Stress Singularity Behaviour in the Frictional Complete Contact Problem of Three Bodies

세 물체 간 마찰 완전 접촉 문제의 응력 특이성 거동

Abstract

This study investigates the stress singularity that occurs at the contact edge of three bodies in a frictional complete contact. We use the asymptotic analysis method, wherein we constitute an eigenvalue problem and observe the eigenvalue behavior, which we use to obtain the order of the stress singularity. For the present geometry of three bodies in contact, a contact between a cracked indenter and half plane is considered. This is a typical geometry of the PCMI problem of a nuclear fuel rod. Thus, this paper, specifically presents the characteristics of the PCMI problem from the perspective of stress singularity. Consequently, it is noted that the behavior of the stress singularity varies with the difference in the crack angle, coefficient of friction, and material dissimilarity, as is observed in a frictional complete contact of two bodies. In addition, we find that the stress singularity changes essentially linearly with respect to the coefficient of friction, regardless of the variation in the crack angle and material dissimilarity. Concurrently, we find the order of singularity to be 0.5 at a certain coefficient of friction, irrespective of the crack angle, which we also observe in the crack problem of a homogeneous and isotropic body. The order of singularity can also exceed 0.5 in the frictional complete contact problem of three bodies. This implies that the propensity for failure when three bodies are in frictional complete contact can be even worse than that in case of a failure induced by a crack.

Nomenclature

E : Elastic modulus (탄성계수)

K_m : Stress intensity factors (응력확대계수; m 은 손상모드)

\(f_{ij}^{m}(\theta)\): Spatial variation of stress (응력 분포 각도 함수; m 은 손상모드)

r, θ : Polar coordinates (극좌표계)

Φ : Stress potential (응력 함수)

α, β : Dundurs parameters (Dundurs 상수)

κ : Kolosov constants (Kolosov 상수)

λ : Eigenvalue (고유치)

µ : Coefficient of friction (마찰계수)

ν : Poisson’s ratio (프와송 비)

σ_ij : Stress components (응력 성분)

φ : Angle of crack (균열 각도)

 

1. 서 론

Williams[1]에 의해 날카로운 홈 끝단의 노치를 갖는등방성 단일 물체의 노치 부근 응력장 및 응력 특이성(stress singularity)을 구할 수 있는 점근 해석(asymptoticanalysis) 방법이 개발되어 있다. 이때 유도된 응력 함수(Airy Stress Potential)을 이용하여 반무한 평판에 날카로운 모서리를 갖는 쐐기(wedge)가 응착 접촉(adhesive contact)하고 있는 완전 접촉 문제(complete contact problem) 에서 접촉 경계 부근 응력장 및 응력 특이성을 관찰하는 연구가 많이 수행되어 왔으며, 이는 프레팅 피로손상 문제의 중요한 분석도구이다[2-5].

이 문제는 고체역학적 해석에서 중요한 시사점을 제공하고 있다. 즉, 대부분의 응력 해석 문제에서는 어떤 특정한 하중 상태에 대하여 수행하는 것이 일반적이나,점근 해석 방법은 선형 대수학을 이용하여 물체의 형상 및 탄성적 성질로만 구성된 고유치 문제(eigenvalue problem) 를 구성하여 해결한 후 하중의 크기에 따른 가중치(scaling factor)를 적용함으로써 실제의 응력 값을 구할 수 있도록 하는 것이므로 상당히 유용한 해석 도구가 된다는 것이다.

또 한편으로는 기계가공에서 일반적으로 제거하는 날카로운 모서리를 능동적으로 고려함으로써, 비록 가공에 의해 부드러운 모서리를 갖는 물체라 하더라도 사용 중 발생할 수 있는 접촉부의 마멸이나 균열 손상 등에 의해 다시 날카로운 모서리를 갖게 되는 경우의 특이 응력장(singular stress field)을 해석할 수 있도록 하였다는 점에서도 그러하다.

이때 완전 접촉 문제의 해석을 위한 기하학적 형상으로서 Fig. 1과 같이 두 개의 물체가 접촉하고 있는 경우를 고려하는 것이 일반적이다. 그러나 Williams가 유도한 응력 함수를 완전 접촉 문제에 적용할 때 본질적으로 접촉하고 있는 물체의 개수에는 무관하다. 따라서 세 개 이상의 물체가 접촉하고 있는 경우를 생각할 수 있으나 이러한 문제는, 본 논문의 저자가 발견한 바로는, 고유치(즉 응력 특이성)를 구하는 응용 프로그램의 개발[6]에서 다루어진 적이 있을 뿐, 그 외의 연구결과는 극히 적다고 사료된다.

그러나 실제 문제에서 세 개 물체의 접촉을 발견할 수 있는데, 그 중 하나의 예로서 가압경수로에서 연소되는 핵연료봉의 우라늄 소결체와 이를 둘러싸고 있는 지르코늄합금 재질인 피복관과의 접촉 상황을 들 수 있다(이를 PCMI-Pellet Cladding Mechanical Interaction이라 한다). Fig. 2에 PCMI의 특징적인 형상을 보여 주고 있는데, 이것은 세라믹 재질인 소결체가 원자로 내의 연소 중 날카로운 모서리를 갖는 조각으로 나뉘고 동시에 열및 조사(irradiation)에 의해 팽창을 하며 금속 재질인 피복관의 내면을 바깥쪽으로 변형되도록 하는 현상이다. 이때 대부분의 경우 날카로운 모서리의 소결체와 피복관이 닿는 곳에서 피복관의 균열 손상이 발견된다.

Fig. 2에서 알 수 있듯이 PCMI문제는 두 개의 서로 다른 탄성적 성질을 갖는 세 물체(즉 두 개의 소결체 조각과 하나의 피복관)가 완전 접촉의 형태로 닿아 있는 경우이다. 이때 피복관의 파손을 분석하기 위해서 소결체조각의 날카로운 모서리와 닿는 부분의 피복관 응력을 해석할 필요가 있다. 한편, 조각난 소결체가 팽창하며 피복관 내면을 밀 때, 그와 동시에 접촉면에서 원주 방향으로 미끄럼이 발생하게 되므로, PCMI 문제는 세 물체의 마찰 완전 접촉 문제로 정의할 수 있다.

점근 해석을 통해 날카로운 접촉 경계에서의 응력이 집적되는 거동은 응력 특이성의 지수(order of stress singularity)와 직접적으로 관련이 있다. 따라서, 완전 접촉문제에서 접촉부 경계 부근의 집적된 응력장을 파악하기 위해서는 우선 응력 특이성 지수를 구하여야 한다. 이때 응력 특이성은 앞서 서술한 고유치 문제의 해석을 통하여 계산할 수 있다.

한편 탄성파괴역학으로부터 동종 등방성 물체에 존재하는 균열 선단의 응력 특이성 지수는 파괴 모드에 무관하게 0.5(즉 r-1/2 , 이때 r은 균열 선단으로부터의 거리)임을 알고 있다. 대개의 경우, 물체의 접촉(여기서는 완전접촉으로 한정한다)에 의한 손상에 비해 균열에 의한 파손의 가능성이 더 높을 것으로 추정하고 있다. 따라서 만일 응력 특이성 지수가 0.5보다 큰 완전 접촉 문제가 있다면 접촉에 의한 손상이 균열에 의한 파손에 비해 구조건전성 관점에서 더 위험한 것으로 판단할 수 있다. 본 연구는 그러한 접촉 문제가 존재할 수 있을까 하는 의문과세 개의 물체가 접촉하는 PCMI 문제에서 응력 특이성은 어떻게 거동하게 되는지를 알아보기 위해 시작하였다.

이를 위하여 본 논문에서는 세 물체가 접촉하는 경우의 점근 해석 방법에 대한 이론을 파악하고 이를 이용하여 구성된 고유치 문제의 고유치 및 고유 함수 해를 구하였다. 접촉 물체의 탄성적 성질로는 우선 핵연료봉PCMI 문제를 분석하기 위해 우라늄 소결체와 지르코늄합금 피복관 재료의 기계적 성질을 사용하였으며, 특히 이때의 고유치 거동 특성에 대해 관찰하고 고찰하였다. 또한 관찰된 특성이 접촉 물체 재료의 상이함에 따른 영향도 분석하였다. 한편, 본 논문은 세 물체의 완전 접촉 상태에서 발생할 수 있는 재료의 파손에 대해 이론적 배경을 제공하는 데에 활용할 수 있을 것이다.

 

Fig. 1. General complete contact configuration of a sharp
wedge and a half plane. 

 

Fig. 2. Typical view of the PCMI.

 

2. 이 론

 

2-1. 완전 접촉 문제에서의 모서리 응력 점근 해

날카로운 노치 끝단을 갖는 경우나 날카로운 모서리를 갖는 물체에 의한 접촉에서 물체의 파손을 갖고 오는 것은 노치 끝단 부근 또는 접촉 끝단 부근에서 집적(intensification)되는 높은 응력이다. 이때 그 위치에서의 응력 특이성의 지수를 구하는 것이 점근 해석 방법의 요점이 된다. 응력 특이성 지수와 이로부터 구할 수 있는 응력의 분포를 이용하여 점근 해석을 통하여 구하게 되는 응력장의 일반적 형태는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\(\sigma_{i j}=\sum_{m} K_{m} r^{s_{m}} f_{i j}^{m}(\theta)+\text { Bounded terms }\)        (1)

식 (1)에서 σ_ij는 응력 텐서를 나타내고(i,j = r, θ, r, θ는 노치 끝단 또는 모서리 끝단을 원점으로 하는 극좌표계, 즉 r은 원점으로부터의 거리, θ는 원점을 통과하는 임의의 기준선으로부터의 각도), 는 물체 내부의 응력장 분포를 나타내는 θ만의 함수, s는 응력 특이성 지수, m은 응력 성분 또는 재료의 파손 거동에 관련된 모드이다. 이때 sm은 고유치 문제를 풀어 구하게 되는 고유치(eigenvalue)로부터 구할 수 있고, 이를 이용하여 구하게 되는 는 고유벡터(eigen vector) 또는 고유함수(eigen function)가 된다. 그리고 Km은 고유치 문제의 해로부터 실제 하중의 크기가 고려된 응력의 크기로 계산하기 위한 가중치로서 응력확대계수(stress intensity factor)라 정의된다. 그리고 마지막 “Bounded terms”는특이성을 갖지 않는 항을 의미한다.

식 (1)은 탄성파괴역학에서 사용하고 있는 균열 선단의 응력장과 동일한 개념 및 형태의 수식이 라는 것을 알수 있다. 식 (1)로부터 날카로운 노치 또는 모서리의 끝단으로 갈수록(r→ 0), 응력은 특이성을 갖는 항에 의해 지배된다는 것을 알 수 있다. 이것은 파괴역학에서 균열의 선단으로 갈수록 응력이 집적되는 거동과 완벽히 동일하다. 식 (1)로부터 날카로운 노치 또는 모서리를 갖는 물체의 구조 건전성 또는 파손 가능성은 응력 특이성의 지수, sm에 의해 판단될 수 있다. 이것이 점근 해석을 위해 구하게 되는 고유치 문제의 해가 중요한 이유이다.

 

2-2. 세 물체의 마찰 완전 접촉을 고려한 고유치 문제의
구성

세 물체의 마찰 완전 접촉 문제를 위한 기하학적 형상을 Fig. 3에 도시한다. 여기서 접촉 물체의 탄성적 성질을 정의하기 위해 핵연료봉의 PCMI 문제를 고려하였다. 즉 Fig. 3은 지르코늄합금의 피복관을 반무한 평판으로 가정하고 그 위에 접촉하는 우라늄 소결체 조각을 접촉시킨 것이다. 이에 따라 Fig. 3에서 물체 1은 지르코늄 합금의 피복관, 그리고 물체 2 및 3은 우라늄 소결체 조각을 형상화한 것이 된다. 이때 소결체 조각 사이의 각, φ를 정의하여 해석 과정에서 φ에 의한 영향을 분석할 수 있도록 하였다. 한편 피복관과 소결체 사이에는 마찰계수, µ를 정의하여 접촉면에서 미끄럼이 가능하도록 하였다.

접촉면에서의 응착 또는 미끄럼에 관계 없이, 완전 접촉문제에서 접촉부 경계의 응력장 특성을 구하는 문제는,Williams가 개발한 다음의 응력 함수를 사용할 수 있다[1].

\(\begin{aligned}&\Phi(r, \theta)=r^{\lambda+1}\{a \cos (\lambda+1) \theta+b \sin (\lambda+1) \theta+\\&c \cos (\lambda-1) \theta+d \sin (\lambda-1) \theta\}\end{aligned}\)       (2)

여기서, a-d는 문제의 응력 및 변위 경계조건으로부터 계산되는 상수이다.

한편, 식 (2)의 응력 함수와 각 응력 및 변위 성분과의 관계식은 다음과 같다[7].

\(\begin{aligned}&\sigma_{r r}=\frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \theta^{2}}, \sigma_{\theta \theta}=\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial r^{2}}, \sigma_{r \theta}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial \theta}+\frac{1}{r} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial r \partial \theta}\\&\frac{\partial u_{r}}{\partial r}=\frac{1}{2 G}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \theta^{2}}-\left(\frac{3-\kappa}{4}\right) \nabla^{2} \Phi\right]\\&\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}-\frac{u_{\theta}}{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta}=\frac{1}{G}\left[\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial \theta}-\frac{1}{r} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial r \partial \theta}\right]\end{aligned}\)       (3)

여기서 σ_ij , u_j (i,j = r,θ)는 각각 응력 및 변위 성분을 표시하며, G는 전단탄성계수, 그리고 κ는 Kolosov 상수로서 평면변형율 조건일 때 (3− 4ν), 평면응력 조건에서 (3−ν )/(1 + ν)이고 이때 ν는 프와송 비이다.

식 (2)는 동종 등방성 재료에 날카로운 노치를 갖는 문제에 적용하는 응력 함수로서, Fig. 3과 같이 세 물체의 접촉 문제에서는 각각의 물체에 별도로 적용할 수 있다. 따라서 Fig. 3에 적용하게 되는 응력 함수는 다음의 형태가 되며 이에 따른 응력 및 변위 성분도 식 (3)에서의Φ 대신 Φi (i = 1,2,3; Fig. 1에 표시된 각각의 물체를 의미한다)을 사용하면 된다.

\(\begin{aligned}&\Phi_{i}(r, \theta)=r^{\lambda+1}\left\{a_{i} \cos (\lambda+1) \theta+b_{i} \sin (\lambda+1) \theta+\right.\\&\left.c_{i} \cos (\lambda-1) \theta+d_{i} \sin (\lambda-1) \theta\right\}, \quad(i=1,2,3)\end{aligned}\)        (4)

이제 Fig. 3에 대한 경계조건을 다음과 같이 정리할 수 있다. 즉 물체 1과 2, 그리고 1과 3 사이의 접촉면에서는 수직 응력 및 수직 변위(각각 σθθ , 및 uθ )가 연속이며같고, 전단 응력(σrθ )은 수직 응력에 마찰계수가 곱해진 것과 같으며, 물체 2와 3 사이에는 균열이 존재하므로, 그경계에서는 수직 및 전단 응력이 0이 되는 무응력(traction free) 조건이 성립하도록 설정한다.

\(\begin{aligned}&\sigma_{r o}^{1}(r, 0)=-\mu \sigma_{o \rho}^{1}(r, 0), \sigma_{r d}^{2}(r, 0)=-\mu \sigma_{o \theta}^{2}(r, 0)\\&\sigma_{r o}^{\prime}(r,-\pi)=\mu \sigma_{o o}^{1}(r,-\pi), \sigma_{r \theta}^{3}(r, \pi)=-\mu \sigma_{o \rho}^{3}(r, \pi)\\&\sigma_{e d}^{2}(r, \varphi)=0, \sigma_{o o}^{3}(r, \varphi)=0, \sigma_{r \theta}^{2}(r, \varphi)=0\\&\sigma_{r \theta}^{3}(r, \varphi)=0\\&\sigma_{o d}^{1}(r, 0)=\sigma_{o o}^{2}(r, 0), \sigma_{o d}^{1}(r,-\pi)=\sigma_{o \theta}^{3}(r, \pi)\\&u_{\theta}^{\prime}(r, 0)=u^{2}(r, 0), u_{d}^{\prime}(r,-\pi)=u_{\theta}^{3}(r, \pi)\end{aligned}\)       (5)

식 (5)에 의해 12개의 동차방정식(homogeneous equation)으로 구성된 연립방정식(simultaneous equation)을 얻게 되고, 따라서 자명하지 않은 해(non-trivial solution)를 갖기 위해 각 식의 계수로 구성된 행렬식(determinant)이 0이 되어야 한다. 이로부터 λ를 미지수로 하는 다항식을 얻게 되며 결과적으로 고유치, λ의 고유치 문제가 된다. 이때 λ의 값으로 실수를 취하며 λ의 해가 복소수일 경우에는 실수부만 해로서 취한다.

식 (2) 또는 식 (4)에 나타낸 응력 함수를 이용하여 식 (3)에 나타낸 응력 성분을 계산하면 모든 응력 성분이 rλ -1의 항을 갖게 되는 것을 알 수 있다. 한편, 변위의 연속성을 위해 λ는 0이 아닌 양수가 되어야 하므로, 각각의 응력 성분이 특이성을 갖기 위한 조건은 0< λ <1이 된다. 결과적으로 고유치 문제의 해로서 0< λ <1인 λ를 구하면 특이성을 갖는 응력장을 얻게 되고 이때 응력 특이성의 지수는 (1 − λ)이 된다.

이후, λ를 원래의 고유치 문제 식 (2) 또는 식 (4)에 대입하여 각도만의 함수, fij (θ)를 구하면(이것이 고유 벡터가 된다) 고유치 문제의 해가 완성되는 것이다. 나머지식 (1)에서의 응력확대계수, Km은 실제 하중 상태를 적용하여 간단한 유한요소해석 등을 통해 쉽게 구할 수 있으며, 그 예는 참고문헌 [7]에 상세히 기술되어 있으므로 본 논문에서는 생략한다.

한편, 0 < λ <1의 구간에서 식 (5)에 나타낸 각 식의 계수들의 행렬식을 0으로 하는 λ의 개수에 대한 고려가 필요하다. 만일 2 개 이상의 λ가 0< λ <1의 구간에 존재하게 되면 λ가 작은 값(즉, 0에 더 가까운 λ)으로부터큰 값(즉, 1에 더 가까운 λ) 의 λ로 가며 응력 특이성의 지수가 줄어 들게 된다. 이때 각각의 λ는 서로 다른 손상 모드로 정의하여 분류할 수 있다. 예를 들어 0< λ < 1의 구간에 두 개의 λ가 존재할 경우, 이를 각각 λI , λII로 구분하여 모드 I, 모드 II의 손상 모드로 구분할 수 있으며, 이에 따라 응력확대계수와 각도 함수도 각각 KI , KII및 , 로 나타내면 되는 것이다. 이 경우에 대해 특별히 식 (1)을 표기하면 다음과 같은 응력 표현식으로 나타낼 수 있게 된다.

\(\sigma_{ij}=K_Ir^{\lambda_I-1}f_{ij}^I(\theta)+K_{II}r^{\lambda_{II}-1}f_{ij}^I(\theta)+{\text{Bounded terms}}\)        (6)

 

Fig. 3. Complete contact configuration of three bodies considered in this work.

 

3. 해석 결과 및 고찰

 

3-1. PCMI 문제의 해석

본 논문의 목적인 세 물체 간 마찰 완전 접촉 문제의 해석을 위해 예로 든 Fig. 2의 핵연료봉 PCMI 문제를 생각한다. 이때 지르코늄합금의 피복관을 재료 1로 하고 우라늄 소결체를 재료 2로 정한다. 이에 따라 식 (4) 및식 (5)를 이용하여 12개의 동차 방정식으로 이루어진 연립방정식을 구성하고 앞서 서술한 것과 같이 자명하지 않은 해를 구하기 위해 행렬식을 0으로 하는 λ를 구하였다(즉 0< λ <1의 구간에 있는 λ의 실수 값을 찾아서 취하였다).

이때 사용한 피복관 및 우라늄 재질의 탄성적 성질을 Table 1에 보여 주고 있다. 우라늄 조각 사이의 각도(Fig. 3에서 φ)로는 π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4 및 5π/6를 고려하였다. 또한 피복관과 소결체 사이의 접촉면 마찰계수, µ는 0, ±0.1, ±0.3, ±0.5, ±0.7, ±0.9로 변화시키며 λ의거동을 조사하였다. 이때 마찰계수가 양(+)인 경우는 Fig. 3에서 우라늄 소결체 조각이 서로 멀어지는 방향으로의 미끄럼을 의미하며, 음(−)인 경우는 그 반대 방향을 말한다.

조각난 우라늄 조각은 균열에 의해 서로 분리되어 있으므로 실제의 경우, 마찰계수가 음(−)인 미끄럼 방향을 고려하는 것이 불필요할 수도 있다. 그러나, 소결체에 존재하는 균열에 의해 분리된 각각의 소결체 조각 사이의 틈새가 의미있는 값을 갖는 경우, 각각의 바깥쪽에 위치한 소결체의 미끄럼 거동에 의해 조각들이 서로 접근하는 경우를 고려하여 본 논문의 해석에 포함하였다. 한편실제의 계산에서는 행렬식의 크기가 12×12이므로 수 계산으로 λ를 구하기 어려워 상용 프로그램 Mathematica[8]를 이용하여 구하였다.

이때의 계산결과를 Fig. 4에 나타내고 있다. 우선 예상할 수 있었던 것과 같이, φ에 대한 λ의 거동은 φ = π/2를 기준으로 좌우 대칭되는 결과를 보여 주었다. 즉, φ = π/6일 때와 5π/6일 때, φ = π/4일 때와 3π/4일 때, 그리고 φ = π/3일 때와 2π/3일 때의 λ가 각각 동일한 거동을 보여 주었다.

한편, 계산한 조건 가운에 φ = π/2, π/3와 2π/3일 때에는, 음(−)의 마찰계수 조건에서 0< λ <1의 범위 내에 존재하는 λ가 두 개로 나타나는 경우가 발견되었으나, 그 외의 경우에서는 단지 하나의 λ만 존재하였다. 두 개의λ가 존재하는 경우, Fig. 4에는 상대적으로 작은 값의 λ를 실선으로 나타내었고 그 보다 큰 값의 λ를 점선으로 나타내었다. 응력 특이성의 지수는 (1 − λ)이므로 Fig. 4에서 실선은 상대적으로 강한 응력특이성을 나타내고 점선은 상대적으로 약한 응력특이성을 갖는 것을 의미한다.

이것은 소결체와 피복관의 접촉면을 기준으로, 소결체를 조각으로 분리하는 균열의 각도가 크고(본 논문 계산의 경우, π/3≤ φ≤ 2π/3) 동시에 두 개의 조각이 서로접근하는 방향으로의 미끄럼이 발생할 때 응력 특이성을 발생시키는 λ가 두 개로 나타날 수 있다는 것이다. 이것은 흥미로운 결과로서, 일반적으로 Fig. 1과 같은 두 물체의 접촉 문제에서 마찰 완전 접촉(frictional completecontact) 상태일 경우 0< λ <1 범위 내에 한 개의 λ가 존재는 것을 상기할 때[9], 세 물체의 마찰 완전 접촉 문제에서는 두 물체의 응착 및 마찰 접촉의 응력 특이성 특성과 같은 특성이 나타난다는 것을 의미하기 때문이다.

앞서 설명한 것과 같이, 본 논문에서 사용하는 마찰계수는 두 물체의 접촉면에 대한 실제의 마찰계수가 아니라 미끄럼 방향과 전단 하중의 크기를 의미하고 있으므로, PCMI 문제에서 음(−)의 마찰계수는 두 개의 소결체조각이 서로 접근하는 경우가 되며, 마찰계수의 절대값이 클수록 피복관과 소결체의 접촉면에 가해지는 전단하중이 크게 작용하는 경우로 이해하면 된다. 그러나 단지 균열에 의해서만 분리된 소결체 조각 사이의 거리를 고려할 때 음(−)의 마찰계수와 같은 조건이 성립하기는 매우 어렵다고 볼 수 있다(Fig. 2 참조). 따라서 여기서는 두 개의 소결체 조각이 서로 반대방향으로 멀어지는 양(+)의 마찰계수 조건에 대해서만 생각한다.

Fig. 4에서 마찰계수 변화에 따른 λ의 두 가지 뚜렷한 특징을 발견할 수 있는데, 하나는 모든 균열 각(φ )에서 마찰계수의 증가에 따라 λ가 거의 선형적으로 변한다는 것이고, 또 다른 하나는 균열 각에 관계 없이 어떤 특정한 마찰계수에서 λ =0.5의 동일한 값을 갖는다는 것이다.

마찰계수의 증가에 따른 λ의 변화를 상세히 관찰했을 때, φ = π/6일 때와 5π/6일 때를 제외하고는 마찰계수가 증가하면 λ도 증가하였다. φ = π/6일 때와 5π/6일 때에는 마찰계수의 증가에 대해 λ가 감소하는 반대의 거동을 보였다. 즉 소결체와 피복관의 접촉면을 기준으로 할 때,균열 각이 작을 경우에는(즉 접촉면에 가깝게 균열 선이 존재할 때에는) 소결체 조각이 서로 멀어지는 방향으로 미끄러지면 응력 특이성 지수가 증가할 가능성이 있으며, 균열 각이 커지게 되면(즉 접촉면에 수직한 균열에 가까워질수록) 소결체 조각이 서로 멀어질 때 응력 특이성 지수가 줄어들게 된다.

Fig. 1과 같은 두 물체의 마찰 완전 접촉 문제의 경우에서도, 반무한 평판에 접촉하는 날카로운 모서리의 쐐기가 음(−)의 마찰계수 방향으로 미끄러질 때 응력 특이성 지수가 증가하고, 양(+)의 마찰계수 방향으로 미끄러질 때는 응력 특이성 지수가 감소하는 경우가 대부분의 쐐기 모서리 각도에서 발견되지만, 균열 각 및 접촉 재료의 상이함에 따라 이와는 상반되는 응력 특이성 거동이 나타난다고 하는 결과가 있으며[10], 이는 본 논문에서의 계산 결과와 유사한 것이다.

한편, Fig. 4에서 균열 각에 관계 없이 마찰계수의 증가에 따라 λ의 거동이 λ =0.5에서 교차하는 것은 매우 흥미로운 결과이다. 이것은 Fig. 1과 같은 두 물체의 마찰 완전 접촉 문제에서는 발견되지 않는다.

 

Fig. 4. The variation of the eigenvalue, λ with respect to the coefficient of friction, µ and crack angle, φ of separating the indenter pieces.

 

3-2. 재료의 탄성적 성질의 차이에 대한 영향 고찰

고유치 λ는 접촉하는 재료의 탄성적 성질에 의해서도변하기 때문에, 본 논문에서 예로 든 핵연료봉 이외의 경우에 대해서 재료의 상이함에 따른 영향을 분석해 보는 것이 의미가 있다.

이를 위하여, 접촉하는 두 개의 재료에 대한 탄성적 성질을 복합적으로 나타낼 수 있는 Dundurs 상수를 고려한다. Dundurs 상수, α, β는 다음과 같이 정의된다[11].

\(\alpha =\frac{G_2(k_1+1)-G_1(k_2+1)}{G_2(k_1+1)+G_1(k_2+1)} , \beta=\frac{G_2(k_1-1)-G_1(k_2-1)}{G_2(k_1+1)+G_1(k_2+1)}\)       (7)

여기서, 하첨자 1, 2는 두 개의 서로 다른 물체를 의미하고, G와 κ는 식 (3)에서 정의한 것과 같이 각각 전단강성 계수와 Kolosov 상수이다.

3.1절의 PCMI 문제에서 Table 1의 물성치를 평면변형율 상태에서의 식 (7)에 대입하면 (α, β) = (0.433, 0.097)로 계산된다. 한편 α와 β의 범위는 , 이나, 실제의 다양한 공학 재료에 대한 Dundurs 상수의 조사에서 α 및 β 값이 다음의 범위에 존재한다는 것이 보고되어 있다[12].

\(|\alpha| \leq 0.6, \alpha / 4-0.1 \leq \beta \leq \alpha / 4+0.1\)       (8)

식 (8)을 고려하여, 접촉 물체의 탄성적 성질이 다를경우에도, 앞서 PCMI 문제의 해석에서 관찰된, λ의 거동이 균열 각(φ)에 관계 없이 어떤 특정한 마찰계수에서λ =0.5를 교차하고 있는지를 알아보기 위해 (α, β) = (0.2, 0.1), (0.3, 0.1)의 두 가지 경우에 대해 조사하였다. 이때 Fig. 4에서 관찰된, φ에 대한 대칭성을 고려하여 양(+)의 값 φ(φ = π/4, π/3, π/2)에 대해서만 계산하였다. 각각의 결과를 Fig. 5(a)와 (b)에 보여주고 있으며, PCMI문제에서 관찰된 λ의 거동 특성이 계속 나타난다는 것을 알 수 있다.

물론 본 논문에서 예로 든 세 가지 경우의 (α, β)에서 관찰된 특성이 모든 경우의 재료 조합에서도 나타난다고는 할 수 없을 것이다. 그러나, 본 논문에서의 지면 관계로 전체를 나타낼 수는 없으나, Fig. 4 및 Fig. 5(a)와 (b)에 적용한 (α, β) 외의 다른 값에 대해서도 이와 같은 특성은 계속 관찰되었다. 따라서, 비록 엄밀한 수학적 증명이 따르지는 못하였으나, 세 물체의 마찰 완전 접촉에서는, 접촉 재료의 상이함에 무관하게, 어떤 특정한 마찰 전단 하중에서 응력 특이성의 지수가 균열의 그것과 같은 0.5가 된다고 판단된다.

특히 이때 0.5 보다도 더 큰 응력 특이성의 지수가 나타날 수 있다는 결과는 접촉에 의한 손상이 균열에 의한 손상보다 더 심각할 수 있다는 것을 의미한다. 따라서, Fig. 3과 같은 형상의 접촉 상태가 발생할 경우에는 재료의 파손에 대해 더욱 주의를 기울여야 할 것으로 생각한다. 또한 이것은 핵연료봉의 PCMI 손상에 대한 더 큰주의가 필요함을 의미한다.

 

Fig. 5. The variation of λ with respect to the variation of µ and φ; (a) (α, β) = (0.2, 0.1) and (b) (α, β) = (0.3, 0.1).

 

4. 결 론

세 물체 간의 마찰 완전 접촉 문제에서 접촉부에서의 응력 특이성의 특성에 대한 거동을 관찰하기 위해 점근해석 방법을 이용하여 고유치 문제를 구성하고 해석하였다. 이 방법의 우선적인 적용 예로서 핵연료봉에서 나타나는 PCMI 손상을 고려하였다. 해석 결과, 접촉부 경계에서 응력 특이성 지수가 0.5보다 더 큰 경우가 발생하였으며, 이는 접촉에 의한 손상이 균열에 의한 파손보다 더 위험한 손상 원인이 될 수 있다는 것을 의미하는 동시에 핵연료의 PCMI 손상 가능성에 대한 더욱 높은 관심을 가져야 하는 이유가 되었다.

한편, 세 물체의 접촉 형상으로서 한 재료의 반무한 평판과 이에 접촉하는 다른 재료의 두 개 조각을 고려할 때, 어떤 특정한 접촉면 마찰계수에서 조각을 분리하는 균열 각도에 무관하게 응력 특이성 지수가 0.5의 값이 된다는 흥미있는 결과가 관찰되었으며 이는 세 물체를 구성하는 두 개 재료의 상이함과는 무관하게 나타나는 현상으로 사료되었다. 이러한 현상이 항상 발생하는 지에 대한 엄밀한 수학적 증명은 향후 의미있는 연구과제라판단된다.