제품 포트폴리오 문제의 원가 이익률 알고리즘

Algorithm for Profit per Cost Ratio of Product Portfolio Problem

Abstract

제품 포트폴리오 문제(PPP)는 n개 제품 들 중에서 최대 이익을 창출하도록 특정 제품의 생산량을 결정하는 최적화 문제이다. 이러한 최적화 문제를 풀 수 있는 유일한 방법으로 선형계획법(LP)이 알려져 있다. 선형계획법은 n개의 선형함수를 최적화시키는 문제로 LINGO나 엑셀 해결사 등을 활용하는 실정이다. 본 논문은 제품 원가 대비 이익 비율인 CPR 개념을 도입하여 CPR 내림차순으로 정렬한 후, 최대 CPR 제품부터 허용된 최대 생산량을 실제 생산량으로 수기 식으로 결정하는 단순한 알고리즘을 제안하였다. 6개의 실험 데이터에 제안된 알고리즘을 적용한 결과 선형계획법에 비해 보다 정확한 결과를 얻을 수 있음을 보였다.

The product portfolio problem(PPP) is an optimization problem that determines the production quantity of a particular product to obtain the maximum profit among the n products. Linear programming(LP) is known as the only way to solve this optimization problem. The linear programming method is a problem that optimizes n linear functions and uses LINGO or Excel solver. This paper proposes a simple algorithm that uses CPR, a product cost-profit ratio, to sort in CPR descending order and then determines the maximum allowed production quantity by hand as the actual production quantity. As a result of applying the proposed algorithm to six experimental data, it was shown that more accurate results can be obtained compared to the linear programming method.

Ⅰ. 서론

재품 포트폴리오 문제(product portfolio problem, PPP)는 다수의 제품을 생산함에 있어 총 생산량이나 부피 제약사항을 충족하는 범위 내에서 최대의 수익을 창출할 수 있도록 특정 제품의 생산량을 결정하는 문제이다.^[1]

PPP는 일반적으로 선형계획법(linear programming, LP)을 적용하여 문제의 해를 얻고 있다.^[2-11] 그러나 LP는 n개의 제품이 결합된 선형 함수 들을 모두 충족하는 개별 제품의 생산량을 결정해야 하는 복잡함으로 인해 LINGO(optimization modeling software for linear, nonlinear, and integer programming)^[2] 또는 Excel-Solver^[3,4] 같은 선형계획법 해결사(linear programming solver, LPS) 소프트웨어를 적용하지 않고는 수기 식으로 문제를 풀 수 없는 단점을 갖고 있다.

본 논문에서는 수기 식으로 PPP의 정확한 해를 찾을 수 있는 알고리즘을 제안한다. 제안된 방법은 원가 이익률(cost-profit ratio, CPR)을 계산하여 고 원가 이익률 제품을 우선하여 최대 생산 가능 수량을 실질적 생산량으로 결정하는 단순한 방법이다. 2장에서는 실 사례 문제를 대상으로 선형계획법을 적용하여 얻은 결과의 문제점을 고찰해 본다. 3장에서는 PPP의 해를 수기 식으로 간단히 풀 수 있는 최대 CPR 제품 우선 생산량 결정 알고리즘을 제안한다. 4장에서는 다양한 유형의 문제들을 대상으로 제안된 알고리즘을 적용하여 선형계획법으로 얻은 결과와 비교하여 알고리즘의 적합성을 검증한다.

Ⅱ. 관련 연구와 문제점

PPP는 모든 제품을 생산해야 하는 경우, 또는 특정 제품만을 생산해도 무방한 경우, 총 생산량에 대한 제약사항만 주어진 경우, 또는 특정 제품에 대한 제약사항만이 주어진 경우 등 다양한 유형으로 제시되어 일반화된 단일 유형이 존재하지 않는다.

표 1은 Baker^[5]에서 인용된 Frosty 판매유통회사가 15개 제품을 생산하여 판매하고자 하는 PPP-1 문제로, 제품 생산 단가, 판매가, 이익, 단위 부피, 생산 가능 량(최소, 최대)이 주어졌을 때 총 생산 단가는 30,000, 부피는 18,000의 제약사항을 충족하면서 최대 수익을 얻을 수 있도록 제품별 생산량을 결정하는 문제이다.

표 1. PPP-1 of Frosty distributors

Table 1. Frosty 판매유통회사의 PPP-1

Baker^[5]는 표 1의 PPP-1에 대해 선형계획법을 적용하여 3,396의 이익을 얻는 제품별 생산량을 결정하였다.

기존의 방법들은 단지 LP를 적용하였을 뿐, 정답을 찾아가는 규칙인 알고리즘을 제시하지 못하였다는데 문제가 있다. 왜냐하면 실사용자들은 선형계획법 패키지를 구매하여 자신이 처한 문제에 적합하도록 선형계획법의 1차 선형함수를 만드는 방법에 능숙해야 하는 어려움이 있어, LP를 구매하지 않고도 단순히 해를 구하는 방법을 원하는 고객의 니즈를 충족시킬 수 없기 때문이다. LP를 PPP에 적용함에 있어 제기되는 또 다른 문제점으로는 PPP의 제품 생산량은 양의 정수(자연수)로 쪼갤 수 없는데도 불구하고 LP는 부동소수점의 실수 값을 제시한다는 점이다. 이러한 LP가 갖고 있는 근본적인 문제점을 해결함과 동시에 실사용자들이 MS-Excel을 이용하여 빠르고 정확한 해를 간단히 찾는 알고리즘을 3장에서 제안한다.

Ⅲ. 고 원가 이익률 우선 생산 알고리즘

경제와 회계분야에서 일반적으로 적용하는 이익률(profit ratio)은 매출액 대비 수익률로, 이익금 = 판매가 – 생산가, 이익률 = 이익금/판매가로 계산한다. 또한, 원가 액에 따른 이익률 계산법은 적용하지 않고 있다. 이에 반해 본 장에서는 식 (1)의 원가 이익률(cost-profit ratio, CPR)을 계산하여 원가 이익률 내림차순으로 제품 생산량을 결정하여 PPP의 정확한 해를 구하는 방법을 제안한다.

원가 이익률(CPR) = 제품 수익률(profit)/제조 원가(cost)       (1)

s.t. 제품 수익률 = 판매가(price)-제조원가(cost)

CPR 내림차순으로 정렬하고, 제품 생산량을 ‘0’으로 설정한 초기 치에 대해 CPR 내림차순으로 제약조건을 충족하는 상태에서 해당 제품의 최대 생산가능 량을 실질적 생산량으로 결정한다. 제안된 알고리즘을 고 원가이익률 우선 생산 알고리즘(high cost-profit ratio first product algorithm, HCPIFPA)이라 하며, 그림 1과 같이 수행된다.

그림 1. 고 원가 이익률 우선 생산 알고리즘

Fig. 1. HCPIFPA​​​​​​​

표 1의 PPP-1 문제에 HAIFPA를 적용한 결과는 그림 2에 제시되어 있다. PPP-1은 비록 적자가 나더라도 시장 지배력 상실로 인해 모든 제품을 생산해야 하는 문제로 초기 치는 q_min (Product Quantity : Min)으로 설정한다.

그림 2. CFMP-1의 고 원가 이익률 우선 생산 알고리즘

Fig. 2. HCPIFPA for CFMP-1​​​​​​​

HCPIFPA는 Unit PCR 내림차순으로 정렬하고, 제품별 생산량 초기치를 q_min 으로 설정한 초기 치에 대해 최대 Unit CPR인 Creamed corn, Black-eyed peas, Carrots, Green beans까지는 q_max를 생산량으로 결정함에 있어 제약조건인 Credit(30,000)과 Space(18,000)을 충족하였다. 다음 생산 제품인 Lima beans를 q_max (3,300)로 배정한 결과 Credit (30,000)을 초과하여 2,150으로 줄여 q_max (3,300)의 제약조건을 충족시키는 최종 결과를 얻었다. 이 결과는 Baker^[2]가 LP를 적용하여 얻은 결과와 동일함을 알 수 있다. 결론적으로 LP를 적용하지 않고 단순히 MS-Excel을 사용하여 Unit CPR 내림차순 정렬 후 순서대로 최대 상산 가능 수량을 실제 생산량으로 결정하는 규칙을 적용하면 쉽게 해를 구할 수 있음을 알 수 있다.

Ⅳ. 알고리즘 적용 및 결과 분석

본 장에서는 그림 3의 다양한 유형의 실험 데이터에 HCPIFPA를 적용하여 선형계획법으로 얻은 해와 비교를 통해 제안된 알고리즘의 적합성을 검증한다. 이들 문제는 공통적으로 생산 최소량 제약조건이 명시되지 않아 p_min =0이다.

그림 3. 실험 데이터

Fig. 3. Experimental data​​​​​​​

그림 3의 실험 데이터에 대해 HCPIFPA를 적용한 결과는 그림 4에 제시되어 있다.

그림 4. 실험 데이터에 관한 HCPIFPA

Fig. 4. HCPIFPA for CFMP-2​​​​​​​

PPP-5와 PPP-6에 대해서는 원문에서 제시한 LP의 결과와 일치하는지 여부를 검증하기 위해 실수 값의 제품 생산량을 보인 후, 양의 정수인 생산량을 수정한 정확한 결과를 추가로 제시하였다.

본 논문에서 거론된 실험 데이터들에 대해 기존에 알려진 해와 제안된 HCPIFPA로 구한 결과를 요약하여 표 2에 제시하였다.

표 2. HCPIFPA 성능

Table 2. Performance of HCPIFPA​​​​​​​

제안된 HCPIFPA는 제품을 쪼갤 수 없는 상황이지만 쪼개어 일부만을 생산하는 PPP-5와 PPP-6의 LP결과인 실수 값과 비교하였을 때 동일한 결과를 얻었으며, 정수값인 단위 생산량 기준으로 하였을 경우 LP에 비해 보다 많은 이익을 얻을 수 있음을 보였다. 제안된 알고리즘은 PPP-1을 제외하고는 나머지 5개 실험 데이터에서 LP에 비해 보다 많은 이익을 창출할 수 있는 결과를 보였다.

결론적으로 본 논문에서는 PPP는 복잡한 선형함수 최적화를 수행하는 LP를 적용하지 않고, 단순히 MS-Excel 표를 활용하여 CPR 내림차순으로 정렬하고, 주어진 제약조건을 충족할 때까지 최대 CPR 제품부터 최대 허용생산량을 실제 생산량으로 결정하면 초보자도 쉽게 해를 구할 수 있는 알고리즘이 존재함을 보였다.

Ⅴ. 결론

본 논문은 n개 제품들 중에서 최대 이익을 창출할 수 있도록 특정 제품의 생산량을 결정하는 제품 포트폴리오문제(PPP)에 대해 MS-Excel을 활용하여 수기 식으로 단순히 정확한 해를 찾을 수 있는 알고리즘을 제안하였다.

PPP의 정확한 해인 최대 이익 창출을 위한 제품 생산량 결정을 하는 핵심은 제품의 단가 대비 이익률(판매가-단가)인 CPR로 결정할 수 있다는 단순한 논리에 기반하여 최대 CPR 제품부터 최대 허용 생산량을 실제 생산량으로 배정하는 방법으로 총 이익을 극대화 시킬 수 있었다.

본 논문에서 제안한 알고리즘을 6개의 다양한 형태의 PPP에 적용한 결과 기존의 LP에 비해 보다 높은 이익을 창출함과 동시에 제품 생산량을 정수 값으로 결정하는 장점도 갖고 있음을 보였다. 이러한 결과를 얻은 핵심은 CPR 개념을 도입하였다는 점이 본 논문의 핵심이다.