방향성 주파수 응답 함수를 이용한 회전체 동역학 해석

Rotordynamic Analysis Using a Direction Frequency Response Function

Abstract

A rotordynamic system consists of components that undergo rotational motion. These components include shafts, impellers, thrust collars, and components that support rotation, such as bearings and seals. The motion of this type of rotating system can be modeled as two-dimensional motion and, accordingly, the equation of motion for the rotordynamic system can be represented using complex coordinates. The directional frequency response function (dFRF) can be derived from this complex coordinate system and used as an effective analytical tool for rotating machinery. However, the dFRF is not widely used in the field because most previous studies and commercial software are based on real coordinate systems. The objective of the current study is to introduce the dFRF and show that it can be an effective tool in rotordynamic analysis. In this study, the normal frequency response function (nFRF) and dFRF are compared under rotordynamic analysis for isotropic and unisotropic rotors. Results show that in the nFRF, the magnitude of the response is the same for both positive and negative frequencies, and the response is similar under all modes. Consequently, the severity of the mode cannot be identified. However, in the dFRF, the forward and backward modes are clearly distinguishable in the frequency domain of the isotropic rotor, and the severity of the mode can be identified for the unisotropic rotor.

Nomenclature

[C] : Damping matrix (−) (감쇠 행렬)

{f} : Force vector (−) (외력 벡터)

[G] : Gyroscopic matrix (−) (자이로스코픽 행렬)

H : Frequency response function (−) (주파수 응답 함수)

[K] : Stiffness matrix (−) (강성 행렬)

k : Bearing stiffness (N/m) (베어링 강성)

[M] : Mass matrix (−) (질량 행렬)

{l} : Left eigenvector (−) (좌 고유벡터)

m : Rotor mass (kg) (로터 질량)

p : Complex variable (−) (복소 함수)

{q} : Displacement vector (−) (변위 벡터)

{r} : Right eigenvector(−) (우 고유벡터)

u, v : Eigen vector (−) (고유 벡터)

y, z : Rotor displacement (m) (로터 변위)

λ : Eigen value (rad/s) (고유치)

ω : Excitation frequency (rad/s) (가진 주파수)

Ω : Rotating velocity (rad/s) (회전 속도)

1. 서론

회전체 시스템은 회전축, 임펠러, 스러스트 칼라 등과 같이 회전운동을 하는 요소들과 베어링, 씰 등과 같은 회전체를 지지하는 요소들로 구성된다. 이러한 회전체 시스템의 동적 특성은 시스템에 대해 유도된 운동방정식을 이용하여 예측할 수 있으며, 운동 방정식은 주로 유한요소법을 사용하여 유도된다[1].

회전체 시스템의 운동방정식은 회전 운동에 의한 자이로스코픽 효과나, 베어링, 씰 등에 존재하는 강성과 감쇠의 비등방성 때문에 강성, 감쇠 행렬이 일반적인 구조 진동 문제와 다르게 비대칭행렬이 되는 특징을 가진다. 따라서, 회전체 시스템 해석을 위한 고유치 문제는 비자체수반행렬(Non-self adjoint matrix)을 기반으로 구성되며, 일반적인 구조 진동 문제와 구별되는 몇 가지 특징을 가진다. 우선, 회전체 시스템의 주파수 응답 함수(Frequency response function)를 실험적으로 파악하기 위해서는 구조 진동 문제와는 다르게 1개의 행과 열을 모두 파악해야한다. 또한, 회전체 시스템의 진동 모드는 전방(Forward) 또는 후방(Backward) 모드로 구분되는 방향성을 가지고 있다. 그러나, 회전체 동역학 해석 시 실수 좌표계를 기반으로 유도되는 일반적인 주파수 응답 함수에서는 응답의 크기가 양, 음의 주파수 영역에서 대칭으로 나타나기 때문에, 주파수 응답 함수를 통해 모드의 방향성을 쉽게 구분할 수 없는 어려움이 있다. 또한, 일반적인 주파수 응답 함수에서는 가진시 강한 응답이 나타나는 모드와 약한 응답이 나타나는 모드가 거의 동일한 크기로 나타나기 때문에 응답의 강도를 효과적으로 예측할 수 없다는 단점 또한 가지고 있다[2].

이렇게 일반적인 구조 진동 문제와 다른 성질을 가지는 회전체 시스템을 효과적으로 분석하기 위해 Lee등은 복소 좌표계를 기반으로 한 방향성 주파수 응답 함수(Directional frequency response function)를 제안하였다[2-4]. 방향성 주파수 응답 함수는 후속 연구들을 통해 실수 좌표계 기반의 주파수 응답 함수 보다 회전체 시스템을 효과적으로 분석할 수 있음이 증명되었다[5-7]. 방향성 주파수 응답 함수는 각 모드의 고유진동수 정보뿐만 아니라, 모드 감쇠 및 Residue정보 또한 포함하고 있어, 회전체 응답 크기를 효과적으로 분석할 수 있으며, 시스템의 등방성과 대칭성 또한 파악할 수 있는 장점을 가지고 있다. 그러나, 이러한 장점에도 불구하고 방향성 주파수 응답 함수는 회전체 동역학 해석에 아직 널리 사용되지 못하고 있다. 본 연구에서는 방향성 주파수 응답 함수를 소개하고 등방 성, 비등방성 회전체에 대한 해석을 통해 실수 좌표계 기반의 주파수 응답 함수와의 차이에 대해 고찰하고자 한다.

2. 연구방법 및 내용

2-1. 실수 좌표계 주파수 응답 함수

Fig. 1과 같은 회전체 시스템의 운동방정식은 그림상 표시된 y, z 좌표계에서 식 (1)과 같이 표현된다.

Fig. 1. Schematic of rotor bearing system.

\(\begin{align}[M]\{\ddot{q}\}+([C]+\Omega[G])\{\dot{q}\}+[K]\{q\}=\{f\}\end{align}\)       (1)

식 (1)에서 [M], [C], [K]는 각각 질량, 감쇠, 강성 행렬을 나타내며, [G]는 회전에 의해 나타나는 자이로스코픽 행렬을 나타난다. 또한, 변위 벡터 {q}와 가진력 벡터 {f}는 실수 좌표계에서 y, z방향으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

{q} = {y z}^T, {f} = {f_y f_z}^T       (2)

따라서, 해석 대상 시스템이 N개의 노드를 가질 경우운동 방정식은 2N개의 자유도를 가진다. 식 (1)의 운동 방정식으로부터 주파수 응답 함수를 계산하기 위해, 식(1)은 식 (3)과 같은 상태 공간 방정식 형태로 표현할 수 있다.

\(\begin{align}[A]\{\dot{w}\}=[B]\{w\}+\{Q\}\end{align}\)       (3)

식 (3)에서 [A], [B], {w}, {Q}는 각각 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}[A]=\left[\begin{array}{cc}0 & M \\ M & C\end{array}\right],[B]=\left[\begin{array}{cc}M & 0 \\ 0 & -K\end{array}\right],\{w\}=\left\{\begin{array}{l}\dot{q} \\ q\end{array}\right\},\{Q\}=\left\{\begin{array}{l}0 \\ f\end{array}\right\}\end{align}\)       (4)

식 (3)과 관련된 고유치 문제는 식 (5)와 같이 정의되며, 이를 이용하여 좌, 우 고유벡터 {l}, {r}을 계산할 수 있다.

(λ[A] - [B]){r} = {0}

{l}^T(λ[A] - [B] = {0}       (5)

식 (5)를 통해 계산된 좌, 우 고유벡터는 각각 다음과 같이 표현된다.

\(\begin{align}\{l\}=\left\{\begin{array}{c}\lambda v \\ v\end{array}\right\},\{r\}=\left\{\begin{array}{c}\lambda u \\ u\end{array}\right\}\end{align}\)       (6)

식 (6)에서 λ는 고유값을 나타내며 v, u는 각각 로터의 변위와 관련된 좌, 우 고유벡터를 나타낸다. 이렇게 계산된 고유벡터를 이용하여 운동방정식을 대각화 할 수 있으며, 이를 이용하여 식 (7)과 같이 정의된 주파수 응답 함수를 계산할 수 있다.

\(\begin{align}\left\{\begin{array}{l}Y(j \omega) \\ Z(j \omega)\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ll}H_{y y}(j \omega) & H_{y z}(j \omega) \\ H_{z y}(j \omega) & H_{z z}(j \omega)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}F_{y}(j \omega) \\ F_{z}(j \omega)\end{array}\right\}\end{align}\)       (7)

이때, 주파수 응답 함수는 고유 벡터와 고유치를 이용하여 식 (8)과 같이 표현된다.

\(\begin{align}H(j \omega)=\sum_{r=1}^{2 N}\left[\frac{u v^{T}}{j \omega-\lambda}+\frac{\overline{u v}^{T}}{j \omega-\bar{\lambda}}\right]_{r}\end{align}\)       (8)

상기의 식으로부터 실수 좌표계 기반의 주파수 응답 함수는 식 (9)와 같은 관계가 성립함을 알 수 있다. 따라서, 실수 좌표계 기반의 주파수 응답함수의 크기는 양, 음의 주파수 영역에서 대칭으로 나타남을 확인할 수 있다.

\(\begin{align}H_{i j}(-j \omega)=\bar{H}_{i j}(j \omega)\end{align}\)       (9)

2-2. 방향성 주파수 응답 함수

회전체 시스템의 각 노드의 운동과 가진력은 식 (2)와 같이 2차원 벡터로 모델링할 수 있다. 따라서, 식 (2)의 변위 벡터 {q}는 복소 평면에서 정의된 복소수 p로 표현이 가능하다. 이때, 복소수 p와 변위 y, z는 식 (10)과 같은 변환 행렬을 통해 관계식을 유도할 수 있다.

\(\begin{align}\left\{\begin{array}{l}p \\ \bar{p}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}1 & j \\ 1 & -j\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}y \\ z\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{l}y \\ z\end{array}\right\}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -j & j\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}p \\ \bar{p}\end{array}\right\}\end{align}\)       (10)

또한, 회전체에 작용하는 가진력 벡터 {f} 또한 동일한 변환 행렬을 이용하여 복소수 g로 식 (11)과 같이 표현할 수 있다.

\(\begin{align}\left\{\begin{array}{l}g \\ \bar{g}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}1 & j \\ 1 & -j\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}f_{y} \\ f_{z}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{l}f_{y} \\ f_{z}\end{array}\right\}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -j & j\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}g \\ \bar{g}\end{array}\right\}\end{align}\)       (11)

상기의 관계로부터 N개의 노드로 구성된 시스템에 대한 변환 행렬 [T]를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\(\begin{align}[T]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{[I]} & {[I]} \\ -j[I] & j[I]\end{array}\right]\end{align}\)       (12)

P(jω), \(\begin{align}\hat{P}(j \omega)\end{align}\)를 p(t), \(\begin{align}\bar{p}(t)\end{align}\)의 Fourier 변환식, G(jω), \(\begin{align}\hat{G}(j \omega)\end{align}\)를 g(t), \(\begin{align}\bar{g}(t)\end{align}\)의 Fourier 변환식 이라고 하면, 실수 좌표계에서 정의된 변수와의 관계를 통해 다음과 같은 관계를 가지는 것을 알 수 있다.

\(\begin{align}\left\{\begin{array}{l}Y(j \omega) \\ Z(j \omega)\end{array}\right\}=[T]\left\{\begin{array}{l}P(j \omega) \\ \hat{P}(j \omega)\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{l}F_{y}(j \omega) \\ F_{z}(j \omega)\end{array}\right\}=[T]\left\{\begin{array}{c}G(j \omega) \\ \hat{G}(j \omega)\end{array}\right\}\end{align}\)       (13)

식 (12)에서 정의된 변환 행렬과 식 (7)로 부터 복소 함수에 의해 정의되는 주파수 응답 함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\(\begin{align}\left\{\begin{array}{l}P(j \omega) \\ \hat{P}(j \omega)\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ll}H_{p g}(j \omega) & H_{p \hat{g}}(j \omega) \\ H_{\hat{p} g}(j \omega) & H_{\hat{p} \hat{g}}(j \omega)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}G(j \omega) \\ \hat{G}(j \omega)\end{array}\right\}\end{align}\)       (14)

이렇게 정의된 식 (14)에서 행렬의 각 항을 방향성주파수 응답 함수라고 하며, 방향성 주파수 응답 함수는 실수 좌표계에서 정의된 주파수 응답 함수의 성분들과 다음과 같은 관계를 가진다.

\(\begin{align}\begin{array}{l}2 H_{p g}=H_{y y}+H_{z z}-j\left(H_{y z}-H_{z y}\right) \\ 2 H_{p \hat{g}}=H_{y y}-H_{z z}+j\left(H_{z y}+H_{y z}\right) \\ 2 H_{\hat{p} g}=H_{y y}-H_{z z}-j\left(H_{z y}+H_{y z}\right) \\ 2 H_{\hat{p} \hat{g}}=H_{y y}+H_{z z}+j\left(H_{y z}-H_{z y}\right)\end{array}\end{align}\)       (15)

또한, 식 (9)와 식 (15)의 관계로부터 방향성 주파수 응답 함수의 각 항은 다음과 같은 관계를 가지는 것을 알 수 있다.

\(\begin{align}\begin{array}{l}H_{\hat{p} \hat{g}}(j \omega)=\bar{H}_{p g}(-j \omega) \\ H_{\hat{p} g}(j \omega)=\bar{H}_{p \hat{g}}(-j \omega)\end{array}\end{align}\)       (16)

따라서, 방향성 주파수 응답 함수를 이용할 경우 식 (17)과 같이 2개의 주파수 응답 함수만으로 회전체 운동을 표현할 수 있다.

\(\begin{align}P(j \omega)=\left[\begin{array}{ll}H_{p g}(j \omega) & H_{p \hat{g}}(j \omega)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}G(j \omega) \\ \hat{G}(j \omega)\end{array}\right\}\end{align}\)       (17)

2-3. 강체로터의 회전체 동역학 해석

앞 절에서 기술한 주파수 응답 함수를 이용하여 Fig. 1과 같은 강체 로터에 대한 해석을 수행하였다. 해석 대상은 Fig. 1과 같이 회전체 양 단이 베어링에 의해 지지되어 있으며, 회전체의 변형이 없는 강체 로터로써, 극관성 모멘트가 횡관성 모멘트 보다 작은 특징을 가진다. 이때, 회전체의 운동은 양 단의 수평, 수직 방향 변위 4자유도로 모델링 할 수 있으며, 식 (1)에서 표기한 변위 및 가진력 벡터는 각각 다음과 같이 정의된다.

{q} = {y₁ y₂ z₁ z₂}^T       (18)

{f} = {f_y1 f_y2 f_z1 f_z2}^T

이때, 질량, 강성, 자이로스코픽 행렬은 다음과 같이 표현된다.

\(\begin{align}[M]=\left[\begin{array}{cccc}m l_{2} & m l_{1} & 0 & 0 \\ -i_{T} & i_{T} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m l_{2} & m l_{1} \\ 0 & 0 & i_{T} & -i_{T}\end{array}\right]\end{align}\)       (19)

\(\begin{align}[K]=\left[\begin{array}{cccc}k_{y y 1} & k_{y y 2} & 0 & 0 \\ -l_{1} k_{y y 1} & l_{2} k_{y y 2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k_{z z 1} & k_{z z y 2} \\ 0 & 0 & l_{1} k_{z z 1} & -l_{2} k_{z z 2}\end{array}\right]\end{align}\)       (20)

\(\begin{align}[G]=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i_{p} & i_{p} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -i_{p} & i_{p} & 0 & 0\end{array}\right]\end{align}\)       (21)

상기식들에서 사용된 변수는 식 (22)와 같이 정의되며, 해석에 사용된 로터의 물성치는 Table 1에 기술하였다.

Table 1. Properties of rotor

\(\begin{align}l_{1}=\frac{L_{1}}{L}, l_{2}=\frac{L_{2}}{L}, i_{T}=\frac{I_{T}}{L^{2}}, i_{P}=\frac{I_{P}}{L^{2}}\end{align}\)       (22)

식 (22)에서 I_p, I_T는 각각 극관성, 횡관성 모멘트를 나타내며, L은 로터의 길이를 나타낸다. 상기 운동 방정식을 통해 계산된 실수 좌표계 주파수 응답 함수와 방향성 주파수 응답 함수는 각각 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{align}\left\{\begin{array}{l}Y_{1}(j \omega) \\ Y_{2}(j \omega) \\ Z_{1}(j \omega) \\ Z_{2}(j \omega)\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{llll}H_{y 1 y 1} & H_{y 1 y 2} & H_{y 1 z 1} & H_{y 1 z 2} \\ H_{y 2 y 1} & H_{y 2 y 2} & H_{y 2 z 1} & H_{y 2 z 2} \\ H_{z 1 y 1} & H_{z 1 y 2} & H_{z 1 z 1} & H_{z 1 z 2} \\ H_{z 2 y 1} & H_{z 2 y 2} & H_{z 2 z 1} & H_{z 2 z 2}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}F_{y 1}(j \omega) \\ F_{y 2}(j \omega) \\ F_{z 1}(j \omega) \\ F_{z 2}(j \omega)\end{array}\right\}\end{align}\)       (23)

\(\begin{align}\left\{\begin{array}{l}P_{1}(j \omega) \\ P_{2}(j \omega)\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{llll}H_{p 1 g 1} & H_{p 1 g 2} & H_{p 1 \hat{g} 1} & H_{p 1 \hat{g} 2} \\ H_{p 2 g 1} & H_{p 2 g 2} & H_{p 2 \hat{g} 1} & H_{p 2 \hat{g} 2}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}G_{1}(j \omega) \\ G_{2}(j \omega) \\ \hat{G}_{1}(j \omega) \\ \hat{G}_{2}(j \omega)\end{array}\right\}\end{align}\)       (24)

3. 결과 및 고찰

3-1. 등방성 회전체

해석에 고려한 회전체는 무게 중심이 Fig. 1과 같이 좌측 베어링에 가까운 특징을 가진다. 이러한 회전체에 대해 회전체를 지지하는 베어링의 수직, 수평 방향 강성이 동일한 등방성 회전체를 가정하여 해석을 수행하였다. 해석에 사용된 베어링 강성은 k_yy = k_zz = 10⁶ N/m이다.

Fig. 2는 예제로 선정된 등방성 회전체에 대한 Campbell 선도와 60,000 rpm에서 계산된 모드 형상을 나타낸다. Campbell선도상의 13,400 rpm 부근에서 나타난 모드는 Fig. 2(b)에서 볼 수 있듯이 병진 운동이 지배적인 모드로, 회전속도 변화에 따라 고유진동수 변화는 적게 나타났다. 그러나, 30,000 rpm 이상에서 나타나는 모드들은 Fig. 2(b)에서 볼 수 있듯이 코니컬 운동이 지배적인 모드로 자이로스코픽 효과에 의해 회전속도 증가에 따라 고유진동수가 변하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 2. Campbell diagram and mode shape for isotropic rotor.

Fig. 3은 회전속도가 60,000 rpm일 때 계산된 실수 좌표계 주파수 응답 함수, H_y1y2와 방향성 주파수 응답 함수, H_p1g2이며, Fig. 4는 회전속도 변화에 따른 불균형 질량 응답을 나타낸다. Fig. 3에 나타난 피크 값들에는 Fig. 2(a)의 Campbell선도에서 계산된 모드들과 매칭시키기 위해 번호를 부여하였으며, 전방 모드(Forward mode)는 F로, 후방 모드(Backward mode)는 B로 표기하였다. 실수 좌표계 기반의 주파수 응답 함수는 Fig. 3(a)에서 볼 수 있듯이 응답의 크기가 식 (9)를 통해 확인 했듯이 양, 음의 주파수에서 대칭으로 나타났다. 또한, Fig. 2(a)의 Campbell 선도에서에서 회전속도 60,000 rpm에서 계산된 모든 고유진동수들에서 피크 값들이 나타났다. 그러나, Fig. 3(b)의 방향성 주파수 응답 함수에서는 응답의 크기가 양, 음의 주파수 영역이 다르게 나타났다. 또한, 양의 주파수 영역에서는 실수 주파수 응답함수 Fig. 3(a)에서 2B로 표기된 모드(삼각형 심볼로 표기)가 나타나지 않았다. Fig. 3(a)에서 2B로 표기된 양의 주파수 영역에 존재하는 후방 모드는 물리적으로는 존재하지 않는 모드로서, Fig. 4의 불균형 질량 응답 해석 결과에서 볼 수 있듯이 가진에 의한 응답이 나타나지 않았다. 즉, Fig. 2(a)의 Campbell 선도에서 1X가진력선과 2B 고유진동 수선이 만나는 삼각형 심볼에 해당하는 회전속도에서 공진이 발생하지 않았다. 또한, 방향성 주파수 응답 함수에서는 음의 주파수 영역에서 실수 주파수 응답 함수 2F 모드(삼각형 심볼로 표기) 또한 나타나지 않았다. 따라서, Fig. 3(a)의 실수 좌표계 기반의 주파수 응답함수에 나타난 2B, 2F 모드들은 물리적으로 존재하는 모드가 아니라, 실수 좌표계 사용으로 양, 음의 주파수에서 응답이 대칭으로 나타나기 때문에, 음의 주파수에 존재하는 2B 모드와 양의 주파수에 존재하는 2F 모드가 반대쪽 주파수로 투영되어 나타나는 Conjugate 모드인 것을 확인할 수 있다. 그러나 Fig. 3(b)의 방향성 주파수 응답 함수에서는 이렇게 물리적으로 존재하지 않는 Conjugate 모드들이 나타나지 않으며, 양의 주파수 영역에서는 전방 모드만, 음의 주파수 영역에서는 후방 모드만 나타나는 것을 확인할 수 있다. 이렇게 등방성 회전체의 경우 방향성 주파수 응답 함수를 이용하면, 물리적으로 존재하지 않는 Conjugate모드를 나타나지 않게 할 수 있으며, 양, 음의 주파수 영역에서 각각 전방, 후방 모드가 분리되어 나타나는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 3. Normal and directional frequency response function at 60,000 rpm.

Fig. 4. Unbalance response for isotropic rotor.

3-2. 비등방성 회전체

Table 1에서 기술한 로터에 대하여 회전체를 지지하는 베어링의 수직, 수평방향 강성이 동일하지 않은 비등방성 회전체를 가정하여 주파수 응답 함수를 계산하였다. 해석에 사용된 베어링 강성은 수평 방향 강성이 수직방향 강성보다 10% 큰 경우로, k_yy = 1.1 × 10⁶N/m, k_zz = 10⁶ N/m인 경우에 대해 해석을 수행하였다.

Fig. 5는 예제로 선정한 비등방성 회전체에 대한 Campbell 선도와 60,000 rpm에서 계산된 모드 형상을 나타낸다. 등방성 회전체와 유사하게 병진 운동이 지배적인 모드가 먼저 나타났으며, 코니컬 운동이 지배적인 모드가 30,000 rpm 이상에서 나타났다.

Fig. 5. Campbell diagram & mode shape for unisotropic rotor.

Fig. 6은 회전속도가 60,000 rpm 일 경우 실수 좌표계에서 계산된 주파수 응답 함수, H_y1y2와 방향성 주파수 응답 함수, H_p1g2를 나타낸다. 또한, Fig. 7은 비등방성 회전체에 대한 불균형 질량 응답 해석 결과를 나타낸다. 실수 좌표계에서 계산된 주파수 응답 함수는 Fig. 6(a)에서 볼 수 있듯이 비등방성 회전체에서도 응답의 크기가 양,음의 주파수영역에서 대칭으로 나타났으며, Fig. 5(a)의 Campbell선도에서 계산된 모든 고유진동수에서 응답이 유사한 크기로 나타났다.

Fig. 6. Normal and directional frequency response function at 60,000 rpm.

Fig. 7. Unbalance response for isotropic rotor unisotropic rotor.

그러나, Fig. 6(b)의 방향성 주파수 응답 함수에서는 양, 음의 주파수에서 응답이 다르게 나타났으며, 각 모드에서의 응답의 크기 또한 다르게 나타났다. 특히, 양의 주파수 영역에 나타난 2B 모드의 경우 다른 모드들 보다 응답의 크기가 상대적으로 작게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 이렇게 방향성 주파수 응답 함수에서 나타난 모드별 크기는 Fig. 7의 불균형 질량 응답에서 큰 진동이 나타나는 정방향 코니컬 모드(2F)와 상대적으로 적은 진동이 나타나는 역방향 코니컬 모드(2B) 응답 크기와 동일하게 나타나는 것을 확인할 수 있다. Fig. 6(a), (b)에서 삼각형 심볼로 표기된 2B, 2F모드들은 회전체의 비등방성 때문에 나타나는 모드로서 3.1절에 기술한 등방성 회전체에서는 나타나지 않는 모드들이다. 따라서 본 예제에서 선정한 수직, 수평방향 강성 차이가 10% 정도인 비등방성이 적은 회전체에서는 Fig. 7에서 확인할 수 있듯이 2B, 2F 모드들은 가진에 의한 진동이 적게 나타나는 특징을 가진다. 즉, 방향성 주파수 응답 함수에서는 가진에 의한 진동이 크게 발생하는 모드와 적게 발생하는 모드를 주파수 영역에서 명확하게 구분할 수 있다. 그러나, Fig. 6(a)의 실수 좌표계에서 계산된 주파수 응답함수에서는 모든 모드에서 응답의 크기가 유사하게 나타나기 되기 때문에 가진에 의한 진동이 적게 나타나는 모드들을 구분할 수 없음을 확인할 수 있었다. 따라서, 방향성 주파수 응답 함수를 이용하면 등방성 회전체의 경우 수학적으로만 존재하는 Conjugate 모드를 구분할 수 있으며, 비등방성 회전체에서는 가진에 의한 응답이 강하게 나타나는 모드와 약하게 나타나는 모드를 구분할 수 있음을 확인할 수 있다.

4. 결론

본 연구에서는 방향성 주파수 응답 함수를 이용하여 강체 로터에 대한 회전체 동역학 해석을 수행하였으며, 해석 결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 얻었다.

실수좌표계를 기반의 주파수 응답 함수는 양, 음의 주파수에서 응답의 크기가 동일하게 나타나며, 가진에 의해 큰 진동이 발생하는 모드와 적은 진동이 발생하는 모드를 구분할 수 없다.

방향성 주파수 응답 함수는 등방성 회전체에서 수학적으로만 존재하는 Conjugate 모드를 구분할 수 있으며, 비등방성 회전체에서 진동이 크게 발생하는 모드와 적게 발생하는 모드를 구분할 수 있다.