1. 서 론
조질 압연(skin-pass rolling or temper rolling)은 매우 적은 양의 두께 감소만을 발생시키도록 약한 압력으로 냉간 압연하는 기법이며, 제품의 경도를 향상시키고, 불균일한 연신에 의해 발생하는 잔류응력을 없애거나, 흔히 류더스선(lüders line)이라 불리는 가공 후 표면에 발생하는 줄무늬를 없애기 위해 보통 압연 공정의 마지막에 실시한다. 현장에서 사용되는 설비에는 일반적으로 최소한의 제어 시스템만 제공되며, 그 설정과 조작 및 운영의 대부분은 조업자의 경험에 의존하고 있다.
압연 공정에서 널리 이용되고 있는 기술인 만큼, 지금까지 여러 연구자들이 조질 압연에 대해 논의해왔다. 대표적으로 Fleck 등[1, 2]은 박판 성형 중 롤의 비원형(non-circular) 변형을 수식으로 표현하고 이를 통해 판과 롤 간 접촉영역 내에서 발생하는 점착(no-slip) 영역을 설명하는 등 조질 압연 공정 해석의 기초를 만들었다. 하지만 그들이 제시한 방법은 복잡하고 계산량이 많다는 문제를 안고 있는데, 이를 해결하고자 Le 등[3]과 Langlands 등[4]이 수정된 수식 모델을 제시하였다. 이들은 각각 점착 영역에서 소량의 탄소성 변형을 허용하는 방법과 롤 평탄화 영역을 근사하는 방법을 사용하여 해를 간단히 구할 수 있도록 모델을 수정했다.
수학적 접근을 이용한 이런 연구들과 달리 Part I에서는 유한요소해석을 통해 조질 압연 공정을 더 정밀하게 분석하여 그 특징들을 살펴보았다. 하지만 이런 해석은 계산 시간이 오래 걸리기 때문에 현장의 여러 가지 상황에 즉시 대처하기에 무리가 있다. 이에 본 논문에서는 앞선 유한요소해석 결과를 토대로 간단한 수식 모델을 개발하고자 한다.
2. 소성 변형율의 예측
Fig. 1에 나타낸 압연 후 소성 변형율의 분포를 살펴보면 연신 소성 변형율(longitudinal plastic strain)과 수직 소성 변형율(vertical plastic strain)이 비슷한 형태를 보이면서 서로 다른 부호를 갖고 있고, 폭 방향 소성 변형율(lateral plastic strain)은 상대적으로 작은 것을 알 수 있다.
Fig. 1Plastic strain distributions after rolling, predicted from FEM, for bender force = 400KN
Part I에서 소개한 일련의 해석 결과로부터 알 수 있듯이 최대 압하 지점을 지난 후에는 추가적인 소성 변형이 발생하지 않는다. 이점을 고려하여 수직 소성 변형율을 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서 위 첨자 p와 e는 각각 소성과 탄성을 의미한다. H는 압연 전 판 두께이고, hmin(z)는 최대 압하지점에서의 두께 즉, 롤과의 접촉영역 내에서 판의 두께가 최소가 될 때의 값으로서 롤 크라운 분포와 일치하며 Fig. 2와 같은 분포를 보인다. 식(1)이 최대 압하 지점에서 표현되었으므로 는 최대 압하가 발생하는 시점에서의 수직 탄성 변형율이다.
Fig. 2Minimum strip thickness profiles at the bite-zone, hmin(z), predicted from FEM
압연 후 수직 소성 변형율 편차 와 총 수직 변형율 편차 Δεy를 다음과 같이 정의한다.
유한요소해석 결과를 바탕으로 와 Δεy 가 단순한 비례관계를 갖는다는 결론을 얻을 수 있었다. 다시 말해,
여기서 C는 상수이며, 이에 따라 수직 소성 변형율을 다음과 같이 가정했다.
여기서 hc는 판 중앙에서 측정한 압연 후 두께이다. 식(1)과 비교해 볼 때, 식(5)의 두 번째, 세 번째 항은 각각 와 에 상응하는 것을 알 수 있다. 본 연구 결과에서는 C = 0.24를 사용했을 때 유한요소해석 결과와 가장 잘 일치했으며 Fig. 3을 통해 확인할 수 있다.
Fig. 3Vertical plastic strains, predicted from FEM and present model with C = 0.24
한편, 연신 소성 변형율이 수직 소성 변형율과 비슷한 분포를 갖고, 그 부호가 반대라는 사실로부터 다음과 같이 가정할 수 있다.
여기서 D와 B는 상수이다. 그러므로,
본 연구 결과에서는 D = 0.52를 사용했을 때 유한요소해석의 결과와 가장 잘 일치했으며 Fig. 4를 통해 확인할 수 있다.
Fig. 4Lateral plastic strain differences, predicted from FEM and present model with D = 0.52
3. 잔류응력의 예측
압연된 판의 잔류응력은 불균일한 연신에 의해 발생하며 다음과 같이 구할 수 있다.
여기서 E는 판의 탄성계수이고,
식(8)로부터 예측한 잔류응력 분포를 Fig. 5에 나타냈으며, Part I에서 유한요소해석을 통해 얻은 분포와 일치하는 것을 확인할 수 있다.
Fig. 5Residual stress profiles after rolling, predicted from present model
4. 압하력의 예측
4.1 접촉 길이의 예측
판과 작업 롤 간의 접촉 길이 l은 다음과 같이 구할 수 있다.
그리고 변형된 작업 롤의 반지름 R'을 예측하기 위해 Hitchcock 식[5]을 사용할 수 있다.
여기서 P는 단위 판 폭 당 압하력이고, R은 작업롤의 변형 전 반지름이며, C0는 재료의 물성치로서 롤의 탄성계수 E와 Poisson 비 ν로부터 다음과 같이 구해 진다.
그리고 압연된 판의 두께 h(z)는 다음과 같이 구할 수 있다.
상수 a는 필자가 도입한 것으로서 Hitchcock 식의 원형에서는 a = 1 이지만, 조질 압연에서 정확한 접촉 길이를 예측하기 위해 제안되었다.
식(11)의 정확도를 검증하기 위해 P와 에 Part I에서 유한요소해석을 통해 얻은 값을 그대로 대입하고 그 결과를 비교했다. 보정 계수 a = 0.51을 사용하면 유한요소해석을 통해 얻은 접촉 길이를 가장 정확히 예측할 수 있고, Fig. 6을 통해 이를 확인할 수 있다.
Fig. 6Contact length between the strip and the work roll, predicted from FEM and present model with a = 0.51
4.2 Sims 식
압연 방향으로의 압하력 분포가 이상적인 마찰언덕(friction hill) 형태를 보이는 점을 고려했을 때, Sims 식[6]을 사용하면 압하력을 정확히 예측할 수 있을 것으로 생각된다.
그리고,
여기서 σf와 σb는 각각 전방 장력 분포, 후방 장력 분포이고, h(z)는 식(13)으로부터 구할 수 있다. 식(14)의 정확도를 검증하기 위해 l, σf, σb,에 유한요소해석 결과치를 그대로 대입하고 그 결과를 비교했다. 단, 변형된 롤 반지름 R'은 식(10)을 통해 역산한다.
Fig. 7에서 보는 바와 같이 Sims 식을 통해 예측한 결과가 유한요소해석 결과와 다소 차이를 보이는데, 이는 Sims 식을 유도할 때 사용된 가정이 조질 압연에는 부적합하기 때문으로 생각된다. 그럼에도 불구하고 두 결과의 경향은 상당히 비슷하며, 단순히 보정 상수를 곱하는 것으로 보완할 수 있을 것으로 보인다.
Fig. 7Roll force profiles, predicted from FEM and Sims equation with the results of FEM
4.3 통합 모델
Sims 식과 Hitchcock 식을 연립하여 압하력 예측식을 만들고자 한다. 이 과정에서 식(14)가 갖는 오차를 보정하는 두 가지 방법을 생각해 볼 수 있다.
(1) 새로운 보정 계수를 도입한다.
(2) Hitchcock 식의 보정 계수 a를 수정한다.
전자의 경우 접촉 길이와 압하력을 모두 정확히 예측할 수 있지만 모델이 복잡해진다. 반면 후자의 경우 접촉 길이를 정확히 예측할 수는 없으나 모델이 상대적으로 단순하다.
본 논문에서는 모델이 복잡해지는 것을 피하기 위해 후자를 택하고 식(11)과 식(14)를 반복 계산하여 압하력을 구한다. 단, Part I의 결과에 근거하여 후방 장력 σb는 무시하고, 전방 장력 σf 는 잔류응력 분포와 같으므로 식(8)로 계산한다. 연신 소성 변형율 편차 와 수직 소성 변형율 도 각각 식(7)과 식(5)를 통해 구한다.
보정 계수 a를 0.31로 수정하여 예측한 압하력 분포를 Fig. 8에 나타냈다. Part I에서 유한요소해석을 통해 얻은 분포와 비교해 볼 때, 자유 표면의 영향으로 인해 판 가장자리에서 다소 차이를 보이는 것을 제외하고는 거의 일치하는 것을 확인할 수 있다.
Fig. 8Roll force profiles, predicted from present model with a = 0.31
일종의 실험 상수인 C, D, a가 다양한 벤더력에서 적용되는 것으로 미루어 볼 때, 대부분의 조질 압연공정에서 폭넓게 적용될 수 있으리라 생각하지만, 확실한 검증을 위해서는 추가적인 유한요소해석이 필요할 것으로 보인다.
5. 결 론
본 논문에서는 Part I에서 얻은 유한요소해석 결과를 기반으로 조질 압연 공정에서 압하력과 잔류응력 및 소성 변형율을 예측할 수 있는 수식 모델을 제시하고, 여기에 사용되는 실험 상수인 C, D, a의 구체적인 값도 제시했다.
(1) 총 변형율(total strain)과 소성 변형율 간의 비례관계에 착안하여 소성 변형율을 식(5), (7)과 같이 간단히 표현했다.
(2) 압연 후 판의 잔류응력 분포는 식(7~8)로부터 계산할 수 있으며, 유한요소해석 결과와 일치한다.
(3) 압하력 분포를 구하기 위해 Hitchcock 식과 Sims 식을 연립하였으며, 이 과정에서 보정 계수 a를 도입하였다.
(4) 제시한 모델로 계산한 압하력은 판 가장자리에서 다소 크게 예측되지만, 그 외에는 유한요소해석 결과와 일치한다.
제시한 모델이 압하력, 잔류응력, 소성 변형율을 정밀하게 예측할 수 있지만, 판의 최소 두께 분포 hmin(z)는 여전히 유한요소해석을 통해서 구해야 한다는 한계를 갖고 있다. 필자는 이 분포가 Yun[7]의 연구와 같은 롤 해석을 통해 얻을 수 있을 것으로 예상한다.
향후 적절한 실험을 통해 제시한 수식 모델을 검증할 수 있기를 기대하며, 본 연구 결과가 압연 제품의 품질 향상에 기여할 수 있기를 바란다.
References
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