으로 지지된 대칭형 RBR 시스템 모델을 정립해 RBR 시스템의 공진 및 저조파(Subharmonic) 성분을 조사했으며, 실험 데이터와 비교 및 검증을 수행해 수치해석 모델의 타당성을 검증했다. 저조파 성분은 볼베어링의 축방향 예압을 통해 진폭을 줄일 수 있지만 해당 성분을 완전히 소거할 수는 없으며, 불평형력의 영향보다 RBR 시스템에 가해지는 외력의 영향이 훨씬 크다는 결론을 도출했다. Cui 등[9]은 각 접촉 볼 베어링으로 지지된 RBR 시스템의 비선형 진동 및 안정성을 연구했다. 각 접촉 볼 베어링의 초기 접촉각의 증가는 RBR 시스템의 고유진동수를 낮추는 결과를 초래하며 불평형력은 구름 베어링-유연 회전축 시스템의 비주기적 거동을 초래한다는 결론이 도출됐다. 또한 회전축의 유연성이 RBR 시스템의 비선형 거동에 큰 영향을 미치며, RBR 시스템의 정확한 진동 거동 해석을 위해서는 유연체 회전축을 적용해야 함을 지적했다. Tsuha 등[10]은 원통 롤러 베어링으로 지지된 RBR 시스템을 EHL 강성, 감쇠 효과를 고려해 연구했다. 그들의 연구는 회전 속도의 변화는 유막의 양력에 영향을 미치며 기존의 건식 접촉 모델은 이러한 부분의 고려가 불가능하다는 것에 주목했다. 최근에는 Liu 등[11]을 통해 각 접촉 볼 베어링-유연 회전축 시스템의 열적 효과까지 고려되는 수준으로 연구가 발전했으며 많은 연구자들이 현재도 RBR 시스템 연구에 박차를 가하는 중이다.

기존 선행 연구자들의 RBR 시스템 연구는 각 접촉 볼베어링 혹은 원통형 롤러 베어링에 집중 되어있다. 즉 TRB 혹은 DTRB로 지지된 RBR 시스템의 해석 모델은 아직 학계에 보고된 바가 없다. 이러한 이유는 각 접촉 볼 베어링, 원통형 롤러 베어링은 해석 모델이 비교적 정형화된 반면 TRB 혹은 DTRB는 고하중을 수반하는 특수성, 기하학적 형상의 복잡성 등 때문에 해석 모델이 제대로 정립되지 않았기 때문이다. 이에 본 논문에서는 DTRB로 지지된 오버헝 회전축 RBR시스템 수치 해석모델을 정립하고자 한다. 또한 베어링 지지 위치, 예압, 롤러의 프로파일 등에 따른 RBR 시스템의 진동 거동을 포괄적으로 살펴볼 것이며 구름 베어링의 피로수명에 가장 큰 영향인자인 접촉 압력 또한 분석해 DTRB-회전축 시스템의 특성을 살펴보고자 한다.

2. 연구방법 및 내용

2-1. DTRB 하중 분배

Fig. 1은 DTRB의 주요 형상 치수들을 나타낸 것으로, l은 롤러 길이, D_l은 롤러 대단부 직경, α, β, ε는 각각 외륜, 내륜, 롤러의 반 원뿔각을 의미한다.

Fig. 1. DTRB Geometry Dimensions.

DTRB 준 정적 해석을 위해, Fig. 2와 같은 좌표 시스템이 고려됐다. (X, Y, Z)는 전체 베어링 좌표계를 의미하며 (x, y, z)는 각 롤러 대단부를 중심으로 한 롤러 좌표계이며 하첨자 1, 2는 각각 1열 2열을 의미한다. 중심점 O를 기준으로 내륜이 병진 및 회전할 때, DTRB는 직선 반력 F_X, F_Y, F_Z 그리고 모멘트 반력 M_X, M_Y를 발생시키며 작동 성능의 향상을 위해 축방향 예압을 수반한다. r_m은 피치 반경, r_c는 전체 베어링 중심점과 롤러좌표계의 거리를 의미한다.

Fig. 2. DTRB system coordinate and load state.

내륜의 병진 및 회전 운동은 직선 변위 δ_X, δ_Y, δ_Z 그리고 각 변위 φ_X, φ_Y를 포함한 5 자유도 모델로 고려되었으며, δ_O는 축방향 예압을 의미한다. 내륜의 변위에 따른 롤러의 변위는 각 롤러 좌표계를 기준으로 직선 변위 u_x, u_y 그리고 롤러의 틸팅을 의미하는 각 변위 φ_y를 포함한 3자유도 모델로 표현됐다.

DTRB에서 롤러는 Fig. 3과 같이 내륜, 외륜 그리고 내륜의 플랜지와 접촉하며 해당 접촉부에서 하중이 발생한다. 선 접촉을 하는 내륜과 외륜의 경우 슬라이스 방법을 통해 롤러 프로파일을 고려한 해석이 가능하다. 여기서, Q_i, Q_o, Q_f는 각각 내륜, 외륜, 플랜지의 접촉력을 의미하며 F_c는 구심력, M_g는 자이로스코픽 모멘트를 의미한다. R_s는 롤러 대단부 반경, θ는 플랜지 개방 각, λ는 롤러 대단부 반경의 반 각을 의미한다. r_w는 롤러의 프로파일을 고려한 z축을 따른 반경을 의미하며 그에 대응하는 롤러의 z축에서 궤도륜 접촉면까지의 거리 r_race는 다음과 같다.

Fig. 3. (a) Slice method and roller profile (b) Roller load condition.

\(\begin{aligned}r_{w}=\left(\frac{r_{m}}{\sin \gamma}-z\right) \tan \varepsilon-\frac{(z-0.5 l)^{2}}{2 R}\end{aligned}\)       (1)

\(\begin{aligned}r_{\text {race }}=\left(\frac{r_{m}}{\sin \gamma}-z\right) \tan \varepsilon\end{aligned}\)       (2)

여기서, R은 롤러의 크라우닝 반경을 의미한다.

DTRB 접촉력을 계산하기 위해 접촉하는 표면에 대한 벡터해석법이 도입됐다. 전체 베어링 좌표계 그리고 각 롤러 좌표계에 대해 내륜, 외륜, 플랜지의 접촉 표면이 표현되고 내륜, 롤러의 변위를 반영한 벡터를 이용해 접촉력을 계산한다. 자세한 내용은 아래에 설명되며 여기서 R, r은 각각 궤도륜, 롤러의 접촉 표면의 좌표를 나타내며 하첨자 i, o, f는 내륜, 외륜, 플랜지 그리고 상첨자 *는 변위가 반영된 후 접촉 표면의 좌표를 의미한다. 열의 번호는 하첨자 k로 나타냈다. 또한 연산자 ±,∓의 위쪽 기호는 1열을 그리고 아래쪽 기호는 2열을 의미하며 N은 각 열의 롤러 개수를 나타낸다.

각 열의 롤러는 Fig. 4와 같이 원주 방향으로 다른 위치각을 가진다. ψ_j는 j번째 롤러의 위치각을 의미하며 베어링의 공전을 고려한 시간에 따른 롤러의 위치각은 다음과 같이 표현된다.

Fig. 4. Angular position of roller.

\(\begin{aligned}\psi_{j}=\frac{2 \pi(j-1)}{N}+\Omega_{c} t+\psi_{0}\end{aligned}\)       (3)

여기서, N은 각 열의 롤러 개수, Ω_c는 롤러의 공전속도, t는 시간, ψ₀는 초기 위치각을 의미한다.

2-1-1. 초기 위치 벡터

내륜이 변위를 가지기 전 궤도륜 접촉 표면을 나타내는 초기 위치 벡터는 다음과 같이 전체 베어링 좌표계(X, Y, Z)에 따라 나타낼 수 있다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\mathbf{R}_{i}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{R}_{i X} \\ \mathbf{R}_{i Y} \\ \mathbf{R}_{i Z}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}\left(r_{m}-z \cdot \sin \gamma-r_{\text {race }} \cdot \cos \gamma\right) \cos \psi_{j} \\ \left(r_{m}-z \cdot \sin \gamma-r_{\text {race }} \cdot \cos \gamma\right) \sin \psi_{j} \\ \pm\left(z \cdot \cos \gamma-r_{\text {race }} \cdot \sin \gamma-r_{c}\right)\end{array}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (4)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\mathbf{R}_{o}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{R}_{o X} \\ \mathbf{R}_{o Y} \\ \mathbf{R}_{o Z}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}\left(r_{m}-z \cdot \sin \gamma+r_{\text {race }} \cdot \cos \gamma\right) \cos \psi_{j} \\ \left(r_{m}-z \cdot \sin \gamma+r_{\text {race }} \cdot \cos \gamma\right) \sin \psi_{j} \\ \pm\left(z \cdot \cos \gamma+r_{\text {race }} \cdot \sin \gamma-r_{c}\right)\end{array}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (5)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\mathbf{R}_{f}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{R}_{f X} \\ \mathbf{R}_{f Y} \\ \mathbf{R}_{f Z}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}\left(r_{m}-R_{s} \cdot \cos \lambda \cdot \sin \gamma+R_{s} \cdot \sin \theta\right) \cos \psi_{j} \\ \left(r_{m}-R_{s} \cdot \cos \lambda \cdot \sin \gamma+R_{s} \cdot \sin \theta\right) \sin \psi_{j} \\ \pm\left(R_{s} \cdot \cos \gamma \cdot \cos \lambda-R_{s} \cdot \cos \theta-r_{c}\right)\end{array}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (6)

여기서, 롤러가 변위를 가지기 전 롤러 접촉 표면의 초기 위치 벡터는 각 롤러의 좌표계 (X, Y, Z)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(\begin{aligned}\mathbf{r}_{o}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{r}_{o x} \\ \mathbf{r}_{o y} \\ \mathbf{r}_{o z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r_{w} \\ 0 \\ Z\end{array}\right]\end{aligned}\)       (7)

\(\begin{aligned}\mathbf{r}_{o}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{r}_{o x} \\ \mathbf{r}_{o y} \\ \mathbf{r}_{o z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r_{w} \\ 0 \\ Z\end{array}\right]\end{aligned}\)       (8)

\(\begin{aligned}\begin{array}{c}\mathbf{r}_{f}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{r}_{f x} \\ \mathbf{r}_{f y} \\ \mathbf{r}_{f z}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}R_{s} \cdot \sin (\gamma-\theta) \\ 0 \\ R_{s} \cdot(\cos \lambda-\cos (\gamma-\theta))\end{array}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (9)

2-1-2. 최종 위치 벡터

내륜의 변위가 발생한 뒤, 궤도륜 접촉 표면의 위치 벡터는 다음과 같다. 본 연구에서는 외륜은 하우징에 고정된 걸로 간주한다. 따라서 궤도륜 접촉 표면의 최종 위치 벡터는 다음과 같다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\mathbf{R}_{i}{ }^{*}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{R}_{i X}{ }^{*} \\ \mathbf{R}_{i Y}{ }^{*} \\ \mathbf{R}_{i Z}{ }^{*}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}\mathbf{R}_{i X}+\delta_{X}+\mathbf{R}_{i Z} \cdot \varphi_{Y} \\ \mathbf{R}_{i Y}+\delta_{Y}-\mathbf{R}_{i Z} \cdot \varphi_{X} \\ \mathbf{R}_{i Z}+\delta_{Z} \pm \delta_{0}-\mathbf{R}_{i X} \cdot \varphi_{Y}+\mathbf{R}_{i Y} \cdot \varphi_{X}\end{array}\right] \\\end{array}\end{aligned}\)       (10)

R₀^* = R₀       (11)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\mathbf{R}_{f}^{*}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{R}_{f X}{ }^{*} \\ \mathbf{R}_{f Y}{ }^{*} \\ \mathbf{R}_{f Z}{ }^{*}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}\mathbf{R}_{f X}+\delta_{X}+\mathbf{R}_{f Z} \cdot \varphi_{Y} \\ \mathbf{R}_{f Y}+\delta_{Y}-\mathbf{R}_{f Z} \cdot \varphi_{X} \\ \mathbf{R}_{f Z}+\delta_{Z} \pm \delta_{0}-\mathbf{R}_{f X} \cdot \varphi_{Y}+\mathbf{R}_{f Y} \cdot \varphi_{X}\end{array}\right] \\\end{array}\end{aligned}\)       (12)

비슷하게, 롤러의 변위가 반영된 롤러 접촉 표면의 위치 벡터는 다음과 같다.

\(\begin{aligned}\mathbf{r}_{i}^{*}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{r}_{i x}{ }^{*} \\ \mathbf{r}_{i y}{ }^{*} \\ \mathbf{r}_{i z}{ }^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{r}_{i x}+u_{X}+\mathbf{r}_{i z} \cdot \phi_{y} \\ 0 \\ \mathbf{r}_{i z}+u_{z}-\mathbf{r}_{i x} \cdot \phi_{y}\end{array}\right]\end{aligned}\)       (13)

\(\begin{aligned}\mathbf{r}_{o}^{*}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{r}_{o x}{ }^{*} \\ \mathbf{r}_{o y}{ }^{*} \\ \mathbf{r}_{o z}{ }^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{r}_{o x}+u_{X}+\mathbf{r}_{o z} \cdot \phi_{y} \\ 0 \\ \mathbf{r}_{o z}+u_{z}-\mathbf{r}_{o x} \cdot \phi_{y}\end{array}\right]\end{aligned}\)       (14)

\(\begin{aligned}\mathbf{r}_{f}^{*}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{r}_{f x}{ }^{*} \\ \mathbf{r}_{f y}{ }^{*} \\ \mathbf{r}_{f z}{ }^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{r}_{f x}+u_{X}+\mathbf{r}_{f z} \cdot \phi_{y} \\ 0 \\ \mathbf{r}_{f z}+u_{z}-\mathbf{r}_{f x} \cdot \phi_{y}\end{array}\right]\end{aligned}\)       (15)

이후, 롤러 좌표계 (X, Y, Z)로 표현되어 있는 롤러 접촉 표면 위치 벡터를 다음과 같이 전체 베어링 좌표계(X, Y, Z)로 변환할 수 있다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{c}\mathbf{R}_{w(i, o, f)}{ }^{*}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{R}_{w(i, o, f) X}{ }^{*} \\ \mathbf{R}_{w(i, o, f) Y}{ }^{*} \\ \mathbf{R}_{w(i, o, f) z^{*}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r_{m} \cdot \cos \psi_{j} \\ r_{m} \cdot \sin \psi_{j} \\ \mp r_{c}\end{array}\right]+ \\ {\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma \cdot \cos \psi_{j} & -\sin \psi_{j} & -\sin \gamma \cdot \cos \psi_{j} \\ \cos \gamma \cdot \sin \psi_{j} & \cos \psi_{j} & -\sin \gamma \cdot \sin \psi_{j} \\ \pm \sin \gamma & 0 & \pm \cos \gamma\end{array}\right]} \\ \cdot\left[\begin{array}{l}\mathbf{r}_{(i, o, f) x^{*}} \\ \mathbf{r}_{(i, o, f) y}{ }^{*} \\ \mathbf{r}_{(i, o, f) z}{ }^{*}\end{array}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (16)

2-1-3. 접촉 변형량 및 하중

접촉력을 구하기 위해서 롤러와 궤도륜의 위치 벡터의 차이를 접촉 표면에 수직인 변위로 변환하여 접촉 변형량을 얻을 수 있다.

δ_i = (R_i^* - R_wi^*) · n_i       (17)

δ₀ = (R_wo^* - R_o^*) · n_o       (18)

δ_f = (R_f^* - R_wf^*) · n_f       (19)

여기서, n_i, n_o, n_f는 각 접촉 표면의 수직인 단위 벡터를 의미한다.

\(\begin{aligned}\mathbf{n}_{i}{ }^{*}=\left[\begin{array}{c}\cos \beta \cdot \cos \psi_{j} \\ \cos \beta \cdot \sin \psi_{j} \\ \pm \sin \beta\end{array}\right]\end{aligned}\)       (20)

\(\begin{aligned}\boldsymbol{n}_{o}{ }^{*}=\left[\begin{array}{c}\cos \alpha \cdot \cos \psi_{j} \\ \cos \alpha \cdot \sin \psi_{j} \\ \pm \sin \alpha\end{array}\right]\end{aligned}\)       (21)

\(\begin{aligned}\boldsymbol{n}_{f}{ }^{*}=\left[\begin{array}{c}\sin \theta \cdot \cos \psi_{j} \\ \sin \theta \cdot \sin \psi_{j} \\ \pm \cos \theta\end{array}\right]\end{aligned}\)       (22)

이후 한 슬라이스의 접촉 표면에 작용하는 수직력 q_i, q_o는 헤르츠 선 접촉 모델을 바탕으로 아래와 같이 계산된다.

\(\begin{aligned}q_{i}=\frac{K_{i}}{l}\left(\delta_{i}\right)^{10 / 9}\end{aligned}\)       (23)

\(\begin{aligned}q_{o}=\frac{K_{o}}{l}\left(\delta_{o}\right)^{10 / 9}\end{aligned}\)       (24)

K_i,o = (7.358)^-10/9(l)^8/9E'π       (25)

여기서, K-, K_o는 각각 내륜, 외륜의 접촉 강성, E'는 상당 탄성계수로 다음과 같다.

\(\begin{aligned}\frac{1}{E^{\prime}}=0.5\left(\frac{1-v_{1}^{2}}{E_{1}}+\frac{1-v_{2}^{2}}{E_{2}}\right)\end{aligned}\)       (26)

내륜, 외륜에 작용하는 전체 수직력은 각 슬라이스에 작용하는 수직력을 적분하여 구할 수 있다.

Q_i,o = ∫^l₀q_i,odz       (27)

플랜지 접촉의 경우 헤르츠 점 접촉 모델을 바탕으로 다음과 같이 계산된다.

\(\begin{aligned}Q_{f}=c_{f} E^{\prime} R_{s}{ }^{2}\left(\frac{\delta_{f}}{R_{s}}\right)^{3 / 2}\end{aligned}\)       (28)

여기서, c_f는 롤러 대단부 반경과 플랜지 사이의 공형도를 정의하는 무차원 변수 κ의 함수로 정의된다.

\(\begin{aligned}\kappa=\left(\frac{r_{m} / R_{s}-\sin \gamma \cos \lambda}{\sin \theta}\right)\end{aligned}\)       (29)

2-1-4. 기타 하중 및 DTRB 평형방정식

궤도륜과 롤러 사이의 수직력은 틸팅 모멘트를 발생시키며 롤러 무게 중심점의 z축 좌표, z_c를 기준으로 다음과 같이 계산할 수 있다.

T_i,o = ∫^l₀q_i,o[(z_c - z)cos ε + r_w sin ε]dz       (30)

롤러가 회전할 때 발생하는 원심력 및 자이로스코픽모멘트는 다음과 같다.

F_c = r_mΩ_c²m_r       (31)

M_g = I_wΩ_cΩ_w sin γ       (32)

여기서, m_r, I_w는 각각 롤러의 질량, 극 관성 모멘트이며 Ω_w는 롤러의 자전속도를 의미한다.

3자유도를 가지는 롤러의 평형방정식은 다음과 같이 표현되며 세 롤러 변위 u_x, u_y, 𝜙_y에 대하여 Newton-Raphson 반복법으로 풀어진다.

x axis force:

(Q_i - Q_o)cos ε + Q_f sin(γ - θ) + F_c cos γ = 0       (33)

z axis force:

-(Q_i - Q_o)sin ε + Q_f cos(γ - θ) - F_c sin γ = 0       (34)

y axis moment:

(T_o - T_i) + Q_f(R_s cos λ - z_c) sin(γ - θ) - M_g = 0       (35)

원주방향 롤러 번호 j, 열의 번호 k에 대하여 즉 2N개의 롤러 평형방정식을 풀어 모든 접촉면의 수직력을 구할 수 있다. 이 과정 이후, 내륜의 변위가 주어졌을 때 샤프트에 작용하는 베어링 반력을 전체 베어링 좌표계로 나타낼 수 있다.

\(\begin{aligned} F_{X}=-\sum_{k=1}^{2} \sum_{i=1}^{N}\left[Q_{i j k} \cos \beta \cos \psi_{j}\right. \left.-Q_{f j k} \sin \theta \cos \psi_{j}\right]\end{aligned}\)       (36)

\(\begin{aligned} F_{Y}=-\sum_{k=1}^{2} \sum_{i=1}^{N}\left[Q_{i j k} \cos \beta \sin \psi_{j}\right. \left.-Q_{f j k} \sin \theta \sin \psi_{j}\right]\end{aligned}\)       (37)

\(\begin{aligned}F_{Z}=-\sum_{k=1} \sum_{i=1}\left[ \pm Q_{i j k} \sin \beta \pm Q_{f j k} \cos \theta\right]\end{aligned}\)       (38)

\(\begin{aligned} M_{X}=-\sum_{k=1}^{2} \sum_{j=1}^{N}[ & \left( \pm \mathbf{R}_{i Y j k}{ }^{*} \sin \beta\right. \\ & \left.-\mathbf{R}_{i Z j k}{ }^{*} \cos \beta \sin \psi_{j}\right) q_{i j k} \Delta l \\ & +\left( \pm \mathbf{R}_{f Y j k}{ }^{*} \cos \theta \sin \psi_{j}\right. \\ & \left.\left.-\mathbf{R}_{f Z j k}{ }^{*} \sin \theta \cos \psi_{j}\right) Q_{f j k}\right]\end{aligned}\)       (39)

\(\begin{aligned} M_{Y}=-\sum_{k=1}^{2} \sum_{i=1}^{N}[ & \left(\mp \mathbf{R}_{i X j k}{ }^{*} \sin \beta\right. \\ & \left.+\mathbf{R}_{i Z j k}{ }^{*} \cos \beta \cos \psi_{j}\right) q_{i j k} \Delta l \\ & +\left(\mp \mathbf{R}_{f X j k}{ }^{*} \cos \theta \cos \psi_{j}\right. \\ & \left.\left.-\mathbf{R}_{f Z j k}{ }^{*} \sin \theta \sin \psi_{j}\right) Q_{f j k}\right]\end{aligned}\)       (40)

다시 한번 언급하지만, 연산자 의 위쪽 기호는 1열을 그리고 아래쪽 기호는 2열을 의미하며 Δ_l은 롤러 슬라이스의 길이를 나타낸다.

2-2. RBR 시스템

Fig. 5는 오버헝 로터-구름 베어링 시스템을 나타낸 것이다. 각 노드는 도시된 좌표계 (X, Y, Z)를 따라 (x, y, z, θ_x, θ_y)의 5자유도를 가진다.

Fig. 5. Schematic diagram of RBR system.

여기서 x, y는 반경방향 직선 변위, z는 축방향 직선 변위, θ_x, θ_y는 각 변위를 의미한다. 각 축 요소의 질량, 강성, 자이로스코픽 행렬은 10개의 자유도를 가지는 티모셴코 빔으로 모델링되며 DTRB는 준 정적 해석을 통해 위치된 노드에서 반력 F_X, F_Y, F_Z, M_X, M_Y을 발생시킨다.

대부분의 오버헝 로터에서 한 쪽 지지 베어링이 DTRB인 경우, 다른 지지 베어링은 단열 각 접촉 볼 베어링 혹은 원통 롤러 베어링으로 지지된다. 본 해석 모델의 목적은 DTRB의 지지 특성에 따른 RBR 시스템의 거동 예측이므로 각 접촉 볼 베어링은 준 정적 해석을 통한 강성 대입법으로 고려됐다. 반면 DTRB의 경우 지지특성을 면밀히 살피기 위해 타임 스텝마다 준 정적 해석을 수행하는 반력 모델이 대입된다. 이에 따라 RBR 시스템의 전체 운동방정식은 다음과 같이 표현된다.

\(\begin{aligned}\mathbf{M} \ddot{\mathbf{q}}+\Omega_{i} \mathbf{G} \dot{\mathbf{q}}+\left(\mathbf{K}+\bar{k}_{b}\right) \mathbf{q}=\mathbf{F} \\ \mathbf{q}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \\ \theta_{x, 1} \\ \theta_{y, 1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ y_{n} \\ z_{n} \\ \theta_{x, n} \\ \theta_{y, n}\end{array}\right]\end{aligned}\)       (41)

여기서, M, G, K는 각각 축 요소 및 디스크 전체의 질량, 자이로스코픽, 강성 행렬을 의미한다. 또한 F는 베어링의 반력 및 불평형력을 포함하는 하중 행렬이며 n은 노드 개수이다.

2-3. 접촉 해석

롤러와 내, 외륜의 접촉 압력은 구름 베어링의 성능을 결정하는 피로 수명에 가장 중요한 인자다. DTRB의 접촉 압력은 베어링 요소 물성치, 롤러 프로파일, 롤러와 내륜의 틸팅 및 오정렬 상태 등에 매우 민감하다. 해당 절에서는 DTRB의 접촉 압력 해석을 위한 지배방정식들을 소개한다.

Fig. 6과 같이 두 표면 위의 점 A₁, A₂ 사이의 거리 e는 다음과 같은 관계를 가진다.

Fig. 6. Contact mechanics of two elastic bodies.

e(x, y) = h₁(x, y) + h₂(x, y) + u₁(x, y) + u₂(x, y) - δ       (42)

여기서, h는 변형전 각 표면의 높이, u는 각 표면의 변형량, δ는 강체 변위를 의미한다.

접촉영역의 크기가 탄성체의 크기에 비해 매우 작은 반무한 탄성체의 표면에 수직 하중이 작용할 때, 변형량은 다음과 같은 식을 만족한다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{c}u(x, y)=\left(\frac{\left(1-v_{1}^{2}\right)}{\pi E_{1}}+\frac{\left(1-v_{2}^{2}\right)}{\pi E_{2}}\right) \\ \times \iint_{\Omega} \frac{P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) d x^{\prime} d y^{\prime}}{\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}}}\end{array}\end{aligned}\)       (43)

여기서, ν, E는 각각 포아송 비, 탄성계수를 의미하며 P는 접촉 압력, Ω는 접촉면을 의미한다.

Eq. (43)을 수치적으로 계산하기 위해, 접촉면은 Fig. 7과 같이 사각조각면으로 이산화된다. 각 사각조각면 내의 접촉압력은 일정하고, 사각조각면의 크기가 2a × 2b로 동일하다면 변형량과 압력의 관계는 다음과 같다.

Fig. 7. Rectangular region and grid of contact aria.

\(\begin{aligned}u(x, y)=\left(\frac{\left(1-v_{1}^{2}\right)}{\pi E_{1}}+\frac{\left(1-v_{2}^{2}\right)}{\pi E_{2}}\right) \sum_{j=1}^{N} D_{i, j} P_{j}\end{aligned}\)       (44)

여기서, N은 접촉면 내에서 사각조각면의 개수를 의미한다. D_i,j는 영향 함수로 요소 j에서의 압력이 요소 i에서 얼마나 영향을 끼치는지 의미한다.

\(\begin{aligned} \begin{array}{l} D_{i, j} \\ =(\bar{x}+a) \ln \left\{\frac{(\bar{x}+b)+\sqrt{(\bar{y}+b)^{2}+(\bar{x}+a)^{2}}}{(\bar{x}-b)+\sqrt{(\bar{y}-b)^{2}+(\bar{x}+a)^{2}}}\right\} \\ +(\bar{x}+b) \ln \left\{\frac{(\bar{x}+a)+\sqrt{(\bar{y}+b)^{2}+(\bar{x}+a)^{2}}}{(\bar{x}-a)+\sqrt{(\bar{y}+b)^{2}+(\bar{x}-a)^{2}}}\right\} \\ +(\bar{x}-a) \ln \left\{\frac{(\bar{y}-b)+\sqrt{(\bar{y}-b)^{2}+(\bar{x}-a)^{2}}}{(\bar{y}+b)+\sqrt{(\bar{y}+b)^{2}+(\bar{x}-a)^{2}}}\right\} \\ +(\bar{y}-b) \ln \left\{\frac{(\bar{x}-a)+\sqrt{(\bar{y}-b)^{2}+(\bar{x}-a)^{2}}}{(\bar{x}+a)+\sqrt{(\bar{y}-b)^{2}+(\bar{x}+a)^{2}}}\right\} \end{array}\end{aligned}\)       (45)

기술한 위의 과정들은 강체 변위 δ의 가감을 통해 다음의 평형 방정식이 수렴될 때까지 반복된다.

\(\begin{aligned}P_{N}=\iint_{\Omega_{c}} P(x, y) d x d y\end{aligned}\)       (46)

여기서, P_N은 접촉면에 작용하는 수직 하중을 의미한다.

3. 결과 및 고찰

3-1. DTRB 강성 특성

Table 1은 이번 절부터 해석에 사용된 DTRB의 물성, 형상 치수를 나타낸 것이다. 롤러의 프로파일의 영향을 알아보는 3.3.2절을 제외한 해석에서 롤러의 크라우닝 반경은 2,680 mm로 고정됐다. DTRB는 큰 축 하중, 반경하중, 모멘트 그리고 예압을 수반하기 위해 설계됐으며 이에 따라 베어링의 강성은 크게 변화하는 특성을 가진다. 따라서 RBR 시스템의 진동 특성을 알아보기 전, 이번 절에서 DTRB의 강성 특성을 살펴볼 것이다.

Table 1. Parameters of DTRB

구름베어링 강성에서 가장 주목해야할 인자는 직결 강성항이라 불리는 베어링 강성 행렬에서의 대각 성분이다. 직결 강성은 회전체에 구심력을 발생시켜 변위를 줄이는 방향으로 작용한다. Fig. 8은 F_X = 5 kN, F_Y = 0 kN, F_Z = 5 kN, M_X = MY = 0 N·mm, Ω_i = 3 krpm의 일정한 외력, 회전속도에서 예압을 0.1 µm~70 µm까지 변화시켰을때의 DTRB의 X, Z방향 직결강성항을 나타낸 것이다. DTRB의 강성은 예압 23 µm까지 변화를 확인하기 힘들지만, 그 이상의 예압 값에서 증가한다. 강성이 이러한 경향을 나타내는 이유를 기술하기 위해, Fig. 8에 적색원으로 표시된 예압이 7.9 µm일 때와 54 µm일 때의 두 경우에 대한 내륜의 하중 분배를 Fig. 9에 도시했다. 먼저 예압이 7.9 µm일 때, 2열의 롤러는 일부분만 접촉하게 된다. 이는 축방향 하중 5 kN이 예압의 영향보다 커 2열의 롤러가 접촉하지 않는 상태로 움직이기 때문이다. 따라서, 2열에 가해지는 예압이 축방향 하중보다 약한 23 µm 이하에서는 2열에 부하가 걸리지 않는 롤러가 존재한다. 하지만 23 µm 이상의 값에서는 예압의 영향이 축 방향 하중보다 커지기 때문에 2열에 부하가 걸리게 되며, 예압이 증가할수록 전체 롤러의 접촉력 또한 상승하기 때문에 DTRB의 직결강성항은 증가한다.

Fig. 8. Direct stiffness of DTRB according to initial axial compression (a) K_XX (b) K_ZZ.

Fig. 9. Load distribution of DTRB at (a) δ₀ = 7.9 μm (b) δ₀ = 54 μm.

DTRB의 강성은 예압뿐 아니라 외부 하중에도 변화한다. Fig. 10은 F_Y = 0 kN, F_z = 5 kN, F_Z = 5 kN, M_X = M_Y = 0 N·mm, Ω_i = 3 krpm, δ₀ = 30 µm의 일정한 외력, 회전속도, 예압에서 반경방향 하중 F_X를 2 kN~20 kN까지 변화시켰을 때의 DTRB의 X방향 직결강성항을 나타낸다. 반경하중 6 kN까지, DTRB의 X방향 강성은 지속적으로 감소한다. 이는 Fig. 11(a)에 나타난 것과 같이 모든 롤러가 부하를 받다가 반경 방향 하중이 강해짐에 따라 Fig. 11(b)처럼 접촉력이 0인 롤러가 발생하기 때문이다. 하지만 반경방향 하중 6 kN 이상에서는 DTRB의 X방향 강성은 증가하게 되는데 이는 Eq. (23)으로 인해 가장 큰 부하가 걸리는 롤러의 접촉력이 급증하기 때문이다. 따라서 Fig. 11(b)와 같이 접촉력이 가장 높은 롤러와 낮은 롤러의 편차가 커지게 된다. 즉 부하가 걸리지 않는 롤러의 발생으로 인한 강성 감소 영향보다 hertz 접촉력 증가로 인한 강성 증가의 영향이 더욱 커지기 때문에, 반경방향 하중이 증가함에 따라 DTRB X방향 강성은 증가한다. 해당 현상은 soft-stiff 전이 현상으로 다수의 구름베어링 연구에서 확인된다.

Fig. 10. Direct stiffness K_XX of DTRB according to radial load.

Fig. 11. Load distribution of DTRB at (a) F_X = 4 kN (b) F_X = 16 kN.

3-2. 예압 및 롤러 프로파일의 영향

3-2-1. 예압

Table 2는 이번 절부터 사용된 회전축의 물성, 형상을 나타낸 것이다. 예압, 혹은 예압은 베어링의 강성을 높여 회전축의 흔들림을 줄이며 구름 베어링의 진동을 방지하는 등 DTRB의 작동 성능을 결정하는 주요한 인자다. 하지만 과도한 예압은 구름 베어링 접촉부 압력을 급증시켜 마모 또는 피로 파손의 원인이 될 수 있다. 따라서 예압에 따른 RBR 시스템의 기계적 성능을 평가하는 것은 매우 중요한 부분이다. DTRB의 접촉 해석은 Fig. 12에 도시된 RBR 시스템의 과도 응답 해석을 바탕으로, 적색 원의 지점과 같이 내륜의 최대 변위가 일어나는 지점을 선택했다. 또한 Fig. 13에 보이는 바와 같이 1열의 첫 번째 롤러에서 최대 접촉력이 발생하므로 해당 조건에서 내륜의 오정렬 및 롤러의 틸팅을 고려한 접촉 해석을 수행해 접촉 압력 분포를 면밀히 살펴보았다. Fig. 14에 예압을 δ₀ = 50~80 µm까지 10 µm 간격으로 변화시켰을 때, RBR 시스템의 DTRB 위치 노드의 X축 시간-변위 그래프를 나타냈다. 예압이 증가함에 따라, 변위의 절대값은 감소한다. 이는 앞 절의 Fig. 8에서 볼 수 있듯이, 예압이 증가하면 DTRB의 직결 강성항 역시 증가하기 때문이라는 것을 알 수 있다. 다만 δ₀ = 50~60 µm인 경우의 최대 변위 감소량은 1.2 × 10⁻⁴mm이며 δ₀ = 70~80 µm인 경우의 변위 감소량은 0.37 × 10⁻⁴mm이다. 즉 예압을 증가시키는 것은 DTRB의 직결 강성항을 증가시켜 시스템의 진폭을 낮추는 효과를 부를 수 있지만, 그 효과는 예압이 증가할수록 지속적으로 감소한다는 것을 알 수 있다.

Table 2. Parameters of rotor​​​​​​​

Fig. 12. Transient X-axis response time-displacement graph of DTRB node.

Fig. 13. DTRB load distribution at maximum X-axis displacement.

Fig. 14. Transient X-axis response time-displacement graph of DTRB node; (a) δ₀ = 50 μm (b) δ₀ = 60 μm (c) δ₀ = 70 μm (d) δ₀ = 80 μm.

Fig. 15는 예압에 따른 DTRB 위치 노드의 X축 주파수 스펙트럼을 나타낸 것이다.

Fig. 15. X-axis amplitude of the node where the DTRB is located; (a) δ₀ = 50 μm (b) δ₀ = 60 μm (c) δ₀ = 70 μm (d) δ₀ = 80 μm.

δ₀ = 50 µm인 경우, RBR 시스템의 고유진동수는 81.99 Hz에서 나타난다. 예압이 증가할수록 DTRB의 강성이 증가해 고유진동수는 높아지며, δ₀ = 70 µm인 경우, 고유진동수는 83.99 Hz에 위치하게 된다. 하지만 δ₀ = 80 µm인 경우 고유진동수는 증가하지 않고 δ₀ = 70 µm인 경우와 비슷하게 83.99 Hz에서 나타난다. 이는 Fig. 8에서 볼 수 있듯이, 이 이상의 예압에서는 DTRB의 강성 증가 효과가 감소했기 때문이며 이에 따라 RBR 시스템의 고유진동수 변화 역시 미미해지기 때문이다.

예압이 DTRB의 접촉 압력에 미치는 영향을 분석하기 위해, 최대 접촉 압력이 발생하는 롤러에 대한 접촉압력 해석을 수행해 Fig. 16에 나타냈다. δ₀ = 50 µm일 경우, 모서리 응력 값은 2.02 GPa이며 이는 예압이 증가할수록 동시에 증가하여 δ₀ = 80 µm인 경우, 3.04 GPa까지 증가한다. 또한 δ₀ = 80 µm인 경우에는 롤러 소단부 부분에서 역시 모서리 응력 현상이 나타난다. 즉 예압의 증가는 접촉 압력의 선형적인 증가를 야기한다.

Fig. 16. Contact pressure; (a) δ₀ = 50 μm (b) δ₀ = 60 μm (c) δ₀ = 70 μm (d) δ₀ = 80 μm.

결론적으로 예압의 증가는 DTRB의 강성을 증가시켜 RBR 시스템의 변위를 감소시키며 동시에 고유진동수를 증가시키는 효과를 가진다. 하지만 일정 수준 이상의 예압에서는 해당 효과를 기대하기 힘들며, 과도한 예압의 증가는 DTRB 피로 수명에 치명적인 접촉 압력의 증가를 야기한다. 즉 RBR 시스템의 진동 특성, DTRB의 접촉 압력의 관점에서 적정 수준의 DTRB 예압 값이 존재함을 해당 해석을 통해 고찰할 수 있다.

3-2-2. 롤러 프로파일

앞 절에서 모서리 응력 효과의 주 원인은 하중 상태, 오정렬 및 틸팅이라 설명했다. 이러한 모서리 응력 효과를 피하기 위한 설계 방법 중 가장 효과적인 방법은 롤러 끝단을 둥글게 깎는 즉 롤러 길이 방향으로 곡률을 입히는 통칭 크라우닝(Crowning)을 입히는 방법이다. 따라서 이번 절에서는 롤러의 프로파일에 따른 RBR 시스템의 동적 거동 및 DTRB 접촉 해석을 수행하여 프로파일에 따른 RBR 진동 특성 및 모서리 응력 효과를 피하기 위한 프로파일 선정에 대해 정량적으로 분석할 것이다.

Fig. 17은 일정한 예압 δ₀ = 60 µm, 롤러 크라우닝 반경 1,300 mm, 2,600 mm, 3,900 mm일 때와 롤러의 크라우닝이 없을 때 도합 네 가지 경우에서, RBR 시스템의 DTRB 위치 노드의 X축 시간-변위 그래프를 나타낸 것이다. 크라우닝 반경이 가장 작은, 즉 롤러의 길이 방향 곡률이 가장 높은 R = 1,300 mm인 경우에서는 X축 최대 변위의 절대값은 10.0 × 10⁻⁴mm이다. 이후 크라우닝 반경이 증가할수록 X축 최대 변위의 절대값은 지속적으로 감소하며 롤러의 길이방향 곡률이 없는 즉 R = ∞인 경우, R = 1,300 mm인 경우와 비교해 절반 수준으로 감소한 5.4 × 10⁻⁴mm의 최대 변위 절대값을 가진다. RBR 시스템의 동적 거동이 롤러의 크라우닝 반경에 따라 이러한 결과를 가지는 이유는 롤러와 궤도륜의 접촉 영역 차이로 인한 베어링 강성의 변화이다. Fig. 18 (a)에 나타난 것과 같이 롤러에 크라우닝을 주게 되면, 궤도륜과 롤러 사이에 간극이 있는 구간이 끝단에 발생한다. 이에 따라 궤도륜과 롤러 사이의 강체 변위가 같다고 하더라도, 길이 방향 접촉 영역의 차이로 접촉력은 Fig. 18 (b)와 같이 달라지게 된다. 따라서 작은 강체 변위로 동일한 반력을 낼 수 있는 R = ∞인 경우, 강성이 가장 높기 때문에 RBR 시스템의 변위는 가장 작아진다.

Fig. 17. Transient X-axis response time-displacement graph of DTRB node; (a) R = 1,300 mm (b) R = 2,600 mm (c) R = 3,900 mm (d) R = ∞.

Fig. 18. (a) Clearance according to roller profile (b) Load per length for the same roller displacement (u_x = 5 μm).

RBR 시스템의 동적 거동이 롤러의 프로파일에 따라 변하므로, 고유진동수 역시 이에 따라 변화한다. Fig. 19은 롤러 크라우닝 반경에 따른 DTRB 위치 노드의 X축 주파수 스펙트럼을 나타낸 것이다. R = 1,300 mm인 경우, RBR 시스템의 고유진동수는 80.0 Hz에서 나타난다. 그 뒤, 크라우닝 반경이 증가함에 따라 고유진동수는 지속적으로 소폭 증가하며 R = ∞인 경우 고유진동수는 84.0 Hz에서 나타난다. RBR 시스템의 고유진동수가 롤러 크라우닝 반경에 따라 이러한 경향이 나타나는 이유는 앞서 언급했듯, 크라우닝 반경에 따른 베어링의 강성 변화에 기인한다는 것을 알 수 있다.

Fig. 19. X-axis amplitude of the node where the DTRB is located; (a) R = 1,300 mm (b) R = 2,600 mm (c) R = 3,900 mm (d) R∞.​​​​​​​

Fig. 20은 앞 단과 같은 조건에서, 내륜 변위가 최대인지점에서 1열 첫 번째 롤러의 접촉 압력 분포를 나타낸 것이다. 먼저 롤러의 크라우닝 반경이 1,300 mm일 때, 모서리 응력 현상은 발생하지 않는다. 즉 접촉 압력 관점에서 예측 보다 과도한 하중, 오정렬 및 틸팅이 발생했을 때, 롤러 길이 방향 곡률을 높임으로써 모서리 응력현상을 방지할 수 있다는 결론이 도출된다. 이에 따라 롤러 길이 방향 곡률이 낮아진 R = 2,600 mm인 경우, 앞 절에서 설명했듯이 롤러 대단부 쪽에서 최대 압력 2.46 GPa의 응력 집중 현상이 관찰된다. R = 3,900 m일 때, 응력 집중 현상은 롤러 대단부 쪽에서는 3.17 GPa까지 증가할뿐만 아니라 롤러 소단부 쪽에서도 추가적인 응력 집중현상이 나타난다. 주어진 조건에서 틸팅 및 오정렬은 대단부 쪽으로 압력 증대를 유발한다. 하지만 롤러 길이 방향 곡률이 직선에 가까워지게 되면, 소단부 쪽에서도 응력 집중 현상을 피할 수 없게 되며 이 같은 현상은 Fig. 20(d)에서 완전한 직선 형태의 롤러 프로파일의 접촉 압력에서 두드러진다.

Fig. 20. Contact pressure; (a) R = 1,300 mm (b) R = 2,600 mm (c) R = 3,900 mm (d) R = ∞.​​​​​​​

상위 결과를 종합적으로 고찰했을 때, 롤러의 크라우닝 반경이 커질수록, 즉 롤러의 길이방향 곡률이 감소할수록 접촉 영역의 차이로 인해 DTRB의 강성이 증가하며 동시에 RBR 시스템의 진동 변위 및 고유진동수에 영향을 미친다. 하지만 롤러의 크라우닝 반경의 증가는 모서리 응력의 급증을 야기하므로 롤러에 프로파일을 입히는 것은 DTRB 설계에서 필수적이다. 즉, 롤러 크라우닝 반경의 증가는 진동 측면에서는 긍정적이나 접촉 압력 측면에서는 부정적인 효과를 일으키므로 두 관점 사이에서의 적정 크라우닝 반경 값이 필요하다.

4. 결론

본 연구에서는 DTRB로 지지된 유한 요소 오버헝 회전축 수치해석 모델을 정립했으며, DTRB의 강성 특성을 설명하고 동시에 베어링 지지 위치, 예압, 롤러 프로파일 등과 같은 DTRB 지지 특성에 따른 RBR 시스템의 진동 특성 및 접촉 압력을 예측하였다. 예압, 외부 하중 상태에 따라 DTRB의 강성은 크게 변화하며 그 원인은 무부하 상태 롤러 발생, Hertz 접촉력 증가에 기인하는 것을 확인하였다. 예압의 증가는 DTRB의 강성을 증가시켜 RBR 시스템의 변위를 감소시키고 동시에 고유진동수를 증가시킨다. 하지만 일정 예압 이상에서는 해당 효과가 미미해지며 과도한 예압의 증가는 접촉 압력의 증가를야기한다. 롤러길이 방향으로곡률을입히는, 롤러 크라우닝 반경은 그 값이 증가할수록 RBR 시스템 변위 감소 및 고유진동수 증가 효과를 부른다. 하지만 크라우닝 반경의 증가는 모서리 응력을 급증시켜 접촉 압력 관점에서 부정적인 효과를 야기한다. 상기 결과를 통해 DTRB로 지지된 RBR 시스템의 진동 및 접촉 압력 저감에 필요한 DTRB 지지 특성을 설계할 수 있음을 보였다.