Resonance Scattering Characteristics of Multi-layered Dielectric Gratings under Conical Incidence

원추형 입사에서 다층 유전체 격자구조의 공진 산란특성

Abstract

Applying rigorous modal transmission-line theory (MTLT), the properties of resonant diffraction gratings under conical light incidence is investigated. The mode vectors pertinent to resonant diffraction under conical mounting vary less with incident angle than those associated with diffraction gratings in classical mounting. Furthermore, as the evanescent diffracted waves drive the leaky modes responsible for the resonance effects, the conical mounting imbues diffraction gratings with larger angular tolerance than their classical counterparts. Based on these concepts, the angular-spectral and wavelength-spectral performance of resonant diffraction gratings in conical and classical mounts by numerical calculations with spectra found for conical incidence are quantified. These results will be useful in various applications demanding resonant diffraction gratings that are efficient and physically sparse.

정확한 모드전송선로 이론 (MTLT)을 적용하여 원추형 광 입사에서 공진 회절격자의 특성을 조사하였다. 원추형 구성에서 공진 회절과 관련된 모드 벡터가 전형적이 구조의 회절격자와 관련된 것보다 입사각에 따라 작게 변한다는 것을 보여주었다. 더욱이, 소멸하는 회절파가 공진 효과를 담당하는 누설 모드를 구동함에 따라, 원추형 장착은 기존 회절격자보다 더 큰 각도 허용 오차를 회절격자에 부여함을 보였다. 이에 기초하여, 수치 계산을 통하여 원추형 입사에서 발견된 스펙트럼을 사용하여, 원추형 및 클래식 구성에서 공진 회절격자의 각도-스펙트럼과 파장-스펙트럼 성능을 정량화하였다. 이러한 결과는 효율적이고 물리적으로 희소한 공진 회절격자를 요구하는 다양한 응용 분야에서 유용할 것이다.

Ⅰ. 서론

주기적인 회절격자의 광학 응답은 입사되는 파의 입사각에 크게 의존한다는 것은 잘 알려진 사실이다. 예를 들어, 단순한 1차원 격자의 경우 격자 벡터가 입사 평면 (POI: Plane of Incidence)에 있으면 두 개의 직교 편광 상태가 분리되고, 생성된 모든 회절 차수가 동일한 평면상에 존재한다. 이 기하학적 특성은 s-편파(POI에 수직인 전기장 벡터: TE 모드)에 대하여, 그리고 직교 p-편파 (TM 모드)에 대하여 독립적으로 모든 전파 모드에 대한 회절 효율을 직접 얻을 수 있도록 허용한다. 이와같은 배열을 전형적인 회절구조라고 한다. 그러나, 일반적인 경우는 전파하는 회절 차수의 모드 벡터가 원추형 구조로 입사되는 원추형 회절구조이다.

이러한, 원추형 입사에서 공진 격자의 특정 속성에 대한 많은 논문이 작성되어왔다. 예를 들어, 원추형 입사에서 1D 격자에 대한 일반적인 회절 문제는 Moharam et al.에 의하여 결합모드 분석법 (Coupled-Mode Analysis)에 의하여 분석되었고^[1], Peng과 Morris는 수직 입사로 편광된 모드의 협대역 응답을 정량화하는 2D 공진 격자를 공식화하였다^[2]. 또한, Fehrembach와 Sentenac은 편광된 모드의 필터링 조건을 강조하는 2D 장치에서 공진격자의 고유모드를 분석하였다^[3]. 이러한 작업과 대조적으로 Grinvald et al.은 원추형과 전형적인 편광 독립 필터에 대하여 논의하고 비교했으며, 직교 편광 상태에 대하여 이론과 합리적으로 일치하는 스펙트럼 실험 측정을 제공하였다^[4]. 이 모든 작업에서 주요 목표는 편파된 모드의 독립적인 필터링이었으며, 작은 공진 대역폭 영역에서 다양한 이론과 실험으로 달성되었다^[5].

이 논문에서는 원추형 입사에서 하위 파장 주기성을 갖는 공진 회절격자의 특성을 고려하였으며, 전형적인 입사 (격자 벡터에 평행한 POI: 그림 1에서 ∅_c = 0인 경우)와 원추형 입사 (격자 벡터와 임의의 각도로 구성된 POI: 그림 1에서 ∅_c ≠ 0인 경우)를 비교하여 제안한 격자구조에 대한 반사율의 파장과 각도 변동성을 정량화하였다. 즉, Wood의 비정상적인 효과에 의존하는 원추형으로 입사하는 모드의 GMR 현상을 평가하고 공진/산란 성질을 결정하는 누설파 현상을 살펴보았다. 특히 정확한 모드전송선로 이론(MTLT)^{[6, 7]}을 사용하여 high-contrast grating (HCG)으로 구성된 주기적인 전송로의 내/외부에서 발생하는 광학적 특성을 분석하였다.

그림 1. 다층 유전제 격자구조에서 원추형으로 입사되는 평면 파의 구성도.

Fig. 1. Schematic configuration of plane-wave under conical incidence at multi-layered dielectric grating.

Ⅱ. 격자구조의 분산특성

일반적으로, 전형적인 또는 원추형 회절격자 구조에서 입사각의 변화에 따른 회절특성의 간단한 비교는 기본 모드의 회절파와 관련된 공진 누설 모드를 기반으로 연구한다. 이와 같이, 산란 모드와 유전체 격자에 의해 유도된 모드 사이의 관계를 탐구하기 위하여, 그림 1과 같이 매우 두꺼운 기판과 cover 영역 사이에 위치하는 주기 ⋀의 전형적인 적층 구조를 고려하였다. 고려된 다층 격자구조는 n_p1 = 2.0, \(\begin{aligned}n_{p 2}=\sqrt{3.61}\\\end{aligned}\) 의 격자로 구성된 두께 t_g = 0.15 μm 의 격자 층과 n_f = 2.0, \(\begin{aligned}n_{s}=\sqrt{2.31}\end{aligned}\)의 굴절률을 갖는 두께 t_f = 0.05 μm 의 film 층과 기판으로 구성되었다. 또한, 격자주기는 ⋀ = 0.39 μm로 aspect ratio는 d₁/⋀ = 0.6 으로 선택하였다. 수치해석의 단순화를 위하여 단일 균일 film과 직사각형 격자로 구성된 2 차원 격자구조에서 POI에 대하여 TE 또는 TM 모드인 파가 입사하는 경우를 고려하였다.

만일, POI가 그림 1과 같이, 입사각 θ와 방위각 ∅에 의존하여 변한다면, 입사되는 정규화 전계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(\begin{aligned}\vec{E}_{i n c}=\vec{u} \exp \left(-j \vec{k}_{i n c} \cdot \vec{r}\right)\\\end{aligned}\)       (1)

여기서, 입사 필드의 정규화 편광 벡터는

\(\begin{aligned}\vec{u}=\left[\begin{array}{l}u_{x} \\ u_{y} \\ u_{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos \psi \cos \theta \cos \phi-\sin \psi \sin \phi \\ \cos \psi \cos \theta \sin \phi+\sin \psi \cos \phi \\ -\cos \psi \sin \theta\end{array}\right]\\\end{aligned}\)       (2)

와 같고, 입사 필드의 파동 벡터는

\(\begin{aligned}\vec{k}_{i n c}=\left[\begin{array}{l}k_{x 0} \\ k_{y 0} \\ k_{z 0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}k_{o} n_{c} \sin \theta \cos \phi \\ k_{o} n_{c} \sin \theta \sin \phi \\ k_{o} n_{c} \cos \theta\end{array}\right]\\\end{aligned}\)       (3)

와 같이 정의할 수 있다.

그때, 주기적인 격자구조의 누설파 모드를 지배하는 Floquet 모드들의 전파상수는 아래와 같은 수식으로 표현된다.

\(\begin{aligned}k_{x, q}=\left(\beta_{0}+\frac{2 q \pi}{\Lambda}\right)+i \alpha\\\end{aligned}\)       (4)

여기서, 공간 고조파의 차수 q=±1, ±2, ⋯ 와 같다. 이 수식은 그림 2에서 보듯이, 양(+)의 기울기를 갖고 순방향(+x)으로 전파되는 모드의 공간 고조파와 음(-)의 기울기를 갖고 역방향(-x)으로 전파하는 동일한 특성의 공간 고조파들에 의존하는 Brillouin 다이어그램을 구성한다. 그리고, 양/음의 기울기를 갖는 교차점에서는 누설파 형태의 stop-band가 생성된다.

그림 2. 다층 유전제 격자구조에서 전송되는 모드들의 분 산곡선:.

Fig. 2. Dispersion curves for modes guided at multi-layered dielectric grating.

지금부터 그림 1과 같은 HCG 격자구조에 입사각 θ와 방위각 ∅에 의존하는 평면파가 입사한다고 가정하자. 만일 원추형으로 입사된 모드가 수식 (3)에서 보듯이, x-축으로

\(\begin{aligned}k_{x 0}=\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right) n_{c} \sin (\theta) \cos (\phi)\\\end{aligned}\)       (5)

와 같은 전파상수에 의존하여 변한다면, 격자 층은 입사 모드를 산란시켜 아래와 같은 전파상수를 갖는 회절 성분의 모드들을 생성한다.

\(\begin{aligned}k_{x r}=k_{x 0}+\frac{2 r \pi}{\Lambda}\\\end{aligned}\)       (6)

만일 λ가 변하면, 식 (5)의 k_x0는 파장에 따라 변하며 그림 2에서 보듯이 점선으로 나타내어진다. 이 점선의 기울기는 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{aligned}\frac{k_{x 0} \Lambda / \pi}{\Lambda / \lambda}=2 n_{c} \sin (\theta) \cos (\phi)\\\end{aligned}\)       (7)

그러므로, 입사각 θ와 방위각 ∅가 0부터 π/2까지 변할 때, 이 점선은 세로 좌표에서 cover 층의 cutoff인 좌표 사이에서 회전한다. 그림 2에서 보듯이, 파장의 변화에 따른 원추형 입사된 모드의 전파상수 k_x0의 변화를 나타내는 점선은 q=-1에 대한 순방향 고조파 곡선과 q=-2에 대한 역방향 고조파 곡선과 교차한다. 이러한 교차점에서, 입사 평면파의 회절 차수는 각각 +x 또는 -x를 따라 전파하는 누설파의 공간 고조파와 위상 정합된다. 그림 1에서 보듯이, r=0 차수의 반사파가 순방향(+x)을 따라 진행하는 누설파의 q=-1 고조파와 정렬되어 있음을 보여 주고 있으며, r=-1은 역방향(-x)을 따라 진행하는 누설파의 q=-2 고조파와 정렬되어 있음을 보여 준다.

이와 같은 물리적 특성에 기초하여, 원추형으로 입사된 모드의 전파상수 k_x0가 입사각 θ와 방위각 ∅의 변화에 따라 어떻게 변하는지 수식 (7)을 이용하여 자세하게 분석하였다. 그림 2(a)에서 보듯이, POI에 대하여 TE 모드 형태 (TE_z 모드)로 입사한 파는 θ=38º에서 방위각 ∅가 0º인 경우, Wood의 비정상적인 효과에 의존하는 GMR 현상은 녹색의 점선과 q=-1,-2 고조파와 교차하는 두 지점에서 발생하며, 두 지점 사이의 파장변화는 ∆λ₀와 같이 정의할 수 있다. 방위각 ∅가 10º 로 증가함에 따라, 파랑색의 점선에서 보듯이, 교차점은 거의 stop-band의 근처에서 발생하며, 그때 두 지점 사이의 파장변화는 ∆λ₀ 보다 줄어든 ∆λ₁₀와 같다. 이와 같은 현상은 수식 (7)로부터 직관적으로 확인할 수 있다. 즉, 수식 (7)을 구성하는 cos(∅)의 방위각 ∅가 증가함에 따라 점선의 기울기가 증가하기 때문에 나타나는 현상이다. 다음으로, 방위각 ∅가 15º까지 증가하였을 경우, 빨강색 점선에서 보듯이, 교차점 사이의 파장변화는 ∆λ₁₀로부터 다시 증가하여 ∆λ₁₅과 같이 발생하였다. 이때, 두 교차점에서 생성되는 GMR 현상은 ∅=0º와 10º에서 발생하는 GMR 현상과 다르게 stop-band보다 낮은 파장에서는 q=-2에, 높은 파장에서는 q=-1에 의존하여 발생함을 보였다.

같은 개념으로, 그림 2(b)에서 보듯이, POI에 대하여 TM 모드 형태 (TM_z 모드)로 입사한 광 신호도 TE_z 모드와 유사한 ∆λ₅ < ∆λ₀ < ∆λ₈와 같은 파장변화 특성을 나타내었다. 단지, TE_z 모드 보다 방위각 ∅의 변화에 매우 민감하게 반응하는 현상을 보였다.

Ⅲ. 격자구조의 GMR 현상 분석

입사파와 격자 구조 사이의 GMR 현상은 반사 및 투과 영역에서 발생하는 회절 차수의 진폭에 크고 급격한 변화를 일으킨다. 이에 대한 특성을 확인하기 위하여, θ = 38º인 TE_z 모드와 θ = 36º인 TM_z 모드에서 파장 λ 의 변화에 따른 GMR 현상 (Wood의 이형 현상)을 정확한 MTLT를 사용하여 수치 해석한 결과가 그림 3과 4에 도시되어 있다. 그림 3에서 보듯이, TE_z 모드와 TM_z 모드가 cover 층으로부터 입사된 경우 두 개의 GMR 현상이 그림 2에서 언급한, 공간 고조파 q=-1,-2들과의 교차점에서 발생함을 알 수 있다. 더욱이, TE_z 모드의 경우, 방위각 ∅=0º와 10º에서 발생하는 GMR 현상 사이의 파장변화는 그림 2(a)의 결과와 같이 ∆λ₀ ≈ 5.5 nm>∆λ₁₀ ≈ 2.2 nm와 같이 발생하였다. 또한, 그림 3(b)에서 보듯이, TM_z 모드의 경우에도 TE_z 모드와 유사하게, ∆λ₀ ≈ 1.57 nm>∆λ₁₀ ≈ 1.23 nm의 특성을 보였다.

그림 3. 원추형으로 입사된 기본 (a) TEz (ψ = 90º)와 (b) TM_z (ψ = 0º) 혼성 모드에 대한 파장의 변 화에 따른 반사율.

Fig. 3. Reflectivity along variation of wavelength for fundamental (a) TEz (ψ = 90º), and (b) TMz (ψ = 0º) hybrid mode incident conically.

그림 4. 원추형으로 입사된 기본 (a) TEz와 (b) TMz 혼성 모드에 대한 입사 각도의 변화에 따른 반사율.

Fig. 4. Reflectivity along variation of incident angle for fundamental (a) TEz, and (b) TMz hybrid mode incident conically.

다음으로, 각각 λ = 0.1441 μm, 0.4594 μm 인 TE_z 모드와 TM_z 모드에서 파장 θ 의 변화에 따른 GMR 현상을 분석한 그림 4에서 보듯이, TE_z 모드는 방위각 ∅가 증가함에 따라 GMR 현상이 발생하는 입사각의 각도가 증가하였으며, 두 GMR 현상 사이의 각도변화 ∆θ도 증가함을 나타내었다. 즉, ∅=0º에서는 ∆θ ≈ 3.06º이었으며, ∅=0º에서는 ∆θ ≈ 3.63º와 같이 생성되었다. 또한, 이와 유사한 회절특성이 TM_z 모드에서도 발생하였다. 특히, 방위각 ∅의 변화에 따른 민감한 파장변화와 다르게 각도변화는 미세하였다.

같은 맥락으로, 수직에 가까운 각도로 입사된 모드들의 GMR 현상은 상당한 실질적인 관심을 갖는 회절특성을 보였다. 그림 5에서 보듯이, 그림 1의 HCG 격자구조는 입사각 θ = 0º에 대하여 대칭으로 형성되는 band-pass 필터특성의 스펙트럼을 보였다. 특히, 방위각 ∅가 증가함에 따라 band-pass 필터의 통과대역에서 발생하는 ripple pattern들이 현저하게 요동치는 특성이 나타났다. 결국, HCG 격자구조를 사용하여 광학 필터를 설계할 때, 방위각 ∅는 0º로 설정하고, 오직 입사각 θ와 파장에 의존하는 광학 변수들을 고려하여 설계해야 한다는 것이다. 더욱이, TE_z 모드가 TM_z 모드 보다 더 우수한 성능의 band-pass 필터특성을 나타내었다.

그림 5. 반사 표면에 직각에 근사하게 입사된 (θ ≈ 0º) 0-차 모드의 반사율 변화도.

Fig. 5. Reflectivity variation of 0th-order mode incident around normal incidence at reflected surface.

입사각 θ와 파장 λ의 변화에 따른 0-차 모드의 반사율 변화를 자세하게 분석하기 위하여, 반사율 분포도를 수치해석 하였다. 그림 6에서 보듯이, stop-band를 제외한 파장에서 반사율 피크 값 (밝은 yellow color로 표시)들이 잘 발생하고 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 그림 4에서 이미 설명한 내용과 같이, 2 지점의 입사각에서 GMR현상이 발생함을 보여주고 있다. 더욱이, 방위각 ∅가 증가함에 따라, 두 모드에서 형성되는 stop-band의 간격이 줄어들었으며, GMR 현상이 발생하는 2 지점의 입사각 크기가 다소 증가하는 특성이 나타났다.

그림 6. 입사각과 파장의 변화에 따른 0-차 모드의 반사율 분포도.

Fig. 6. (Color Online) Reflectivity map of 0th-order mode as function of angle of incidence and wavelength.

이와 같은 반사율 분포도와 함께, 격자비율과 파장의 변화에 따른 0-차 모드의 반사율 분포도를 또한 분석하였다. 그림 7(a)에서 보듯이, TE_z 모드의 경우, 방위각 ∅=0º에서 격자비율의 변화에 따라 GMR 현상이 발생하는 파장이 1개, 2개 그리고 존재하지 않는 상황이 발생하였다. 더욱이, 방위각 ∅ = 10º의 경우, 격자비율이 d₁/d=0.66인 지점에서 발생하는 2개의 GMR 현상 사이의 파장변화 ∆λ가 거의 0에 근접할 정도로 작음을 보였다. 이에 반하여, 그림 7(b)에서 보듯이, TM_z 모드의 경우는 방위각 ∅=10º이고 격자비율이 d₁/d=0.66인 지점에서 GMR 현상 사이의 파장변화가 거의 0에 근접하는 특성을 보였다. 또한, 방위각 ∅가 증가함에 따라, 2개의 GMR 현상이 발생하는 격자비율의 범위가 현저하게 줄어들었다.

그림 7. 격자비율과 파장의 변화에 따른 0-차 모드의 반사율 분포도.

Fig. 7. (Color Online) Reflectivity map of 0th-order mode as function of aspect ratio and wavelength.

마지막으로, TE_z와 TM_z 모드에 대한 0-차 모드의 전계(|E_y|)와 자계(|H_y|) 분포도를 수치해석 하였다. 그림 8에서 보듯이, 공진을 발생시키는 HCG 격자구조 사이의 slit 주변에 강한 전기장과 자기장 구속이 존재하였다. 즉, 높은 Q-factor와 함께 전계, 자계 강도의 최대 향상 계수가 입사된 전계, 자계의 강도와 비교하여 각각 약 25배, 약 70배 정도 되었다. 일반적으로, 전계, 자계 향상 효과는 도파관 공진의 자연스러운 결과라 할 수 있다.

그림 8. TEz와 TMz 모드에 대한 0-차 모드의 전계와 자계 분포도.

Fig. 8. (Color Online) The electric and magnetic field distribution for TEz and TMz modes.

IV. 결론

정확한 MTLT를 사용하여 HCG 격자구조에 원추형으로 입사된 TE_z 모드와 TM_z 모드의 공진 산란 효과 (Wood의 이형 현상)에 의존하는 평면파의 GMR 현상을 분석하였다. 분석 결과, 누설파의 공간 고조파와 위상 정합되는 회절 차수에서 GMR 현상에 기인한 강제 공진 특성이 발생함을 확인하였다. 또한, 다양한 파장, 입사각 그리고 방위각이 매개 변수로 사용되었을 때 나타나는 GMR 현상의 예를 제시하였다. 더욱이, 이러한 원추형으로 입사되는 유형의 변화가 TE_z 모드와 TM_z 모드 사이에서 상호 유사한 효과를 나타냄을 자세하게 설명하고 그림으로 보여주었다.