1. 서 론
세종특별자치시 국토지리정보원 우주측지관측센터에 위치한 측지 VLBI(Very Long Baseline Interferometer)는 GNSS(Global Navigation Satellite System), SLR(Satellite Laser Ranging) 및 DORIS(Doppler Orbit determination and Radiopositioning Integrated on Satellite) 등과 함께 가장 대표적인 우주측지기술로써, 측지분야의 ITRF(International Terrestrial Reference Frame) 구축에 상호보완적으로 기여하고 있다(Dawson et al., 2007). 이때, 서로 다른 우주측지기술 간의 결합성과는 정밀하고 안정적인 ITRF의 구축에 있어서 가장 중요한 부분으로 간주된다(Altamimi et al., 2002). 서로 다른 우주측지기술들을 연계하는 과정은 각 시스템의 기준점 간의 정밀한 연결벡터를 산출함으로써 수행된다. 이러한 연계과정을 일반적으로 콜로케이션(co-location) 또는 로컬타이(local tie)라고 하며, 연결벡터(tie vector)의 오차는 1 ∼ 2mm 이하의 정확도가 요구된다(Niell et al., 2005; Sarti et al., 2004). 본 연구에서는 세종특별자치시에 위치한 VLBI 안테나의 기준점을 산출하는 연구를 진행함으로써, 향후 정밀한 ITRF 구축에 활용되는 우주측지기술 간의 콜로케이션을 위한 기반연구를 수행하고자 하였다.
대부분의 기존 연구에서는 3D circle fitting 모델을 기반으로 VLBI 안테나의 기준점을 계산하는 연구를 수행하였다(Dawson et al., 2007; Eschelbach and Haas, 2003; Johnston et al., 2004). 이러한 모델은 관측점의 궤적이 3차원 공간상에서 circle을 형성하도록 계획되어야 한다는 한계를 가지고 있다(Kallio and Poutanen, 2010). 일반적으로 VLBI 안테나의 기준점은 방위각축(azimuth-axis)과 앙각축(elevation-axis) 사이의 교차점(intersection)으로 정의된다. 방위각축과 앙각축이 교차하지 않는 경우, 기준점은 방위각축에 앙각축을 직각 투영(right-angle projection)함으로써 산출할 수 있다. 일반적으로 VLBI 안테나의 방위각축과 앙각축은 3D circle fitting에 의해서 결정되며, 결정된 두 축의 교차점을 통해 VLBI 안테나의 기준점을 추정할 수 있다(Lösler and Hennes 2008; Lösler, 2009).
본 연구에서는 VLBI 안테나의 기준점을 결정하기 위하여 VLBI 안테나 측면에 반사타겟을 부착하고, 토탈스테이션 측량을 통해 획득한 관측값을 대상으로 3D circle fitting을 수행하고자 하였다. 토탈스테이션 측량으로 획득된 관측점 분포에 적합한 3D circle fitting 방법을 찾기 위하여 관측점 결과를 대상으로 두 가지의 3D circle fitting 방법론을 적용하고, 그 정확도를 비교·분석하였다. 본 연구에서 제안한 첫 번째 3D circle fitting 방법론은 평면상의 관측점 평행이동 및 정규직교 좌표계(orthonormal coordinate system)의 설정을 기반으로 한다. 두 번째 3D circle fitting 방법론은 실수차원 Rn과 복소수차원 Cn간의 unitary 좌표변환(unitary coordinate transformation)을 활용하였다. 상기 두 가지 방법론에 따른 3D circle fitting 정확도를 분석하여 정밀한 결과를 산출하는 한 가지 방법론을 선정하고, 해당 방법론을 활용하여 최종적인 VLBI 안테나 기준점을 산출하였다. 이를 위해, 3D circle fitting으로 산출된 결과를 활용하여 VLBI 안테나의 방위각축과 앙각축에 대한 최적의 방정식을 구성하고, 두 방정식간의 교차점을 계산하여 콜로케이션 측량을 위한 VLBI 안테나의 기준점을 결정하였다.
2. 연구대상 및 방법
본 연구에서는 VLBI 안테나 측면에 부착된 총 3개의 반사타겟에 대하여 우주측지관측센터 내의 고정필라 3개소에서 토탈스테이션 측량을 수행하였다. VLBI 안테나 측면에 부착된 총 3개의 반사타겟은 Fig. 1과 같이 구성되었다. 본 논문에서는 VLBI 안테나 측면에 부착된 반사타겟 중 가장 상단에 부착된 타겟을 첫 번째 타겟, 중앙에 부착된 타겟을 두 번째 타겟, 가장 하단에 부착된 타겟을 세 번째 타겟이라 명하였다. 방위각축에 대한 측정결과를 수집하는데 있어서 상기 총 3개의 타겟이 모두 사용되었으며, 그 중 첫 번째 타겟은 방위각축 뿐만 아니라 앙각축에 대한 측정결과를 수집하는 목적으로 활용되었다.
Fig. 1.The reflective targets attached to the VLBI antenna
Fig. 1과 같이 VLBI 안테나에 부착된 반사타겟에 대한 측량에 앞서, Fig. 2와 같이 우주측지관측센터 내의 고정필라를 활용하여 지역좌표계를 구축하였다. 이때, Fig. 2에서 표시된 필라 1번을 원점으로 설정하고, 필라 2번을 X축 방향, 필라 1번의 직각방향을 Y축으로 하는 지역좌표계를 설정하였다. 또한, 초기측량을 실시하여 지역좌표계 상에서 고정필라 3개소의 위치좌표를 획득하였다. 이는 VLBI 안테나의 회전 시 시야확보의 제한에 따른 토탈스테이션 이동관측이 가능하도록 하기 위함이다.
Fig. 2.Total station surveying for the reflective targets of VLBI antenna
본 연구에서는 3D circle fitting을 활용하여 VLBI 안테나의 방위각축과 앙각축을 결정하고, VLBI 안테나의 기준점으로써 두 축간의 교차점을 산출하는 연구를 수행하고자 하였다. 이를 위해, Fig 3과 같이 VLBI 안테나가 하나의 축을 중심으로 회전할 경우, 나머지 축은 고정된 상태에서 반사타겟에 대한 토탈스테이션 측량을 수행하였다. 이때, VLBI 안테나에 부착된 모든 반사타겟의 궤적은 방위각축과 앙각축에 대하여 circle을 형성하도록 계획하였다. 각각의 필라에서 방위각축에 대한 총 424점의 반사타겟 관측데이터를 획득하였으며, 앙각축에 대한 총 431점의 반사타겟 관측데이터를 수집하였다. Fig. 3은 상기의 수집된 관측점에 대하여 3D circle fitting을 수행한 중심점 결과를 활용하여, VLBI 안테나의 방위각축과 앙각축을 결정하는 과정을 나타내고 있다. 본 논문에서는 상기과정으로 획득한 관측점 분포에 적합한 3D circle fitting을 수행하기 위하여 두 가지 방법론을 비교·분석하였으며, 그 내용은 다음과 같다.
Fig. 3.Measurement scheme for determination of VLBI antenna reference point
3. 3D Circle Fitting 방법론
본 연구에서는 공간상에 다수 분포된 관측점에 대한 3D circle fitting 과정을 수행하기 위한 두 가지의 방법론을 비교·분석하였다. 이번 연구에서는 선형대수(linear algebra) 분야의 최소제곱 회귀분석(linear squares regression)을 응용하고자 하였다. 이와 더불어, 3D circle fitting 과정을 수행하기 위하여 최소제곱법 추정법(least square approximations), Gram-Schmidt 직교화 알고리즘(Gram-Schmidt orthogonalization algorithm), QR 분해(QR decomposition)를 활용하고, 나아가 실수 차원 Rn과 복소수 차원 Cn사이의 unitary 변환을 다루고자 하였다.
본 연구의 목적은 공간상에 다수 분포된 관측값에 대한 3D circle fitting을 수행하고, 그 3D circle의 중심점 위치와 반지름의 크기를 산출하는 것이다. 이와 더불어, 3D circle fitting 정밀도를 향상시키기 위하여 관측점과 피팅 결과간의 거리를 잔차로 간주하고, 통계학적 신뢰구간 95%(1.96σ)을 적용하여 과대오차의 제거 및 반복계산을 수행하였다. 이때, 관측점과 3D circle fitting 모델간의 잔차를 계산하기 위하여 3D circle fitting 결과가 위치하는 평면의 방정식을 결정하고, 최소제곱법을 활용하여 해당 평면의 법선벡터를 산출하였다. 3차원 공간상에 위치하는 평면의 방정식은 Eq. (1)과 같다.
Eq. (1)에서 최소제곱법을 통해 평면의 법선벡터를 의미하는 (A, B, C)에 대한 최적의 해를 구할 수 있다. 본 논문에서 활용된 두 가지 3D circle fitting 방법론의 기본이론 및 주요 과정은 다음과 같다.
3.1 첫 번째 방법론
본 연구에서 공간상에 분포된 관측점에 대한 3D circle fitting을 수행하기 위한 첫 번째 방법은 일반적인 접근법으로써, 평면상의 관측점 평행이동 및 관측점의 3D circle fitting 결과가 위치하는 평면의 정규직교 좌표계 설정을 기반으로 한다. 이는 평면의 정규직교 좌표계에서 3D circle의 거리와 좌표가 정의된다면, 좌표변환에 의한 새로운 좌표계 상에서도 관측점과 fitting 모델간의 거리계산이 가능하기 때문이다. 첫 번째 방법론에 의한 3D circle fitting은 다음과 같은 과정을 통해 수행되었다.
우주관측센터 내의 고정필라 3개소에서 토탈스테이션 측량을 수행하여 총 3개의 반사타겟에 대한 (X, Y, Z)축 위치좌표를 취득하고, 그 결과를 행렬값으로 저장한다. 각 축에 대한 평균값을 기준으로 평면을 위치시키기 위하여, 수집된 관측점의 (X, Y, Z)축에 대하여 각각의 평균값을 산출하고, 수집된 관측값에서 평균값을 차감한다. 평행이동된 관측점 행렬에 대하여 QR 분해를 수행한다. 이때, 평행이동된 관측점 행렬 A가 전열계수를 가지는 m × k 행렬이면, Eq. (2)와 같이 QR 분해를 통해 인수분해 될 수 있다.
Eq. (2)에서 행렬 Q의 각 열벡터는 실수 차원 R3에 대한 정규직교 기저(orthonormal basis)가 되며, 각 축에 대한 평균값을 차감함으로써 평행이동된 관측점 행렬 A는 행렬 Q와 행렬 R의 곱으로써 표현될 수 있다. 상기 결과에서, 행렬 R의 마지막 행벡터가 0(zero)가 되면, 관측점 행렬 A의 각각의 열벡터는 행렬 Q의 첫 번째 열벡터와 두 번째 열벡터의 선형결합(linear combination)으로 표현된다. 이는 행렬 Q의 첫 번째 열벡터와 두 번째 열벡터가 관측점을 포함하는 평면에 대한 정규직교 기저를 형성함을 의미한다. 따라서, 평행이동된 관측점 행렬 A의 임의의 n번째 열벡터는 R1nq1 + R2nq2과 같이 표현될 수 있다. 여기서, q1과 q2는 행렬 Q의 첫 번째와 두 번째 열벡터를 나타낸다. 결론적으로, 이것은 {(R1n, R2n)}의 결과가 2차원 평면의 circle 상에 위치하는 관측점들의 좌표가 됨을 의미한다. 중심점 (x0, y0)와 반지름 r을 갖는 circle 상에 위치하는 평면의 관측점들은 Eq. (3) 또는 Eq. (4)를 만족하여야 한다.
Eq. (4)에서 a = 2x0, b = 2y0 이고, 과 같다. Eq.(4)에서 (a, b, c)를 산출하기 위한 최소제곱법을 수행함으로써, circle을 구성하는 파라미터인 (x0, y0, r)에 대한 최적의 해를 구할 수 있다. Eq. (5)는 최소제곱법으로 (a, b, c)를 산출하기 위하여 Eq. (4)를 행렬식으로 구성한 것이다.
Eq. (5)에서 n은 계산에 사용된 관측점의 수를 나타낸다. 최소제곱법으로 계산된 Eq. (5)의 (a, b, c)값을 활용하여, 평면에 최적으로 피팅된 circle에 대한 중심점 좌표와 반지름을 Eq. (6)과 같이 산출할 수 있다.
Eq. (6)에서 (x0, y0)는 circle의 중심점의 좌표이고, r은 circle의 반지름을 나타낸다. 평행이동된 평면의 중심점 좌표는 (x0, y0)이고, 이것은 평행이동 된 평면상의 관측점 행렬 A중에 x0q1 + y0q2으로 구성된 열벡터의 (x0, y0) 항과 동일하다. 첫 번째 방법론에서는 (X, Y, Z) 축에 대한 각각의 평균값을 차감함으로써, 관측점의 평행이동을 수행하였다. 따라서, 평행이동이 되기 전 평면의 중심점 좌표는 최소제곱법으로 피팅이 수행된 circle의 (x0, y0) 항에 정규직교 기저 (q1, q2) 항을 곱하고, 각 축에 대한 관측점의 평균값을 더해준 값이 된다. 이때, 산출된 반지름 값은 평행이동에 관계없이 항상 일정한 값을 유지한다. 본 연구에서는 QR 분해를 통해 산출된 행렬 Q의 세 번째 열벡터 q3는 첫 번재 열벡터 q1과 두 번째 열벡터 q2와 서로 수직적인(perpendicular) 관계임을 확인할 수 있었다. 그 결과, 세 번째 열벡터 q3는 평면의 법선벡터가 됨을 알 수 있다. 관측점의 (X, Y, Z)축에 대한 각각의 평균값을 Avg라는 3 × 1 크기의 행렬로 정의하면, 그 평균값이 위치하는 평면의 방정식은 Eq. (7)과 같이 표현될 수 있다.
Eq. (7)에서 (q3x, q3y, q3z)는 행렬 Q의 세 번째 열벡터이며, (X, Y, Z)축 방향으로의 평면의 법선벡터와 같다. (Avgx, Avgy, Avgz) 관측점의 (X, Y, Z)축에 대한 평균값이다. Eq. (7)에서 제시된 평면의 방정식을 Eq. (1)과 같은 형식으로 변형하면, 관측점들을 fitting 하여 계산된 circle이 위치하는 평면의 법선벡터 (A, B, C)를 결정할 수 있다.
3.2 두 번째 방법론
본 연구에서 공간상에 분포된 관측점에 대한 3D circle fitting 과정을 수행하기 위한 두 번째 방법론은 unitary 좌표변환을 기반으로 한다. 두 번째 방법론의 목적은 관측점이 위치하는 평면을 찾고, 그 평면을 수평이 되도록 회전시키는 것에 있다. 그 이유는 평면을 수평으로 회전시킴으로써, 회전된 관측점의 좌표가 Z축 방향의 좌표값이 일정한 (x, y) 좌표계 상에서 표현될 수 있도록 하기 위함이다. 두 번째 방법론에 의한 3D circle fitting은 다음과 같은 과정을 통해 수행되었다.
첫 번째 방법론과 동일하게 VLBI 안테나에 부착된 반사타겟에 대한 (X, Y, Z)축 방향에 대한 위치좌표를 취득하고, 그 결과를 행렬값으로 저장한다. 수집된 관측점에 최적으로 피팅되는 평면을 찾기 위하여, 최소제곱법을 통해 Eq. (1)과 같은 평면방정식에 대한 법선벡터 (A, B, C)의 최적의 해를 계산한다. 최소제곱법을 적용하기 위하여 첫 번째 방법론과 동일하게 Eq. (1)의 평면방정식 형태를 Eq. (8)과 같이 행렬식으로 구성한다. 이때, 평면의 법선벡터 (A, B, C)에 대한 최적의 해는 Eq. (9)와 같이 최소제곱법으로 구할 수 있다.
Eq. (8)에서 (xi, yi, zi)은 관측점에 대한 n개의 (X, Y, Z)축 위치좌표를 나타낸다.
Eq. (9)을 통해 관측점들이 위치하는 평면의 법선벡터가 계산되고, 최종적으로 Eq. (1)과 같은 평면의 방정식이 결정된다. 상기 과정으로 산출된 평면을 공간상에서 수평이 되도록 회전시킨다. 평면을 수평으로 회전시킴으로써, 회전된 관측점이 3차원 좌표계가 아닌 (x, y)좌표계 상에서 표현될 수 있도록 한다. Eq. (9)를 통해 계산된 평면의 법선벡터를 N이라 하면, 특정한 unitary 행렬 U를 곱해줌으로써 행렬 UN은 수평으로 회전된 평면에 대하여 수직관계를 형성하게 된다. 이때, 행렬 UN이 수직이라는 의미는 수평으로 위치한 평면에서 Z축 방향의 좌표값 만을 갖는 행렬을 의미한다. 본 연구에서는 unitary 행렬 U를 산출하여 평면의 법선벡터 N에 곱해줌으로써, 행렬 UN이 수평으로 회전된 평면에 대하여 수직관계를 형성하도록 하였다. 이때, 산출되는 unitary 행렬 U는 Eq. (10)의 조건을 만족하여야 한다(Wikipedia, 2015).
Eq. (10)에서 In은 단위행렬이고, U*는 로 정의된다. 이때, U*는 U의 에르미트 전치(Hermitian transpose) 행렬과 같다. unitary 행렬 U를 산출하기 위하여, 최소제곱법으로 계산된 평면의 법선벡터 N에 대하여 Eq. (11)과 같이 QR 분해를 수행하였다. 첫 번째 3D circle fitting 방법론에서는 각 축에 대한 평균값이 차감된 관측값에 대하여 QR 분해를 수행하는 반면, 두 번째 3D circle fitting 방법론에서는 평면의 법선벡터를 최소제곱법으로 결정한 후, 그 법선벡터를 대상으로 QR 분해를 수행하였다.
Eq. (11)에서 N은 3 × 1크기의 행렬, V는 3 × 3크기의 행렬, S는 3 × 1크기의 열벡터이다. 이때, 행렬 N에 대한 QR 분해의 결과로써 산출된 unitary 행렬 V는 Eq. (12)와 같은 관계가 성립되어야 하며, 열벡터 S는 (1, 0, 0) 과 같은 단위벡터(unit vector)의 배수가 되어야 한다.
본 연구의 목적은 평면의 법선벡터 N에 unitary 행렬 U를 곱함으로써 수평으로 위치한 평면에 대한 수직벡터, 즉 수평이 되는 평면에서 오직 Z축에 대한 좌표값 만을 갖는 벡터를 산출하는 것이다. 그러나 Eq. (12)의 결과로써, unitary 행렬 V와 평면의 법선벡터 N의 곱이 단위벡터 (1, 0, 0)의 배수가 됨을 확인할 수 있다. 따라서, Eq. (11)의 결과로 산출된 unitary 행렬 V의 행을 재배열함으로써, 평면의 법선벡터 N이 수직벡터가 되기 위한 unitary 행렬 U를 산출한다. 3 × 3 크기인 행렬 V의 첫 번째 행렬의 값을 마지막 행으로 이동시킴으로써, 구하고자 하는 최종적인 unitary 행렬 U를 산출할 수 있다. 이때, 최종적으로 산출된 unitary 행렬 U와 평면의 법선벡터 N과의 곱의 결과는 단위벡터 (0, 0, 1)의 배수형태가 되어야 하며, 이는 수평으로 위치한 평면에 Z축 방향의 좌표값 만을 가짐을 의미한다. 또한, 산출된 행렬 U가 unitary 행렬이라는 사실은 Eq. (10)과 같이 행렬 U에 행렬 U의 에르미트 전치행렬을 곱한 결과가 단위행렬임을 계산해봄으로써 확인할 수 있다. 상기 과정으로 산출된 unitary 행렬 U는 평면의 법선벡터 N을 수직벡터로 변환시키는 역할을 수행한다. 이는 unitary 행렬 U를 곱해줌으로써 수평으로 위치한 평면과 관측점 사이의 거리가 변하지 않은 채, 이동 및 회전과 같은 변화를 일으킬 수 있기 때문이다.
다음 과정은 최종 산출된 행렬 U를 초기 관측값을 저장한 행렬에 곱해줌으로써, 기존 관측점들에 대한 unitary 좌표변환을 수행한다. unitary 좌표변환이 수행된 관측점들은 수평면 상에 위치하게 되며, 관측점들의 좌표 중 Z축에 대한 좌표값이 일정한 상수를 나타낸다. 이는 관측점을 3차원이 아닌 일반적인 2차원의 (x, y) 좌표계 상에서 고려할 수 있음을 의미한다. 관측점의 Z축에 대한 좌표값을 제외한 (x, y) 좌표들은 2차원 평면상에 위치하고 있으며, 이러한 (x, y) 좌표들을 활용하여 최소제곱법에 의한 circle fitting 과정을 수행할 수 있다. circle fitting 수행에 있어서, 첫 번째 방법과 동일하게 (x, y) 좌표들을 대상으로 Eq. (5)와 같은 행렬식을 구성하고, 최소제곱법을 수행하여 최적의 (a, b, c) 값을 계산한다. 수평으로 회전된 평면에서 fitting을 수행한 circle의 중심점 좌표와 반지름 역시 첫 번째 방법과 동일하게 Eq. (6)을 통해 산출될 수 있다. Eq. (6)을 통해 산출된 circle의 중심점 좌표 (x0, y0)에 unitary 좌표변환을 수행함에 따라 일정한 상수로 산출된 Z축에 대한 좌표값을 추가하면, 회전된 평면에서 피팅된 circle의 3차원 중심점 좌표를 결정할 수 있다.
unitary 좌표변환에 의하여 수평으로 회전되기 전 평면에서의 circle 중심점 좌표를 산출하기 위하여, 상기 과정으로 산출된 중심점 좌표 결과에 행렬 U*를 곱해줌으로서 다시 회전시킨다. Eq. (10)에 의해서 행렬 U*는 unitary 행렬 U의 역행렬 U−1와 같다. 이는 수평으로 회전된 평면의 circle 중심점 좌표를 다시 원래의 관측점들이 지닌 회전방향으로 복구하기 위하여 중심점 좌표 결과에 행렬 U의 역행렬을 곱한다는 의미와 같다. 중심점 좌표에 행렬 U*를 곱하는 이유는 Eq. (10)에서 확인할 수 있듯이, U × U* 혹은 U* × U의 결과가 단위행렬이 되기 때문이다. 이전에는 관측점에 unitary 행렬 U를 곱하여 관측점이 놓인 평면을 수평으로 회전시키는 결과를 얻을 수 있었다. 반면에, 다시 circle 중심점 결과에 행렬 U*를 곱하게 되면 U × U* = U* × U = I의 관계가 되어, 이전의 unitary 행렬에 의한 이동 및 회전의 효과는 사라지게 된다.
상기와 같은 과정에 따라, 두 번째 방법으로 최소제곱법에 의해 산출된 법선벡터를 지닌 Eq. (1) 형태의 평면방정식을 결정할 수 있으며, unitary 좌표변환에 의하여 평면상에 위치하는 circle의 중심점 좌표와 반지름을 계산할 수 있다.
본 연구에서는 VLBI 안테나 측면의 반사타겟에 대한 관측값을 활용한 두 가지 3D circle fitting 방법론을 제시하였다. 첫 번째 방법에서는 평면상의 관측점 평행이동 및 평면의 정규직교 좌표계 설정을 기반으로 3D circle fitting 알고리즘을 구현한 반면, 두 번째 방법에서는 관측점의 이동 및 회전을 위한 unitary 좌표변환을 활용하여 3D circle fitting 알고리즘을 구현하였다.
3.3 3D circle fitting 정확도의 향상을 위한 알고리즘
이 장에서는 공간상에 분포된 다수의 관측점을 대상으로 3D circle fitting을 진행하는데 있어서, 그 fitting의 정확도를 향상시키기 위한 알고리즘에 대하여 연구하였다. 본 연구에서는 관측점을 대상으로 수행한 3D circle fitting의 결과로써, 3 차원 공간상의 평면방정식의 결정과 그 평면상의 관측점에 대하여 최소제곱법을 통해 계산된 3D circle fitting 결과가 산출된다. 이때, 산출된 3D circle fitting 결과의 정확도를 향상시키기 위하여 관측점과 circle fitting 결과가 위치하는 평면사이의 거리를 잔차로 간주하고, 통계학적 분석을 통해 과대오차로 분류되는 자료구조상의 해당 관측점 위치를 찾고, 이를 소거한 관측점을 대상으로 다시 반복적으로 fitting하는 과정을 수행하였다.
상기 과정에서 잔차를 계산하는 과정은 관측점과 평면 사이의 거리를 Principal Components Analysis(이하 PCA)을 활용한 Total Least Squares(이하 TLS)을 통해 최적으로 추정하는 방법으로 수행되었다. 이때, TLS 방법은 관측점과 최적으로 결정된 평면 사이의 직교거리(orthogonal distance)를 산출하는 과정으로 구체화될 수 있다. Eq. (13)은 본 연구에서 사용된 TLS 방법을 수학적으로 표현한 식이다.
Eq. (13)의 목적은 J의 최소값을 산출하는 것이며, d는 직교거리, N은 표본(samples)의 수를 나타낸다. TLS의 실제적인 계산과정은 고유값(eigenvalue), SVD, PCA 등과 같은 계산방법을 통해 구현될 수 있다. 특히, 직선과 평면사이의 최적거리를 산출하는데 있어서 PCA방법이 광범위하게 활용되고 있다. PCA는 수치해석 공학분야에서 데이터 처리와 차원축소기법(dimension-reduction technique)으로 다양하게 활용되고 있다. PCA는 파생 변수(derived variable)가 최대 분산을 포함할 수 있도록 원래 변수들의 선형결합을 찾는 방법이다(Zou et al., 2006). PCA는 데이터 행렬의 Singular Value Decomposition(이하 SVD)을 통해 계산될 수 있다. 구체적으로, 데이터 행렬 X가 관측값의 수 n과 변수들의 수 p로 구성된 n × p크기이고, 행렬 X의 열평균값(column mean)을 모두 0(Zero)라고 가정하면, 행렬 X의 SVD는 Eq. (14)와 같이 표현될 수 있다.
Eq. (14)에서 Z=UD는 Principal Components(이하 PC), V의 열은 PS와 대응되는 로딩값(loading)을 나타내며, PC의 i 번째 분산값은 과 같다. Eq. (14)를 통해 산출된 PS 계수값, 즉 로딩값을 활용하여 관측점과 3D circle fitting에 의하여 산출된 평면상의 직교거리를 계산하였다. 본 연구에서는 3D circle fitting의 정확도를 향상시키기 위하여 상기와 같은 방법으로 PCA 방법을 통해 관측점과 평면 사이의 직교거리를 산출하고, 이를 잔차로 간주하였다. 산출된 잔차에 대하여 통계학적 신뢰구간 95%(1.96σ)을 적용하고, 과대오차를 제거하는 과정을 수행 후 다시 반복적으로 3D circle fitting 과정을 수행함으로써 fitting 정확도를 향상시켰다. 반복계산시 통계분석을 실시하여 잔차에 대한 표준편차가 일괄적으로 1.5mm이하로 산출되면, 해당 반복계산을 통해 계산된 3D circle fitting 결과를 최종적인 결과로써 판단하였다. 이때, 반복계산 종료기준으로 설정한 1.5mm의 정확도는 기존에 수행된 다수의 연구에서 VLBI 안테나의 기준점이 1mm∼2mm 이내의 정확도로 산출된 것에 기인하여 결정하였다. 다만, 3D circle fitting 수행 시 1.5mm 이내로 수렴하지 않는 경우에 한해서는 가장 정밀하게 수렴될 때의 정확도 수치를 최종 결과로써 결정하였다.
4. 연구결과 분석
이 장에서는 상기의 두 가지 3D circle fitting 방법론을 적용하여 방위각축에 대한 fitting 결과의 정확도를 비교·분석하였다. 또한 두 가지 방법을 적용하여 산출된 정확도를 비교하고, 더욱 정밀한 결과가 산출되는 방법론을 선정하여 향후 VLBI 안테나의 기준점을 산출하는 과정에 활용하고자 하였다.
4.1 3D circle fitting 방법론에 따른 정확도 평가
본 연구에서는 VLBI 안테나의 방위각 축에 대하여 3D circle fitting을 수행하고, 그 결과에 대한 통계학적 분석을 실시하여 두 가지 방법론에 따른 정확도를 평가하였다. 3D circle fitting 수행 시 PCA를 활용하여 관측점과 fitting 평면 간의 거리를 산출하고, 그 결과를 잔차로 간주하였다. 잔차의 통계학적 분석을 통해 과대오차를 소거하고, 잔차의 표준편차가 1.5mm 이내의 범위에 수렴할 때까지 반복적으로 3D circle fitting을 수행하였다.
Fig. 4 ∼ Fig. 6은 첫 번째 방법론을 활용하여 VLBI 안테나의 측면에 부착된 총 3개의 반사타겟에 대하여 3D circle fitting을 수행한 결과이다. 이때, fitting에 사용된 관측값은 VLBI 안테나를 방위각축에 대하여 circle 궤적을 형성하도록 회전시키고, 3개소의 고정필라에서 반사타겟에 대한 토탈스테이션 측량을 수행하여 획득된 결과를 활용하였다. 각 타겟에 대하여 3D circle fitting으로 산출된 중심점 좌표 결과는 향후 VLBI 안테나의 방위각축을 결정하는데 활용하고자 하였다.
Fig. 4.3D circle fitting results for 1st target on the azimuth-axis by the first methodology
Fig. 5.3D circle fitting results for 2nd target on the azimuth-axis by the first methodology
Fig. 6.3D circle fitting results for 3rd target on the azimuth-axis by the first methodology
Fig. 4는 VLBI 안테나 측면에 부착된 3개의 타겟 중 가장 상단에 위치한 타겟을 측정한 관측값에 대하여 첫 번째 방법론을 활용하여 3D circle fitting을 수행한 결과이다. 총 3회의 반복계산을 통해 잔차에 대한 표준편차가 1.3mm로 수렴하였다. 3D circle fitting 결과에 따른 중심점 좌표는(37.6453m, 23.4974m, 17.8240m) 와 같다.
Fig. 5는 VLBI 안테나 측면에 부착된 3개의 타겟 중 중앙에 위치한 타겟을 측정한 관측값에 대하여 첫 번째 방법론으로 수행된 3D circle fitting 결과이다. 1회의 반복계산만으로 최종적인 3D circle fitting 결과를 산출할 수 있었으며, 잔차에 대한 표준편차는 1.2mm로 수렴하였다. 3D circle fitting 결과에 따른 중심점 좌표는(37.6432m, 23.4982m, 16.6854m)로 산출되었다.
Fig. 6은 VLBI 안테나 측면에 부착된 3개의 타겟 중 가장 하단에 위치한 타겟을 측정한 관측값을 활용하여 첫 번째 방법론으로 3D circle fitting 결과를 수행한 결과이다. 하단에 위치한 타겟에 대한 결과는 3D circle fitting 반복계산 종료기준으로 설정한 1.5mm 이내의 표준편차 범위에 수렴하지 않고, 발산하는 결과를 나타내었다. 따라서 가장 정밀한 정확도로 수렴될 때의 결과를 3D circle fitting의 최종결과로 판단하였으며, 그 결과 잔차에 대한 표준편차가 2.1mm일 때 가장 정밀한 정확도로 수렴된다는 것을 확인할 수 있었다. 3D circle fitting 결과에 따른 중심점 좌표는 (37.6426m, 23.4960m, 13.5556m)로 결정되었다. VLBI 안테나의 방위각 축에 대하여 첫 번째 방법론으로 계산된 각 타겟의 중심점 좌표결과는 Table 1과 같고, 잔차의 통계학적 분석결과는 Table 2에 제시하였다.
Table 1.The center point coordinates calculated by the first methodology for targets on the azimuth-axis
Table 2.Statistical indicators of the residuals calculated by the first methodology for targets on the azimuth-axis
Fig. 7 ∼ Fig. 9는 두 번째 방법론을 활용하여 VLBI 안테나의 측면에 부착된 총 3개의 반사타겟에 대하여 3D circle fitting를 수행한 결과이다. 이때, fitting에 사용된 관측값은 상기 과정과 동일하게, VLBI 안테나의 방위각축을 중심으로 circle 궤적을 형성하는 반사타겟에 대한 측정결과를 활용하였다. 또한, 상기의 3D circle fitting 과정을 통해 산출된 중심점 좌표의 결과는 향후 VLBI 안테나의 방위각축을 결정하는데 활용된다.
Fig. 7.3D circle fitting results for 1st target on the azimuth-axis by the second methodology
Fig. 8.3D circle fitting results for 2nd target on the azimuth-axis by the second methodology
Fig. 9.3D circle fitting results for 3rd target on the azimuth-axis by the second methodology
Fig. 7은 두 번째 방법론을 활용하여 VLBI 안테나 측면에 부착된 3개의 타겟 중 가장 상단에 위치한 타겟을 측정한 관측값에 대하여 3D circle fitting을 수행한 결과이다. 총 3회의 반복계산을 통해 잔차에 대한 표준편차가 1.2mm로 수렴하였고, 3D circle fitting 결과에 따른 중심점 좌표의 결과는 (37.6442m, 23.4973m, 17.8244m)로 산출되었다. 첫 번째 타겟을 대상으로 첫 번째 방법론을 활용하여 산출된 잔차의 평균과 표준편차가 각각 1.6mm와 1.3mm 수준인 반면, 두 번째 방법론을 적용하여 산출된 결과는 1.5mm와 1.2mm로써 더욱 정밀하게 산출됨을 확인할 수 있었다.
Fig. 8은 두 번째 방법론을 활용하여 VLBI 안테나 측면에 부착된 3개의 타겟 중 중앙에 위치한 타겟을 측정한 관측값에 대하여 3D circle fitting을 수행한 결과이다. 총 2회의 반복계산으로 최종적인 3D circle fitting 결과를 산출할 수 있었으며, 잔차에 대한 표준편차는 0.9mm로 수렴하였다. 3D circle fitting 결과에 따른 중심점 좌표의 결과는 (37.6428m, 23.4985m, 16.6851m)로 산출되었다. 두 번째 타겟을 대상으로 첫 번째 방법론을 활용하여 산출된 잔차의 평균과 표준편차가 각각 1.7mm와 1.2mm 수준인 반면, 두 번째 방법론을 적용한 잔차의 평균과 표준편차가 각각 1.3mm와 0.9mm로 산출됨으로써 더욱 정밀한 정확도로 3D circle fitting이 수행되었음을 확인할 수 있다.
Fig. 9는 두 번째 방법론을 활용하여 VLBI 안테나 측면에 부착된 3개의 타겟 중 가장 하단에 부착한 타겟을 측정한 관측값에 대하여 3D circle fitting을 수행한 결과이다. 첫 번째 방법론을 활용한 세 번째 타겟에 대한 3D circle fitting 결과가 본 연구에서 제시한 반복계산 종료기준으로 설정한 1.5mm 이내의 표준편차 범위에 수렴하지 않는 결과를 보이는 반면, 두 번째 방법론의 결과는 1.4mm의 표준편차로써 해당 기준에 적합한 결과로 산출됨을 알 수 있다. 두 번째 방법론을 활용한 3D circle fitting 결과에 따른 중심점 좌표의 결과는 (37.6431m, 23.4960m, 13.5553m)로 결정되었다. 두 번째 방법론으로 계산된 VLBI 안테나의 방위각축에 대한 각 타겟의 중심점 좌표결과는 Table 3과 같고, 잔차의 통계분석 결과는 Table 4에 제시하였다.
Table 3.The center point coordinates calculated by the second methodology for targets on the azimuth-axis
Table 4.Statistical indicators of the residuals calculated by the second methodology for targets on the azimuth-axis
Table 5는 각 타겟에 대하여 첫 번째와 두 번째 방법론을 활용하여 산출된 3D circle fitting의 중심점 좌표의 편차를 분석한 결과이다. Table 5에서 각 중심점 좌표의 편차를 비교한 결과, 첫 번째 타겟에 대한 X축 방향의 좌표편차가 1.1mm로 가장 크게 나타났고, 나머지 결과는 0mm ∼ 0.5mm 사이의 근소한 편차를 보이고 있음을 확인할 수 있다. 이는 과대오차를 소거함으로써 fitting 정확도를 향상시키는 과정을 통해 두 가지 방법론에 의하여 산출된 중심점 좌표결과가 유사한 결과로 계산되었음을 의미한다.
Table 5.Comparison of the center point coordinates calculated by the first methodology and the second methodology
Table 6은 두 가지 방법론을 활용하여 계산된 잔차에 대한 통계분석 결과를 비교한 것이다. Table 6에서 확인할 수 있듯이, 첫 번째 방법론보다 두 번째 방법론을 통해 산출된 통계지표 결과가 전반적으로 양호한 결과를 나타내고 있다. 특히, 세 번째 타겟의 통계지표 결과에서 두 번째 방법론을 통해 산출된 평균편차와 표준편차가 각각 2.6mm와 1.4mm인 반면, 첫 번째 방법론을 통해 산출된 평균편차와 표준편차가 각각 3.3mm와 2.1mm의 결과로 산출되었다. 상기 결과 중 첫 번째 방법론을 통해 산출된 2.1mm의 표준편차 결과는 본 연구의 반복계산 종료기준으로 제시한 1.5mm 이내의 표준편차 범위를 초과하고 있음을 알 수 있다. 또한, 과대오차를 소거하여 3D circle fitting의 정확도를 향상시키는 계산과정에 있어서, 두 번째 방법론이 첫 번째 방법론보다 더욱 많은 반복횟수로 계산되었음을 확인할 수 있었다. 이러한 결과는 두 번째 방법론에서 더욱 안정적인 계산 프로세스를 통해 과대오차를 검출하는 과정을 수행하였음을 보여준다. 따라서 본 연구에서는 두 번째 방법론에 의한 3D circle fitting 방법을 VLBI 안테나의 기준점 산출에 적합한 방법으로 선정하였다.
Table 6.Comparison of the statistical indicators calculated by the first methodology and the second methodology
4.2 VLBI 안테나 기준점 산출
본 연구에서는 상기 정확도 분석에 따라 VLBI 안테나의 기준점 산출에 대한 3D circle fitting 방법으로 두 번째 방법론을 선정하여 수행하였다. 이번 장에서는 3개의 반사타겟 관측점을 활용한 3D circle fitting 결과의 중심점 결과를 이용하여 방위각축을 표현하는 직선의 방정식을 산출하고, 그 결과를 VLBI 안테나 기준점 산출에 이용하고자 하였다. 또한 앙각축에 대한 관측점들을 활용하여 3D circle fitting을 수행하고, 그 결과로 획득한 중심점 좌표들을 활용하여 최소제곱법에 의한 최적의 평면의 방정식을 산출하였다. 최종적으로 Orthogonal Linear Regression(OLR) 방법을 활용하여 산출된 방위각축에 대한 직선의 방정식과 최소제곱법으로 산출된 앙각축에 대한 평면방정식의 교차점을 VLBI 안테나의 기준점으로써 활용하였다.
OLR은 예측 변수의 측정 오차의 영향을 보정하기 위한 표준 선형 회귀기법 중 하나이다. OLR은 측정 오차의 관점에서 도출되며, Eq. (15)와 같이 선형적 관계에 있는 상수 ytrue와 X로 구성된 이론적인 구조로 정의될 수 있다(Carroll and Ruppert, 1996).
Eq. (15)에서 ytrue와 X항은 측정값으로써, 두 결과가 정확하게 측정될 수 있다면 Eq. (15)는 선형적인 관계를 형성하게 된다. 그러나 일반적인 OLR 방법에서는 참값으로 간주되는 관측값 (ytrue, X) 대신, 측정오차가 포함된 관측값에 대한 이론식을 구성하게 된다. Eq. (16)은 측정오차가 포함된 관측값을 표현하고 있다.
Eq. (16)에서 ε와 U는 각각 분산 와 을 포함하는 독립확률변수이다. Eq. (15)와 (16)을 결합하면 Eq. (17)과 같은 회귀분석모델을 획득할 수 있다.
Eq. (17)과 같은 함수식에서 X항이 고정된 미지의 상수항으로 정의되어 있지만, 구조적 측면에서 X항은 측정오차가 포함된 확률변수로써 고려되어야 한다. Eq. (17)의 계수 β1과 β0는 Eq. (18)과 Eq. (19)을 통해 계산될 수 있다.
Eq. (19)에서 이고, 이는 직선의 경사를 나타낸다.
Fig. 10과 같이 VLBI 안테나 측면에 부착된 3개의 반사타겟에 대한 측정값을 대상으로 각각의 3D circle fitting을 수행하고, 그 결과의 중심점 좌표에 대한 OLR을 적용하여 VLBI 안테나의 방위각축에 대한 직선의 방정식을 결정하였다. 3점의 3D circle fitting 중심점 좌표 결과에 대하여 OLR을 통해 최적으로 결정된 직선방정식의 방향벡터는 (0.0008, 0.0025, 4.6689)와 같고, 최종 산출된 직성방정식 형태는 Eq. (20)과 같다.
Fig. 10.Determination of straight line equation for azimuth-axis of VLBI antenna
Fig. 11은 VLBI 안테나를 방위각축을 중심으로 회전시켜 획득한 반사타겟의 관측값에 대한 3D circle fitting 결과를 중첩하여 표현한 그림이다. 또한 Fig. 10에서 계산된 방위각축에 대한 직선의 방정식을 중첩하여 표현하였다. Fig. 11과 같이 방위각축에 대한 3D circle fitting 중심점 좌표 결과를 활용하여 방위각축에 대한 수학적 모델을 정밀하게 구현하였으며, 방위각축에 대한 직선의 방정식과 앙각축에 대한 최적의 평면방정식을 구현하여 그 교차점을 VLBI 안테나의 기준점으로써 계산하였다. VLBI 안테나를 앙각축을 중심으로 회전시켜 획득한 반사타겟의 관측값에 대한 3D circle fitting 결과를 중첩하여 표현하면 Fig. 12와 같다.
Fig. 11.3D circle fitting results for azimuth-axis of VLBI antenna
Fig. 12.3D circle fitting results for elevation-axis of VLBI antenna
Fig. 12와 같은 앙각축에 대한 3D circle fitting 결과를 산출하기 위하여 3개의 고정필라에 토탈스테이션을 설치하고, VLBI 안테나의 앙각축을 중심으로 15°의 각도로 회전시킴으로써 반사타겟을 관측하였다. Fig. 12의 결과는 총 25개의 3D circle fitting 결과로 구성되어 있으며, 각 fitting 결과로부터 중심점 좌표를 획득할 수 있다. 이때, 앙각축에 대한 총 25개의 3D circle fitting 정확도는 모두 표준편차 1.5mm 범위 내에 수렴한 결과를 나타내었다. 상기 과정으로부터 산출된 중심점 좌표 결과들을 활용하여 앙각축에 대한 평면방정식을 계산하고자 하였다. 이를 위해 최소제곱법을 활용하여 정밀한 평면의 법선벡터를 계산하였다.
Fig. 13은 최소제곱법을 통해 최종적으로 결정된 법선벡터를 활용한 앙각축에 대한 평면방정식을 표현하고 있으며, 그 결과는 Eq. (21)과 같다.
Fig. 13.Determination of plane equation for elevation-axis of VLBI antenna
VLBI 안테나의 기준점을 산출하기 위하여 Eq. (20)과 같은 방위각축에 대한 직선방정식과 Eq. (21)에서 계산된 앙각 축에 대한 평면방정식의 교차점을 계산하였다. 이를 위해 방위각축에 대한 직선방정식에서 Eq. (22)와 같이 임의의 매개변수 t를 설정하였다.
방위각축에 대한 직선의 방정식과 앙각축에 대한 평면방정식의 교차점을 p라 하면 Eq. (23)과 같이 직선방정식과 매개변수 t에 의하여 교차점 p를 설명할 수 있다.
Eq. (23)에서 설명된 교차점 P를 Eq. (21)의 평면방정식에 대입함으로써, 매개변수 t의 값을 산출할 수 있으며, 그 결과는 t = 0.71197과 같다. 산출된 매개변수 t의 값을 Eq. (23)에 대입함으로써, VLBI 안테나의 기준점 좌표는 (37.64345m, 23.49786m, 16.67941m)으로 결정되었다. Fig. 14는 VLBI 안테나 기준점을 산출하기 위하여 VLBI 안테나의 방위각축에 대한 직선과 앙각축에 대하여 결정된 평면이 교차하는 지점을 표현한 것이다.
Fig. 14.Determination of reference point for VLBI antenna
5. 결 론
본 연구에서는 세종특별자치시 국토지리정보원 우주측지관측센터에 위치한 측지 VLBI 안테나의 기준점을 산출함으로써, 우주측지기술 간의 콜로케이션을 위한 기반연구를 수행하였다. 이를 위해, VLBI 안테나 측면에 총 3개의 반사타겟을 부착하고, 토탈스테이션 측량을 통해 획득한 관측값을 대상으로 3D circle fitting을 수행하였다. VLBI 안테나의 기준점 결정을 위한 최적의 3D circle fitting을 수행하기 위하여 본 연구에서는 두 가지의 방법론을 제시하고, 이에 대한 처리방법과 정확도를 비교·분석하였다.
본 연구에서 제시한 첫 번째 3D circle fitting 방법론은 평면상의 관측값 평행이동과 정규직교 좌표계의 설정을 기반으로 하며, 두 번째 3D circle fitting 방법론은 관측값의 이동 및 회전을 위한 unitary 좌표변환을 기반으로 한다. 이와 더불어, 3D circle fitting 정확도를 향상시키기 위하여 관측값과 피팅 평면 사이의 직교거리를 PCA 방법을 통해 계산하고, 이를 잔차로 간주하여 95%의 신뢰구간(1.96σ)을 초과하는 관측값을 과대오차로 판단하고 소거하는 반복계산 과정을 수행하였다.
VLBI 안테나의 방위각축을 중심으로 분포된 관측값에 대하여 첫 번째와 두 번째 방법론을 각각 활용하여 3D circle fitting을 수행한 결과, 두 번째 방법론이 보다 정확한 것으로 나타났다. 두 번째 3D circle fitting 방법론을 통해 계산된 표준편차 결과들이 본 연구의 반복계산 종료기준으로 제시한 1.5mm 이내의 표준편차 범위내로 모두 수렴한 반면, 첫 번째 3D circle fitting 방법론을 통해 산출된 표준편차 결과 중 세 번째 타겟에 대한 표준편차 결과가 반복계산 종료기준인 1.5mm를 초과한 2.1mm의 결과로 계산됨을 확인할 수 있었다. 또한, 과대오차를 소거하여 3D circle fitting의 정확도를 향상시키는 반복계산 과정에 있어서, 두 번째 방법론이 첫 번째 방법론보다 더욱 많은 반복횟수로 계산되었음을 확인할 수 있었다. 이러한 결과는 두 번째 방법론에서 더욱 안정적인 계산 프로세스를 통해 과대오차를 검출하는 과정이 수행되었음을 의미하며, 이에 따라 본 연구에서는 두 번째 3D circle fitting 방법론을 VLBI 안테나의 기준점 산출에 적합한 방법으로 선정하였다.
상기 정확도 비교·분석 결과에 따라 본 연구에서는 두 번째3D circle fitting 방법론에 의해 계산된 중심점 좌표결과를 대상으로 OLR 방법을 활용하여 방위각축에 대한 최적의 직선방정식을 산출하였다. 또한 앙각축에 대한 관측값들을 대상으로 3D circle fitting을 수행하고, 그 결과로 계산된 중심점 좌표들을 활용하여 최소제곱법에 의한 최적의 평면방정식을 산출하였다. 최종적으로 VLBI 안테나의 방위각축에 대한 직선과 앙각축에 대하여 피팅된 평면이교차하는 지점을 VLBI 안테나의 기준점 좌표로써 결정하였으며, 그 결과는 지역좌표계 상에서(37.64345m, 23.49786m, 16.67941m)로 계산되었다.
본 연구를 통하여 측지 VLBI 안테나의 기준점 좌표를 산출할 수 있었으며, 본 연구의 결과는 향후 정밀한 ITRF 구축을 위한 우주측지기술간의 콜로케이션 성과산출, VLBI 관측성과의 국가기준점 연계 등 관련 분야에서 활용이 가능할 것으로 기대된다.
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