Dynamic Characteristics and Instability of Submerged Plain Journal Bearings in accordance with the Cavitation Model

공동현상 모델에 따른 침수형 평면 저널베어링의 동특성 및 회전 안정성에 대한 연구

Abstract

Cavitation phenomena observed during the operation of a submerged plain journal bearing (PJB) can affect bearing performance parameters such as dynamic coefficients, whirl frequency ratio, and critical mass. This study presents numerical solutions of the Reynolds equation for steadily and dynamically loaded submerged PJBs with half-Sommerfeld (HS), Reynolds, and Jakobsson-Floberg-Olsson (JFO) cavitation models when the supply pressure is larger or equal to the cavitation pressure. The loads at various eccentricity ratios are identical; however, the attitude angle is approximately 6% smaller when the eccentricity ratio is between 0.2 and 0.7 and the JFO model is used, compared to that when the Reynolds model is used. Dynamic coefficients obtained with the HS and Reynolds model show good agreement with each other, except for k_xz, which is sensitive to changes in the force normal to the rotor weight, and is attributed to the difference in the attitude angle obtained with each cavitation model. Stiffness coefficients are determined using the pressure distribution in the film, and therefore, when the JFO model is used, the direct stiffness coefficients are affected and show opposite signs for most eccentricity ratios. The mass-conservative JFO model can predict at least a 30% smaller critical mass compared to that using the HS and Reynolds models. Thus, the instability analysis results can change based on the cavitation model used in a submerged PJB. The results of this research indicate that the JFO model should be used when designing a rotor system supported by submerged PJBs.

Nomenclature

F :Reaction force (N) (반력)

L :Bearing width (m) (베어링 폭)

U :Linear velocity (m/s) (선속도)

W :Bearing Load (N) (베어링 하중)

b : Damping coefficient (N·s/m) (감쇠계수)

g : Switch function (-) (스위치 함수)

h : Film thickness (m) (윤활막 두께)

k : Stiffness coefficient (N/m) (강성계수)

m_cr :Critical mass (kg) (임계 질량)

p : Pressure (Pa) (압력)

p_λ : Pressure gradient (N/m³ or N·s/m³) (압력 기울기)

r :Radius of bearing (m) (베어링 반경)

Θ : Fractional-film content (-) (윤활막 함유율)

Φ : Attitude angle (˚) (자세각)

Ω :Whirl frequency ratio (-) (휘돌림 주파수비)

β :Bulk modulus (Pa) (체적탄성률)

ε :Eccentricity ratio (-) (편심률)

μ : Viscosity (Pa·s) (점도)

ρ : Density (kg/m³) (밀도)

ω : Angular velocity (rad/s) (회전속도)

하첨자

bv :Boundary value (경계값)

c :Cavitation region (공동 영역)

s : Supply (공급)

0 : Steadily loaded (정적 하중)

1. 서론

평면 저널베어링은 일반적으로 다른 형태의 저널베어링 대비 휘돌림(Whirl) 현상에 의해 안정성 부분이 취약한 것으로 알려져 있으나, 제작의 용이성과 낮은 비용으로 여전히 대형 회전기기에 사용되고 있다. 평면 저널베어링 중에는 윤활제가 특정 원주 방향에서 공급되는 경우와 윤활제에 잠겨 윤활제가 로터의 축 방향으로 자유롭게 드나드는 침수형(Submerged)이 있다. 저널베어링은 필연적으로 최소윤활막두께 주위로 간극이 축소-확장되며 윤활제가 인장응력을 받는데, 윤활제가 액체인 경우 일정 이상의 인장응력을 견디지 못하고 최소윤활막두께 후단에서 공동현상이 발생할 가능성이 있다[1].

저널베어링에서 공동현상이 발생하면 윤활막이 깨지고 베어링 성능과 안정성이 영향을 받는 것으로 알려져 있다[2]. 공동 영역의 경계와 윤활막 재생성 위치 및 그에 따른 정적, 동적 성능 매개변수의 관계를 밝히기 위해 많은 해석적 연구가 수행되었다. Swift(1931)와 Stieber(1933)가 공동 영역 경계에서 연속방정식을 만족시키는 모델을 제안하고 Christopherson(1941)이 수치해석을 위한 알고리즘을 제시한 이후 Reynolds 공동현상 모델이 저널베어링의 거동 해석에 널리 사용되었는데, 이 모델은 윤활막의 재생성을 고려하지 않아 Reynolds 방정식이 연속성을 위배하게 된다[3]. 이러한 단점을 극복하기 위해 Jacobsson-Floberg(1957)와 Olsson(1965)이 각각 연속방정식을 만족시키는 공동 모델 (JFO 모델)을 제안하였고, 이를 수치해석적으로 사용하기 위해 Elrod와 Adams(1981)가 알고리즘을 제안한 이후 많은 연구에서 이를 발전시켜 저널베어링의 정적, 동적 거동을 해석한 연구가 다양하게 수행되었다[4,5]. 그러나 다양한 연구 결과에도 불구하고 가장 단순한 저널베어링 형태인 평면 저널베어링이 침수상태로 운전될 때 JFO 모델을 적용해 베어링 동특성과 회전 안정성에 관해 연구한 사례는 찾을 수 없었다. Son, Lee, 그리고 Kim[4]이 JFO 모델을 이용하여 평면 저널베어링의 동특성 계수를 해석하였으나, 연구대상 베어링은 윤활제 공급홈을 가진 저널베어링이었으며, 원주방향 경계조건이 명확하게 설명되지 않았다. 또한 참고문헌으로 인용한 Lund[6]의 연구와 달리 미소변위 및 속도에 대한 유막 함유율의 변화율로부터 동특성 계수를 구하였는데, 완전 윤활막 영역에서 윤활막의 밀도가 공동 압력에서의 밀도와 큰 차이가 없다는 가정과 압력이 아닌 유막 함유율이 미소변위 및 속도에 따라 선형적인 관계를 갖는 것에 대해 수학적 고찰이 뒷받침되지 않았다.

본 연구에서는 베어링 전 영역에서 연속방정식을 만족시키는 JFO 공동 모델을 적용하여 침수형 평면 저널 베어링의 동특성 계수 및 회전 안정성을 수치적으로 해석하였다. 윤활제 공급 압력이 공동 압력보다 크거나 동일한 조건에서 JFO 공동 모델을 적용함으로써 나타나는 기존 공동 모델(Half-Sommerfeld, Reynolds)을 적용한 결과와의 차이를 분석하였다.

2. 수치해석 방법

2-1. 정상상태 성능해석

침수형 평면 저널베어링의 지배방정식인 Reynolds 방정식의 해석에 베어링 전 영역에서 질량보존을 만족하는 JFO 공동 모델을 적용하여 정상상태 성능변수인 하중과 자세각 등을 계산하기 위해 유니버셜 Reynolds 방정식[4] (1)을 유한차분법과 Alternating Direction Implicit 기법을 이용해 수치해석 하는 코드를 작성했다. 공동현상 모사를 위한 경계조건 외 측면과 원주방향의 경계조건은 식 (2)와 같이 각각 Dirichlet 조건과 주기조건을 적용했다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{c} \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\rho_{c} g \beta h^{3}}{12 \mu} \frac{\partial \Theta}{\partial \theta}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\rho_{c} g \beta h^{3}}{12 \mu} \frac{\partial \Theta}{\partial y}\right) \\ =\frac{\partial\left(\rho_{c} h \Theta\right)}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\rho_{c} h U}{2} \Theta\right) \\where \; \Theta=\rho / \rho_{c}\end{array}\end{aligned}\)       (1)

Θ(θ, 0) = Θ(θ, L) = Θ_bv

Θ(0, y) = Θ(2π, y)

where p_s = p_c = βglog(Θ_bv)       (2)

공동 모델에 따른 베어링 성능을 비교하기 위해 Half-Sommerfeld(HS)와 Reynolds 공동 모델을 적용한 해석 역시 수행되었는데, HS 공동 모델을 적용한 결과는 기존의 Reynolds 방정식을 상기와 동일한 기법을 이용해 해석하였고, Reynolds 공동 모델을 적용한 계산은 상용 소프트웨어(ARMD 6.1)로 얻은 결과를 이용했다. 자체 코드와 상용 소프트웨어를 이용한 해석 모두 해석영역을 원주방향과 축방향을 따라 200 × 40개의 요소로 나누었다.

2-2. 동하중 상태 성능해석

동하중 조건의 침수형 평면 저널베어링의 동특성 해석을 위해 Lund[6]가 제안한 식 (3)을 수치해석 하는 코드를 작성했다. 앞서 공동현상을 고려한 압력분포가 얻어졌기 때문에 이때 사용된 경계조건은 식 (4)와 같다. 해석에 사용된 침수형 평면 저널베어링 모델은 윤활제 공급 압력과 공동 압력이 서로 다른 경우(PJB-1)와 동일한 경우(PJB-2)로 Table 1과 같다.

Table 1. Analysis conditions

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial \theta^{\prime}}\left(\frac{h_{0}^{3}}{12 \mu} \frac{\partial p_{\lambda}}{\partial \theta^{\prime}}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{h_{0}^{3}}{12 \mu} \frac{\partial p_{\lambda}}{\partial y}\right)= \\ \left\{\begin{array}{c}-\frac{\omega}{2}\left(\sin \theta^{\prime}+\frac{3 \cos \theta^{\prime}}{h_{0}} \frac{\partial h_{0}}{\partial \theta^{\prime}}\right)-\frac{h_{0}^{3}}{4 \mu r^{2}} \frac{\partial p_{0}}{\partial \theta^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \theta^{\prime}}\left(\frac{\cos \theta^{\prime}}{h_{0}}\right) \\ \frac{\omega}{2}\left(\cos \theta^{\prime}-\frac{3 \sin \theta^{\prime}}{h_{0}} \frac{\partial h_{0}}{\partial \theta^{\prime}}\right)-\frac{h_{0}^{3}}{4 \mu r^{2}} \frac{\partial p_{0}}{\partial \theta^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \theta^{\prime}}\left(\frac{\sin \theta^{\prime}}{h_{0}}\right) \\ \cos \theta \\ \sin \theta^{\prime}\end{array}\right\}\end{array}\end{aligned}\)       (3)

where θ' = θ + Φ

p_λ(θ', 0) = p_λ(θ', L) = 0

p_λ(θ', y) = p_λ(θ', 2π, y)

where \(\begin{aligned}\lambda=x, z, \dot{x}, \dot{z}\end{aligned}\)       (4)

3. 해석 결과 및 고찰

3-1. 공동현상 모델에 따른 베어링 정적 성능 변화

침수형 평면 저널베어링 해석 시 공동현상 모델이 베어링 동특성에 미치는 영향을 이해하기 위해 먼저 정적 성능변수에 미치는 영향을 확인하였다(Figs.1, 2).

Fig. 1. Load and attitude angle of submerged PJB-1 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models.

Fig. 2. Load and attitude angle of submerged PJB-2 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models.

본 연구를 위해 작성한 코드(HS 및 JFO 공동 모델)와 상용 프로그램(Reynolds 공동 모델)을 이용한 해석 결과 기존 연구와 같이 공동 모델과 무관하게 동일한 편심율 변화에 따른 하중 변화 관계가 얻어졌다. 다만 윤활제 공급 압력이 공동 압력과 동일한 베어링(PJB-2)에선 Reynolds 공동 모델을 적용한 결과 중 편심율이 0.2에서 0.7 사이일 때 최대 약 6% 작은 자세각이 계산되었다. 이 결과는 PJB-2에서 Reynolds 및 JFO 공동 모델 사용에 따른 베어링 압력분포 차이를 나타낸 Fig. 3에서 볼 수 있듯이 Reynolds 공동 모델을 적용할 경우 공동영역의 경계가 최소윤활막 위치로부터 먼 곳에서 시작되고 윤활막의 재형성 위치 역시 JFO 공동 모델과 달리 최대 간극에서 시작하기 때문이다. 이러한 압력분포의 차이는 특정 원주방향에서 압력이 정해질 수 있는 윤활제 공급홈을 가진 저널베어링과 달리 편심율과 원주방향 주기성에 의해 압력분포가 결정되는 침수형 저널베어링의 압력분포가 가진 특징으로 공동 모델에 따른 압력분포의 차이가 편심율이 0.2에서 0.7 사이일 때 두드러졌다. 압력분포의 차이는 자세각의 차이를 가져왔고, 부하(편심율)의 변화에 따라 정상상태 압력분포에 영향을 주어 동특성 계수의 변화로 나타날 것이 예상된다.

Fig.3. Comparison of pressure distribution at various axial position and eccentricity ratio in PJB-2 in accordance with the cavitation model(Reynolds and JFO); y1 : y = ±L/3, y2 : y = ±L/6, y3 : y = 0.

3-2. 공동현상 모델에 따른 베어링 동특성 변화

윤활제 공급 압력과 공동 압력 관계별 공동현상 모델 적용에 따른 동특성 계수 계산 결과를 Figs. 4-7에 나타내었다. 식 (5)의 동특성 계수 정의에서 x, z 축은 상용 프로그램을 따라 축방향에서 봤을 때 각각 3시, 12시 방향(로터 자중의 반대)을 의미한다.

Fig.4. Stiffness coefficients of submerged PJB-1 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models (Filled marks mean negative values).

Fig. 5. Damping coefficients of submerged PJB-1 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models (Filled marks mean negative values).

Fig. 6. Stiffness coefficients of submerged PJB-2 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models (Filled marks mean negative values).

Fig. 7. Damping coefficients of submerged PJB-2 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models (Filled marks mean negative values).

\(\begin{aligned}k_{i j}=\partial F_{i} / \partial x_{j}, b_{i j}=\partial F_{i} / \partial \dot{x}_{j}\end{aligned}\)       (5)

Half-Sommerfeld(HS) 공동 모델과 Reynolds 공동 모델을 적용한 동특성 계수 계산 결과는 k_xz를 제외하면 유사한 결과를 얻었고, 윤활제 공급 압력이 공동 압력보다 큰 경우(PJB-1)보단 같을 때(PJB-2) 더 근접한 결과를 얻었다. 여기서 계산된 대부분의 동특성 계수는 저부하에서 약간의 차이를 가지고 있는데 이는 저부하에서 공급 압력과 공동 압력의 차이가 전체 압력분포나 베어링 하중에 큰 영향을 미치기 때문이다. PJB-2에서는 저부하에서 HS 공동 모델을 적용한 결과와 Reynolds 공동 모델을 적용한 결과 간 차이가 감소하였다.

k_xz는 HS 공동 모델을 적용한 결과와 Reynolds 공동 모델을 적용한 결과에서 편심율이 약 0.65보다 클 때부터 확연한 차이가 나는 결과를 얻었다. 이 차이는 PJB-1과 PJB-2에서 유사하게 나타나므로 공급 압력과 공동 압력의 차이에 기인한 것이 아니고 식 (3)의 우변에서 알 수 있듯이 강성계수 계산에 사용되는 p_x와 p_z가 자세각 뿐만 아니라 원주방향에 따른 정상상태 압력 기울기(∂p₀/∂θ')의 영향을 받기 때문이다. Figure 3에 나타내진 않았지만 HS 공동 모델을 적용한 압력분포와 Reynolds 공동 모델을 적용한 압력분포의 차이는 주로 최소윤활막두께 부근에서 발생하며, 편심율에 따른 자세각의 영향과 함께 공동 모델 적용에 따른 차이가 교축(Cross-coupling) 동특성 계수의 차이를 가져왔다. 더불어 Lund[6]의 동특성 계수 계산 방법에 따르면 오정렬이 없는 비압축성 평면 저널베어링의 감쇠계수 중 b_zx와 b_xz는 수학적으로 축대칭 관계이므로 동일한 값을 가져야하나, PJB-2에서 상용 프로그램을 이용해 얻은 결과는 b_zx와 b_zx가 서로 달랐다. 그러므로 교축 강성계수 중 k_zx만 HS 공동 모델과 Reynolds 공동 모델을 적용한 결과 간 차이를 보이는 이유는 상용 프로그램이 참조하는 Shapiro [7]가 제안한 동특성 계수 계산 방법에 따른 알고리즘의 차이로 추정된다.

JFO 공동 모델을 적용한 강성계수 계산 결과는 공급 압력과 공동 압력의 크기와 무관하게 PJB-1과 PJB-2 모두에서 다른 공동 모델을 적용한 결과와 큰 차이를 보였다. 가장 큰 차이를 보인 강성계수는 동축(Direct) 강성계수들인 k_xx와 k_zz였다. k_xx는 대부분의 편심율에서 반대 부호를 가졌고, 다음으로 k_zz는 저부하와 고부하에서 반대 부호를 가졌다. 이러한 동축 강성계수의 차이는 Fig.3에서 볼 수 있듯이 JFO 공동 모델 적용에 따른 ∂p₀/∂θ'의 차이에 기인하였고, JFO 공동 모델을 적용한 압력분포는 최소윤활막두께 주위 뿐만 아니라 압력이 재생성되는 위치에서 Reynolds 공동 모델을 적용한 압력분포와 차이를 갖기 때문이다.

JFO 공동 모델을 적용한 감쇠계수는 정상상태 압력분포와 무관하고 자세각 차이의 영향만 받으므로 강성계수에 비하면 다른 모델을 적용한 결과와의 차이가 크지 않았고 베어링 부하가 적거나 크지 않을 때 즉, 편심율이 0.4에서 0.75인 영역에서는 b_xz를 제외하면 다른 공동 모델을 적용한 것과 유사한 결과를 얻었다.

위 동특성 계수들로부터 휘돌림 주파수비(Whirl frequency ratio, Ω)와 임계 질량(Critical mass, m_cr)을 계산한 결과를 Figs.8-9에 나타내었다. Reynolds 공동 모델을 적용한 Ω는 편심율이 증가할수록 0.5에서 다소 증가한 뒤 감소하며 단폭 저널베어링의 Ω와 유사한 거동을 보인 반면, HS 공동 모델과 JFO 공동 모델을 적용해 얻은 Ω는 단조 감소하였다.

Fig. 8. Critical mass and whirl frequency ratio of submerged PJB-1 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models.

Fig. 9. Critical mass and whirl frequency ratio of submerged PJB-2 obtained with HS, Reynolds, and JFO cavitation models.

한편 HS 공동 모델과 Reynolds 공동 모델을 적용한 m_cr은 유사한 결과를 보였다. 반면 베어링 전 영역에서 질량보존을 만족하는 JFO 공동 모델을 적용함에 따라 압력분포와 자세각의 차이에 따른 동축 강성계수와 b_xx의 차이로 인해 편심율에 따라 기존 공동 모델을 적용한 결과 대비 m_cr이 30%에서 87% 가량 낮은 값으로 계산되었다. 따라서 원주방향으로 주기성을 가지는 침수형 평면 저널베어링에서 질량보존을 만족하는 공동 모델 적용 시 회전 불안정성이 시작되는 로터의 임계 질량 기준이 엄격해지는 결과를 얻었다.

4. 결론

본 연구에서는 유체동압 저널베어링에 발생하는 공동 현상을 고려하여 침수형 평면 저널베어링의 운전조건에 따른 하중지지력, 자세각, 동특성 계수, 그리고 임계 질량 및 회전 안정성의 거동을 계산함으로써 저널베어링 성능변수에 공동 모델(Half-Sommerfeld(HS), Reynolds, JFO)이 미치는 영향을 살펴보았다.

해석 결과 윤활제 공급 압력이 공동 압력보다 높을 땐 하중지지력과 자세각이 공동현상 모델에 상관없이 유사하게 계산된 반면, 공급 압력과 공동 압력이 같을 땐 편심율에 따라 Reynolds 공동 모델을 적용한 자세각이 최대 6% 작게 계산되었다. Reynolds 공동 모델 적용 시 자세각의 감소는 윤활막의 재생성 위치가 최대 간극에서 시작하고 공동영역의 경계는 최소윤활막 위치로부터 먼 곳에서 시작되며 원주방향에 따른 압력 변화율의 차이와 관련이 있다. 따라서 HS와 Reynolds 공동 모델을 적용한 동특성 계수는 유사한 거동을 보였지만, JFO 공동 모델 적용 시 동축(Direct) 강성계수들에서 확연한 차이가 발생하였다. 그 결과 기존에 널리 사용된 Reynolds 공동 모델보다 물리적으로 타당한 질량보존 공동 모델을 적용하면 침수형 평면 저널베어링이 임계 속도에서 운전될 때 저널베어링의 회전 안정성을 나타내는 m_cr이 편심율에 따라 Reynolds 공동 모델을 적용한 m_cr 대비 약 30%에서 87% 작게 계산되며 임계 질량 기준이 엄격해지는 결과를 얻었다. 그러므로 로터-침수형 평면 저널베어링 시스템의 회전 안정성 분석 시 베어링 전 영역에서 질량보존을 만족하는 JFO 공동 모델을 적용한 해석을 통해 정확한 평가가 이루어져야 함을 확인하였다.