수명과 강성을 고려한 자동차용 휠 베어링의 설계 최적화

Design Optimization for Automotive Wheel Bearings Considering Life and Stiffness

Abstract

Automotive wheel bearings are a critical component of vehicles that support their weight and facilitate rotation. Life and stiffness are significant performance characteristics of wheel bearings. Designing wheel bearings involves finding optimal design variables that satisfy both performances. CO₂ emission reduction and fuel efficiency regulations attribute to the recent increase in design requirements for lightweight and compact automotive parts while maintaining performance. However, achieving a design that maintains performance while reducing weight poses challenges, as performance and weight are generally inversely proportional. In this study, we perform design optimization of automotive wheel bearings considering life and stiffness. We develop a program that calculates the basic rated life and modified rated life based on international standards for evaluating the life of wheel bearings. We develop a regression equation using regression analysis to address the time-consuming stiffness analysis during repetitive analysis. We perform ANOVA and main effect analyses to understand the statistical characteristics of the developed regression equation. Furthermore, we verify its reliability by comparing the predicted and test results. We perform design optimization using the developed life prediction program, stiffness regression equation and weight regression equation. We select bearing specifications and geometry as design variables, weight as the cost function, and life and stiffness as constraints. Through design optimization, we investigate the influence of design variables on the cost function and constraints by comparing the initial and optimal design values.

1. 서론

자동차용 휠 베어링(automotive wheel bearing)은 차량의 무게를 지지하고 회전을 전달하는 자동차의 주요 부품이다(Fig. 1 참조). 휠 베어링의 가장 중요한 성능은 수명(life)과 강성(stiffness)이며, 휠 베어링 설계는 수명과 강성을 만족하는 설계변수(design variable)를 찾는 과정을 의미한다. 휠 베어링 수명은 이론적으로 차량의 수명이 다할 때까지 휠 베어링은 파손되지 않아야 하며, 수명 예측은 베어링 형상(geometry), 차량 제원(vehicle specification) 및 베어링 제원(bearing specification), 주행조건, 윤활조건, 재료 특성 등 여러가지 복잡한 조건에 의하여 결정된다[1-6]. 또한, 휠 베어링 강성은 최근 차량이 고급화됨에 따라서 승차감(comfortable ride)과 조향감(steering feeling)에 대한 필요성이 높아지면서 휠 베어링 설계 시 반드시 고려해야 하는 성능 중 하나이다[7,8]. 기존에는 시험을 통하여 강성 평가를 수행하였으나, 최근 컴퓨터의 발달로 인하여 유한요소법(finite element method)에기반한수치해석기법(numerical analysis technique)을 이용하고 있다.

Fig. 1. Automotive wheel bearing [1].

최근 CO₂ 배출 저감 및 연비 규제로 인하여 자동차 부품의 성능은 유지하면서 경량화, 소형화 하려는 설계요구가 증가하고 있다. 그러나, 성능과 중량은 일반적으로 반비례하므로 중량을 감소하면서 성능을 유지하는 설계를 찾는 것은 쉽지 않다. 이를 위하여는 실험계획법(Design of experiment, DOE) 또는 최적화(optimization)와 같은 이론적 방법을 사용하여야 하며, 이것은 주어진 조건에서 반복 설계 프로세스를 통한 설계변수를 결정하는 최적설계 문제로 정식화 될 수 있다[2,9].

베어링 수명 평가에 대한 기존 연구를 살펴보면, Lee[10]는 통계적 방법(statistical method)을 이용하여 베어링 수명을 예측하였다. 설계공차(design tolerance)에 따른 베어링 수명 산포(variation)를 계산한 결과, 베어링 수명은 정규분포(normal distribution)의 형태를 보임을 확인하였다. Lee[2]는 작동하중과 회전속도를 변화시키면서 휠 베어링 수명시험을 수행하였고, 이를 국제표준(international standards)에서 제안하는 이론수명인 기본정격수명(basic rating life)과 보정정격수명(modified rating life) 결과와 비교하였다. 비교 결과, 기본정격수명보다 보정정격수명이 시험수명을 보다 정확하게 예측함을 알 수 있었다. Lee[3]는 기본정격수명과 보정정격수명에 대하여 실험계획법을 이용하여 베어링 수명에 영향을 끼치는 인자에 대하여 분석한 결과, 신뢰도 95% 수준에서 접촉각(contact angle)과 내륜 곡률(inner ring curvature)이 유의함(significant)을 확인하였다. Lee[9]은 제한조건(constraint)이 없는 휠 베어링 수명 최적설계를 수행하였다. 이를 통하여 기본정격수명과 보정정격수명을 최대화하기 위한 설계변수의 최적 값(optimal value)을 선정하였다.

베어링 강성에 대한 기존 연구로는 Lee 등[11]은 설계변수법(parametric method)을 이용하여 내구수명과 강성을 만족시키는 최적의 베어링을 설계하였다. Lee 등[7]은 휠 베어링의 강성해석 프로그램을 개발하였고, 시험 결과와 비교하여 개발된 프로그램의 신뢰성을 검증하였다. Lee 등[8]은 실험계획법을 이용하여 자동차용 휠 베어링의 강성평가를 수행하였다. 그 결과, 볼 PCD(ball pitch circle diameter, ball PCD)와 피치(pitch)가 베어링 강성에 가장 큰 영향을 끼침을 확인하였다.

최적설계에 대한 기존 연구로는 Choi 등[12]은 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 이용하여 자동차 휠 베어링 유닛(automotive wheel bearing unit)의 설계변수를 결정하기 위한 설계 모델을 제안하였다. 장착 공간을 늘리지 않고 성능 및 형상에 대한 다양한 설계 제한조건(constraint)을 충족하면서 시스템 수명을 최대화하기 위하여 이산 최적화 문제(discrete optimization problem)로 정식화하였다. Ahn 등[13]은 베어링 유니트(bearing unit)의 내구수명을 계산하고 이를 기반으로 베어링 형상 변수들이 베어링 내구수명에 미치는 영향을 다구찌 방법(Taguchi method)으로 분석하였다. An 등[14]은 자동차용 휠 베어링의 수명과 강성을 만족하고 중량을 최소화할 수 있는 중량최적화 프로그램을 개발하였다.

이와 같이 베어링 성능과 설계에 대한 기존 연구들을 검토한 결과, 베어링 수명 또는 강성에 대한 각각의 연구가 단편적으로 수행되었을 뿐 수명과 강성을 모두 고려한 연구는 드물며, 특히 수명과 강성을 고려하는 설계 최적화는 거의 없는 실정이다. 또한, 기존에 개발된 최적설계 프로그램은 최적화 과정에 따르는 해석 소요시간이 매우 오래 걸리는 단점으로 인하여 현실적으로 적용이 어려운 문제가 있다.

본 연구에서는 휠 베어링의 수명과 강성을 고려한 자동차용 휠 베어링의 설계 최적화를 수행하였다. 휠 베어링의 수명 평가를 위하여 기본정격수명과 보정정격수명 이론에 근거하여 이를 계산할 수 있는 프로그램을 개발하였다. 반복적인 강성해석 시 시간이 많이 소요되는 단점을 해결하기 위하여 회귀분석(regression analysis)을 이용한 회귀식(regression equation)을 개발하였다. 개발된 회귀식의 통계적 특성을 파악하기 위해 ANOVA 분석과 주효과분석(main effect analysis)을 실시하였고, 회귀식의 예측결과와 시험결과를 비교하여 신뢰도를 검증하였다. 개발된 수명 예측 프로그램과 강성 회귀식을 이용하여 설계 최적화를 수행하였다. 설계변수로 베어링 사양 및 베어링 형상을 선정하였고, 목적함수(cost function)로 중량(weight), 제한조건으로 수명과 강성을 선정하였다. 설계 최적화를 수행한 결과, 초기 설계값과 최적 설계값을 비교하여 설계변수가 목적함수와 제한조건에 미치는 영향을 고찰하였다.

2. 수명계산

2-1. 기본정격수명 계산

레이디얼 볼 베어링(radial ball bearing)의 기본 정격 수명(L₁₀)은 Eq. (1)과 같이 계산할 수 있다[15].

\(\begin{aligned}L_{10}=\left[\frac{C_{r}}{P_{r}}\right]^{3}\end{aligned}\)       (1)

여기서, C_r은 기본 동정격하중(basic dynamic load rating)이며, Eq. (2)로부터 계산할 수 있다. P_r은 동등가하중(dynamic equivalent load)이며, Eq. (3)으로부터 계산할 수 있다.

C_r = b_mf_c(i cos α)^0.7Z^⅔D^1.8_w, D_w ≤ 25.4

C_r = 3.64b_mf_c(i cos α)^0.7Z^⅔D^1.4_w, D_w > 25.4       (2)

P_r = XF_r + YF_a       (3)

여기서, b_m과 f_c는 베어링 제원에 따라서 결정되는 값이다. i는 베어링의 열 수, α는 접촉각, Z는 단열 베어링의 볼 수, D_w는 볼 지름을 의미한다. 또한, F_r은 반경 방향 하중(radial directional load)을, F_a는 축 방향 하중(axial directional load)을 나타낸다. X와 Y는 각각 레이디얼 하중 계수(dynamic radial load factor), 액시얼 하중 계수(dynamic axial load factor)를 의미한다[2,3,9].

2-2. 보정정격수명 계산

보정정격수명(L_nm)은 Eq. (4)와 같이 계산할 수 있다[16].

L_nm = a₁·a_ISO·L₁₀       (4)

여기서, a₁은 신뢰도(reliability)를 위한 보정 계수이며 Table 1로부터 구할 수 있다. 신뢰도가 90%라고 가정하면 a₁은 1이 되며, L_nm은 L_10m이 된다. 또한, a_ISO는 작동온도, 회전속도, 윤활유의 종류, 베어링이 설치되어 있는 장소의 청정도, 베어링 재료의 피로한도(fatigue load limit) 등으로부터 계산되는 값이며, 레이디얼 볼 베어링의 경우 Fig. 2와 같고 Eq. (5)와 같이 계산할 수 있다.

Table 1. Life modification factor for reliability, a₁ [16]

Fig. 2. Life modification factor for radial ball bearing [16].

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}a_{\text {ISO }}=0.1\left[1-\left(2.5671-\frac{2.2649}{\kappa^{0.054381}}\right)^{0.83}\left(\frac{e_{C} C_{u}}{P}\right)^{1 / 3}\right]^{-9.3}, 0.1 \leq \kappa<0.4 \\ a_{\text {ISO }}=0.1\left[1-\left(2.5671-\frac{1.9987}{\kappa^{0.19087}}\right)^{0.83}\left(\frac{e_{C} C_{u}}{P}\right)^{1 / 3}\right]^{-9.3}, 0.4 \leq \kappa<1 \\ a_{\text {ISO }}=0.1\left[1-\left(2.5671-\frac{1.9987}{\kappa^{0.071739}}\right)^{0.83}\left(\frac{e_{C} C_{u}}{P}\right)^{1 / 3}\right]^{-9.3}, 1 \leq \kappa \leq 4\end{array}\end{aligned}\)      (5)

여기서, κ는 점성비(viscosity ratio)이고, e_C는 청정도 인자(contamination factor), C_u는 피로한도, P는 동등가하중(dynamic equivalent load)이다[2,3,9].

위의 이론에 근거하여 기본정격수명과 보정정격수명을 계산할 수 있는 프로그램을 개발하였다(Fig. 3 참조).

Fig. 3. Developed bearing life calculation program [9].

3. 강성해석

휠 베어링의 강성 k은 Fig. 4에 나타난 바와 같이 작용 모멘트(M)를 각도(angle, θ)로 나눈 값으로 정의되며 Eqs. (2)~(7)로부터 계산할 수 있다.

Fig. 4. Stiffness for automotive wheel bearings.

\(\begin{aligned}k=\frac{M}{\theta}\end{aligned}\)       (6)

M = F_a x T_r + F_r x B_o       (7)

\(\begin{aligned}\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{\delta}{D_{o}}\right)\end{aligned}\)       (8)

\(\begin{aligned}F_{r}=W \times\left(\frac{1}{2}+\frac{G h}{t}\right)\end{aligned}\)       (9)

F_a = G x F_r       (10)

δ = |δ_A - δ_B|       (11)

여기서, T_r은 타이어 동반경(tire radius), B_o는 베어링 오프셋(bearing offset)이다. D_o는 허브 플랜지(hub flange)의 길이, W은 차량 축하중(vehicle axial load), G는 선회 가속도(cornering acceleration), h는 차량 중심고 높이(center of gravity height), t는 휠 트레드(wheel tread)이다. d_A와 d_B는 유한요소해석으로부터 계산된 허브 플랜지 끝단의 변형을 의미한다[5,6,9].

최적설계 수행 시 각 단계(iteration)마다 강성해석을 수행해야 한다. 만일 강성해석 1회 수행 시 1시간이 걸린다고 가정하면 최적설계 수행 시 4~7일의 해석 시간이 요구되고, 3시간이 걸린다고 가정하면 12~21일의 시간이 필요하다. 또한 최적화 단계마다 설계 변수에 의해 형상이 업데이트(geometry update)되어야 하며, 업데이트된 형상을 사용하여 중량 계산 및 강성해석을 수행해야 한다. 그러나 이러한 형상 업데이트는 CAD 모델의 설계 변수를 파라메터화(parameterization)하여 해석 모델과 연동해야 하기 때문에 실제로 적용하기가 어렵다. 따라서, 본 연구에서는 이러한 두 가지 문제를 해결하기 위해 회귀 분석을 통해 회귀식을 만들고 이를 이용하여 최적설계를 수행하였다.

휠 베어링의 강성을 결정하는 설계변수는 볼 PCD, 볼크기(ball size), 피치, 접촉각(contact angle), 볼 개수 등의 베어링 제원(bearing specification)과 허브 플랜지 두께(hub flange thickness), 외륜 플랜지 두께(outer ring flange thickness) 등의 베어링 형상으로 구분된다. 회귀식을 생성하기 위하여 베어링 제원과 베어링 형상에서 베어링의 특성을 결정짓는 중요한 설계변수 6개(허브 플랜지 두께(x₁), 외륜 플랜지 두께(x₂), 볼 PCD(x₃), 볼 크기(x₄), 피치(x₅), 접촉각(x₆))를 선택하였다. 39개의 휠 베어링에 대하여 6가지 설계변수에 대한 데이터를 수집하여 강성과 중량에 대한 회귀식을 생성하였다. 생성된 회귀식의 R-제곱 값은 각각 96%와 90%로 실제 값을 잘 예측하고 있음을 예상할 수 있다.

생성된 회귀식의 통계적 특성을 파악하기 위해 ANOVA 분석을 실시하였고 그 결과를 Table 2에 나타내었다. 강성 모델의 ANOVA 분석 결과 95% 신뢰 수준에서 외륜 플랜지 두께(x₂), 볼 PCD(x₃), 볼 크기(x₄) 및 피치(x₅)가 유의한 것으로 나타났으며, 중량 모델의 ANOVA 분석 결과 볼 PCD(x₃)와 피치(x₅)가 유의한 것으로 나타났다.

Table 2. ANOVA results

설계변수의 영향도를 파악하기 위하여 주 효과분석(main effect analysis)를 수행하였고, 생성된 회귀식에 대한 주 효과도(main effect plot)를 Fig. 5에 나타내었다. Fig. 5에서 알 수 있듯이 볼 PCD (x₃) 는 강성 모델과 중량 모델 모두에서 가장 민감한 설계변수임을 알 수 있다. 즉, 볼 PCD를 변경하면 강성과 중량 모두 가장 크게 값이 변경될 것으로 예상할 수 있다.

Fig. 5. Main effect plots.

생성된 회귀식을 검증하기 위해 강성 및 중량 모델 모두에 대해 실제 값과 예측 값을 비교하였다. Fig. 6에서 알 수 있듯이 강성 모델의 최대오차는 23%, 중량 모델의 최대오차는 14%이나, 평균오차는 모두 1% 로 본 연구에서 생성된 회귀식이 실제 값을 잘 예측하고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 6. Verification of regression models.

4. 최적설계

2장에서 개발된 수명 예측 프로그램과 3장에서 개발된 강성 회귀식, 중량 회귀식을 사용하여 휠 베어링의 설계 최적화를 수행하였다. 설계변수는 회귀식에서 사용된 6개의 변수로 가정하고 베어링 설계의 특성상 이산변수(discrete variable)로 취급하였다. 목적함수는 중량으로 정의하였고, 제한조건은 강성과 수명으로 정의하였다. 최적화 정식화는 Eq. (12)에 나타내었다.

Find x_i, i = 1, ..., 6

to minimize weight

subject to

G₁(x₁, ..., x₆) ≥ 0

G₂(x₁, ..., x₆) ≥ 0

where, G₁ = stiffness - G^target₁

G₂ = life - G^target₂       (12)

본 연구에서 사용한 최적화 기법은 Evolutionary Optimization이다. 이 방법은 gradient based 계산을 수행하지 않으며, 이산 설계 변수와 관련된 문제에 효과적인 수렴 기법으로 알려져 있다.

Fig. 7은 제한조건과 목적함수에 대한 최적화 기록을 나타낸다. 그림에서 검은색 점은 설계 가능한 설계 값(feasible design value)을, 빨간색 점은 설계 불가능한 설계 값(infeasible design value)을, 녹색 점은 최적 값을 나타낸다. 그리고, 파란색 선은 제한조건 값을 나타낸다. 최적설계는 101회 수행되었고, 37개의 설계 가능한 설계 영역이 생성되었다. 그 중에서 25번째 값이 강성과 수명의 제한조건을 만족하면서 중량을 최소화하는 최적해이다.

Fig. 7. History plots for design optimization.

Fig. 8은 제한조건과 목적함수에 대한 영향을 나타낸다. Fig. 8(a)는 수명과 강성의 영향을 나타내고 있으며, 그림 영역의 파란색으로 갈수록 중량이 가벼운 영역이고 빨간색으로 갈수록 중량이 무거운 영역이다. 제한조건 값을 표시하는 파란색 선은 설계가능 영역과 설계 불가능 영역을 구분한다. 37개의 설계 가능한 설계 값은 2개의 파란색 선으로 구분된 영역 중 설계 가능한 영역 쪽에 위치하고 있다. 또한, 최적설계의 특성상 빨간색으로 표시되는 중량이 무거운 영역으로부터 먼 파란색 영역에 위치하고 있다. 이 중에서 2개의 파란색 선의 꼭지점 부근, 즉 파란색 선에 가장 가까운 곳에 최적설계 값이 존재한다. Fig. 8(b)와 Fig. 8(c)는 각각 설계변수에 대하여 수명과 중량, 강성과 중량의 영향도를 나타낸다. 여기서, 녹색선은 추세선을 의미한다. Fig. 8(b)와 Fig. 8(c)로부터 알 수 있듯이 설계 가능한 설계 값은 파란색 선을 기준으로 설계가능 영역에 위치하고 있음을 알 수 있다.

Fig. 8. Relationship between constraints and cost function.

초기 설계변수 값과 최적 설계변수 값의 차이를 초기값으로 나눈 최적 설계값의 비율을 Table 3에 표시하였다. 음수 부호는 초기 값에 비해 최적 값이 감소함을 나타내고 양수 부호는 증가함을 나타낸다. Table 3에서 보는 바와 같이 설계변수 x₃, x₄, x₆은 최적화 과정에 영향을 미치지 않았다. 한편, x₁, x₂, x₅는 값이 감소하였다. 6개의 설계 변수 중 x₅가 가장 큰 영향을 미쳤으며 초기설계 대비하여 최적설계 시 값이 23% 감소하였다. 설계 최적화 결과, 최적화된 강성, 수명과 중량은 초기 대비 각각 약 4% 증가, 16% 감소, 36% 감소하였다. 결론적으로 본 연구에서 제안하는 수명 예측 프로그램과 강성 회귀식을 이용한 최적설계를 수행하면 강성과 수명 등 베어링 성능을 고려하면서 중량을 최소로 하는 설계변수를 선정할 수 있다.

Table 3. Ratio of the optimal value compared with initial design

5. 결론

본 연구에서는 자동차용 휠 베어링의 주요 성능인 강성과 수명을 고려한 설계 최적화에 대하여 고찰하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결과는 다음과 같다.

1. 휠 베어링의 수명 평가를 위하여 기본정격수명과 보정정격수명 이론에 근거하여 이를 계산할 수 있는 수명 예측 프로그램을 개발하였다.

2. 최적설계를 현실적으로 수행하기 위하여 강성과 중량에 대하여 회귀모델에 기반한 회귀식을 개발하였다. 회귀식의 설계변수는 베어링 특성을 결정하는 중요한 설계변수 6개를 사용하였다. 개발된 회귀식은 R-제곱 값 및 실제 값과의 비교를 통하여 신뢰성을 검증하였다.

3. 개발된 수명 프로그램과 강성 회귀식, 중량 회귀식을 이용하여 설계 최적화를 수행하였다. 설계변수는 회귀식에서 지정된 6개의 변수로 가정하였다. 목적함수는 중량, 제한조건은 강성과 수명으로 정의하였다. 최적설계 결과, 최적화된 강성과 수명, 중량은 초기 대비 각각 약 4% 증가, 16%와 36% 감소하였다.

4. 결론적으로 본 연구에서 제안하는 수명 예측 프로그램과 강성 회귀식, 중량 회귀식을 이용한 최적설계를 수행하면 강성, 수명 등 베어링 성능을 고려하면서 중량을 최소로 하는 설계변수를 선정할 수 있다.

Achknowledgements

이 연구는 2022년도 산업통상자원부 및 산업기술평가관리원(KEIT) 연구비 지원에 의한 연구임(전기자동차 전용 플랫폼 적용을 위한 고성능 엔코더 씰 어셈블리 개발, 20020853, 산업통상자원부)

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