Analysis of Vibration for the Pre-twisted Beam Considering the Effect of Rotary Inertia Using the Transfer Matrix Mathod

전달행렬법을 이용하여 비틀림 각과 회전관성을 고려한 보의 진동해석

Abstract

In this study, a transfer matrix method (TMM) for a twisted uniform beam considering the effect of rotary inertia is developed, and the differential equation and the displacements and forces are derived from Hamilton's principle. The particular transfer matrix is derived by applying the distributed mass and transcendental function while using a local coordinate system. In addition, the results obtained from this method are independent for a number of subdivided elements, and this method can determine the exact solutions for the free vibration characteristics of a twisted uniform Rayleigh beam. To validate the accuracy of the proposed TMM, the computed results are compared with those reported in the existing literature, and the comparison results indicate notably good agreement. In addition, the method is used to investigate the effects of rotary inertia for a twisted beam.

1. 서 론

지난 수십 년 동안, 터빈 블레이드, 펌프 임펠러, 헬리컬 기어, 드릴, 헬리콥터의 로터 블레이드와 같이 초기 비틀림 각을 가지는 구조물들이 많이 사용되어왔다. 따라서 초기 비틀림 각을 갖는 보의 동특성 해석은 매우 중요하다고 할 수 있다. 이러한 보의 동특성을 구하기 위해 유한요소법, 전달행렬법과 같은 다양한 수치해석방법들이 연구되었고 지금까지도 많은 연구자들이 연구를 수행하고 있다.

Murthy(1)은 전달행렬법을 사용하여 비균일 로터 블레이드를 집중질량으로 모델링하여 동특성을 구하였으며 Banerjee(2)는 동강성법을 사용하여 비틀림 각을 갖는 보의 동특성을 정확하게 해석하였다. Lin(3) 등은 오일러 보 대한 비틀림의 효과를 확인하기 위해 집중 질량을 이용하여 전달행렬법을 사용하였으며 Rosen(4) 등은 비틀림 각을 갖는 보에 대한 연구 논문들은 정리하였고 Yoo 등(5)은 복합 변형 변수 기반의 모델링 방법을 이용하여 집중질량을 갖고 초기 비틀림 각을 가지며 회전하는 블레이드의 진동해석을 수행하였다. Yardimoglu 등(6)은 비틀림 각을 갖는 보의 연성 굽힘 진동을 가우스 르장 수치 적분을 사용하여 유한요소 모델을 해석하였다. Ho 등(7)은 축 방향 하중을 받고 불균일하고 비틀림 각을 갖는 티모센코 보의 자유 횡 진동을 해석하기 위해 해밀턴의 원리에 기초한 미분변환법을 사용하였다. Attar 등(8)은 전달행렬법을 사용하고 Hallauer 등(9)과 Gupta(10)는 동강성법을 사용하여 보의 자유굽힘 진동 해석하였다. 최근에 Lee 등(11)이 전달행렬법을 사용하여 초기 비틀림 각을 갖는 오일러 보의 굽힘 진동의 완전해를 해석하였지만 아직까지 회전관성을 고려한 레일리 보의 완전해는 없는 실정이다.

따라서, 여기서는 전달행렬법을 사용하여 초기 비틀림각을 갖고 회전관성이 고려된 레일리 보(Rayleigh beam)에 대한 동특성의 정확 해를 구하는 방법을 제안한다. 전달행렬법은 유한요소법에 비해 계산의 과정이 단순하며 상태 벡터 전달 과정을 명확하게 해석할 수 있어 보와 같은 일차원 구조물 의 진동해석을 매우 단순하고 효과적으로 빠르게 해석할 수 있는 방법이기 때문이다.

제안된 방법은 기존의 장행렬(field matrix)와 점행렬(point matrix)로 구성된 전달행렬법과는 다르게 통합된 전달행렬만이 존재하므로 1개의 요소를 사용하여도 무한한 고유진동수를 정확하게 얻을 수 있다. 이 방법의 검증하기 위하여 기존의 논문의 결과와 비교하였다.

 

2. 이 론

2.1 미분 방정식

Fig. 1에 길이가 L인 비틀림 각을 갖는 보의 사용된 기호를 나타내었다. 여기서, XYZ는 전체 좌표계이고 xyz는 국부 좌표계이며, 0점에서의 비틀림 각은 0˚이고 길이 L에서의 비틀림 각은 β이다. 비틀림 각을 갖는 보의 미분 방정식은 해밀턴의 원리(Hamilton's Principle; 부록 (A.8),(A.9) 참조)사용하여 다음과 같이 유도할 수 있다.

여기서 ′와 °는 거리 y와 시간 t에 대한 미분이며 k = β/L 로 길이에 따른 비틀림률이다. x방향 변위 u와 z방향 변위가 w가 각속도 ω로 조화운동을 한다고 가정하면 다음과 같이 된다.

Fig. 1Coordinate system and notation

식 (3)을 식 (1)과 식 (2)에 대입하면 다음 식과 같이 유도할 수 있다.

식 (4)와 식 (5)는 정리하면 다음과 같이 유도된다.

여기서 이며 r = EIXX/EIZZ은 강성 비이고 c = ρω2/(2Ek2)이다. 식 (6)의 해를 다음과 같이 가정하고

식 (7)을 식 (6)에 대입하면 다음과 같이 8계 상미분방정식이 유도된다.

식 (8)의 일반해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

한편 x축과 y축에 대한 굽힘 회전각은 각각 θx와 θz이다(2).

따라서 전단력과 Vx, Vz와 굽힘 모멘트인 Mx, Mz는 부록에 있는 식 (A.10) ~ 식 (A.13)으로부터 다 음 식과 같이 유도할 수 있다.

2.2 회전관성을 고려한 전달행렬법

초기 비틀림 각을 갖는 레일리 보(Rayleigh beam)의 전달행렬을 구하기 위해 양쪽 경계조건을 이용하여 보의 변위, 기울기, 굽힘모멘트, 전단력을 구하면 다음과 같이 된다.

를 각각 k번째 초기 비틀림 각을 갖는 보요소의 y = 0와 y = l에서 상태벡터라고 하면 다음 식으로 나타낼 수 있다.

여기서 [Tij]k는 k번째 초기 비틀림 각을 갖는 보 요소의 전달행렬이다. 초기 비틀림 각을 갖는 보가 n 개의 요소로 구성되어 있을 때 한쪽 끝단에서 다른 쪽 끝단까지 순차적으로 연산을 행하면 전체 전달행렬식은 다음과 같이 된다.

여기서 [Tij] = [Tij]n [Tij]n-1 • • [Tij]k • • [Tij]2[Tij]1으로 초기 비틀림 각을 갖는 보의 전체 전달행렬이다. 이와 같은 방법을 통하여 초기 비틀림 각을 가지는 레일리 보에 대한 전달 행렬을 얻을 수 있으며 이를 이용하여 보의 동특성에 대한 정확 해를 구할 수 있다. 다양한 경계조건에 대한 초기 비틀림 각을 갖는 보의 동특성해석이 가능하지만, 여기서는 초기 비틀림 각을 갖는 외팔보의 동특성을 구한다.

외팔보의 고정단(1점)과 자유단(n + 1) 길이가 L이면 경계조건은 다음과 같다.

식 (23)과 식 (24)를 식 (22)에 대입하면

식 (25)이 유용해(nontrivial solution)를 갖기 위한 조건으로부터 고유진동수에 관한 방정식은 다음과 같이 구해진다.

식 (26)을 이용하여 비틀림 각을 갖는 레일리 보에 대한 고유진동수의 정확 해를 구할 수 있다.

 

3. 결과 및 고찰

먼저 기존 논문(11)에서 사용된 보로 모델링하여 검토하였으며 제원은 Table 1과 같다.

Table 1Material properties for Euler beam

외팔 보인 오일러 보와 회전관성이 고려된 레일리 보의 고유진동수를 5차까지 해석하였으며 이를 기존의 결과와 비교하여 Table 2에 나타내었고 이 때 끝단의 비틀림 각은 0˚와 40˚로 두 가지로 하였다. 해석 결과 오일러 보의 경우 기존 논문의 결과와 잘 일치하였으며 레일리 보가 오일러 보다 고유진동수가 낮은 이유는 회전관성을 고려하였기 때문이다.

Table 2The comparison results between Euler and Rayleigh theory

Table 3은 동일한 보를 한 개의 요소로 모델링 한 경우와 균일하게 백분등하여 백 개의 요소로 모델링한 보의 고유진동수를 비틀림 각에 따라 비교한 것으로 두 경우 모두 일치하였다. 따라서 제안한 전달행렬법이 동일한 보인 경우 보를 나눈 개수와 무관하게 고유진동수가 일치하므로 완전해임을 알 수 있었다.

Table 3The comparison of the natural frequency of a twisted blade obtained using different numbers of elements

Table 4 ~ Table 6에 비틀림 각 β가 0˚, 45˚, 90˚ 일 때 무차원 보의 고유진동수를 강성비 r = Izz/Ixx의 변화에 따라 모드 별로 나타내었다. 보의 길이는 L = 1, 단위 질량은 m = 1, 세로탄성계수는 E = 1, 단면이차모멘트는 Ixx = 1, Izz = r로 하였다. 강성비 r = 1일 때 비틀림 각에 관계없이 1차, 2차 고유진동수와 3차, 4차 고유진동수 그리고 5차, 6차 고유진동수가 동일 한 것은 보의 단면이 정사각형이어서 x방향과 z방향의 진동 모드가 같기 때문이다. 여기서 1차, 3차, 5차는 x방향 진동 모드이고 2차, 4차, 6차는 z방향의 진동 모드이다.

Table 4Effect of stiffness ratio on the non-dimensional natural frequencies of a Rayleigh twisted beam, β = 0˚

Table 5Effect of stiffness ratio on the non-dimensional natural frequencies of a Rayleigh twisted beam, β = 45˚

Table 6Effect of stiffness ratio on the non-dimensional natural frequencies of a Rayleigh twisted beam, β = 90˚

Table 4의 비틀림 각 β = 0˚인 경우 강성비가 적을 때는 모든 차수의 고유진동수가 빠르게 증가하다가 강성비가 클수록 증가속도가 감소하였다.

Table 5의 비틀림 각 β = 45˚인 경우 강성비 증가에 따라 1차 고유진동수는 감소하였고 2차 고유진동수는 초기에는 증가하다가 감소하였으며 나머지 차수의 고유진동수는 증가함을 알 수 있었다.

Table 6의 비틀림 각 β = 90˚인 경우는 강성비 증가에 따라 1차 고유진동수는 감소하였고 2차, 3차 고유진동수는 초기에는 증가하다가 감소하였으며 나머지 차수의 고유진동수는 증가함을 알 수 있었다. 이는 비틀림 각이 증가됨에 따라 x방향과 z방향의 진동 모드가 강하게 연성(coupling)이 되었기 때문이다.

Fig. 2 ~ Fig. 4는 비틀림 각 β가 0˚, 45˚, 90˚일 때 강성비 r = Izz/Ixx의 변화에 따라 회전관성을 고려한 레일리 보의 고유진동수를 동일한 조건인 오일러 보의 고유진동수로 나누어 나타낸 그림이다. 비틀림 각 β에 관계없이 r = 1일 때 고유진동수의 꼭지점이 발생한 것은 Izz = Ixx이므로 x방향과 z방향의 고유진동수가 같았기 때문이다.

Fig. 2Effect of stiffness ratio on the non dimensional natural frequencies of a twisted beam, β = 0˚

Fig. 3Effect of stiffness ratio on the non dimensional natural frequencies of a twisted beam, β = 45˚

Fig. 4Effect of stiffness ratio on the non dimensional natural frequencies of a twisted beam, β = 90˚

Fig. 2에서 1, 3, 5차 고유진동수 보다 2, 4, 6차 고유진동수가 강성비 r증가에 따라 급격히 감소한 이유는 z방향의 강성이 증가로 인해 회전관성의 영향이 더 크기 때문이다.

Fig. 3에서는 강성비 r의 증가에 따라 1차 고유진동수는 점차 감소하였고 2차 고유진동수는 처음에는 급격히 감소하였다가 강성비 증가에 따라 고유진동수 변화가 거의 없었다. 나머지 차수의 고유진동수들은 강성비 r에 큰 변화를 보이지 않았으며 이는 비틀림 각의 영향으로 판단된다

Fig. 4는 비틀림 각 β = 90˚인 경우로 1차 및 2차 고유진동수는 점진적으로 감소하였으며 나머지 차수의 고유진동수는 강성비 r에 큰 변화를 보이지 않았고 고차일수록 회전관성의 영향을 많이 받음을 알 수 있었다.

따라서 비틀림 각 β와 강성비 r에 관계없이 모든 고유진동수가 오일러 보의 고유진동수 보다 낮아짐을 알 수 있었다. 이는 보의 회전관성이 진동에 영향을 주었기 때문이다.

 

5. 결 론

이 연구에서 제안된 방법은 단 한 개의 요소만으로도 회전관성이 고려된 레일리 보(Rayleigh beam)의 정확한 고유진동수와 모드형상을 얻을 수 있었다.

(1) 해밀턴 원리를 사용하여 초기 비틀림 각을 갖는 레일리 보의 동특성을 구할 수 있는 미분 방정식을 나타내었다.

(2) 전달행렬법을 사용하여 초기 비틀림 각을 갖는 레일리 보의 동특성을 정확히 얻을 수 있는 방법을 제시하였다.

(3) 질량이 집중 질량(lumped mass)이 아닌 등분포 질량을 고려하는 방법을 제시하였다.

(4) 제안된 방법을 통하여 초기 비틀림 각과 회전 관성이 있을 경우 보의 고유진동수가 감소하는 것을 알 수 있었다.