Journal of Educational Research in Mathematics (대한수학교육학회지:수학교육학연구)

The Korea Society of Educational Studies in Mathematics (대한수학교육학회)
권호 표지

Visual Representations for Improving Proportional Reasoning in Solving Word Problems

비례 추론을 돕는 시각적 모델에 대하여: 초등 수학 교과서의 비례식과 비례배분 실생활 문제를 대상으로

  • Received : 2015.04.08
  • Accepted : 2015.05.07
  • Published : 2015.05.31
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Abstract

There has been a recurring call for using visual representations in textbooks to improve the teaching and learning of proportional reasoning. However, the quantity as well as quality of visual representations used in textbooks is still very limited. In this article, we analyzed visual representations presented in a Grade 6 textbook from two perspectives of proportional reasoning, multiple-batches perspective and variable-parts perspective, and discussed the potential of the double number line and the double tape diagram to help develop the idea 'things covary while something stays the same', which is critical to reason proportionally. We also classified situations that require proportional reasoning into five categories and provided ways of using the double number line and the double tape diagram for each category.

비례 추론에 관한 여러 연구에서 학습 지도 개선 방향으로 시각적 표상의 활용이 제안되어 왔다. 그러나 초등학교 교과서의 비와 비율, 비례식과 비례배분 단원에 사용되고 있는 시각적 표상은 질적인 면에서나 양적인 면에서나 매우 제한되어 있다. 이 논문에서는 교과서의 비례식과 비례배분 내용을 시각적 표상에 주목하여 분석하고, 시각적 표상의 적극적인 활용 방안 마련을 위한 기초적 논의를 전개한다. 이중수직선 모델과 이중테이프 모델은 각각 다중 묶음 관점과 변동 부분 관점에서 비례 맥락에 내재된 공변 관계와 불변성을 인식하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 이 논문에서는 이를 초등학교 교과서의 비례식 및 비례배분 실생활 문제의 유형별로 이중수직선 모델과 이중테이프 모델이 어떻게 기능할 수 있는지를 논의함으로써 예시하였다. 초등 수학 교과서의 비례식 및 비례배분 실생활 문제의 각 유형은 두 관점(다중 묶음 관점과 변동 부분 관점) 및 두 모델(이중수직선 모델과 이중테이프 모델)과 모두 연결될 수 있다. 이 논문의 분석은 비례식과 비례배분 교재 구성 및 수업에서 시각적 표상을 활용하는 구체적인 방안을 마련하는 데 도움이 될 것이다.

Keywords

References

  1. 고은성, 이경화(2007). 초등학교 6학년 학생의 비례 추론 능력 분석: 2명의 사례 연구. 수학교육학연구, 17(4), 359-380.
  2. 교육과학기술부(2011). 수학 6-1. 서울: 두산동아.
  3. 교육부(2014). 수학 6-2 (실험본). 서울: 천재교육.
  4. 교육부(2015a). 수학 6-1. 서울: 천재교육.
  5. 교육부(2015b). 교사용 지도서 수학 6-1. 서울: 천재교육.
  6. 권미숙, 김남균(2009). 초등학교 6학년 학생들의 교과서 비례 문제 해결과 비례 추론에 관한 연구. 한국초등수학교육학회지, 13(2), 211-229.
  7. 권석일, 임재훈(2007). 그림그리기 전략을 통한 초․중등수학의 연립방정식 지도 연결성 강화. 수학교육학연구, 17(2), 91-109.
  8. 김경선, 박영희(2007). 초등학생의 비례적 추론 지도에 관한 연구. 학교수학, 9(4), 447-466.
  9. 김경희, 백희수(2010). 비와 비율 영역에 대한 우리나라와 싱가포르 교육과정 및 교과서 비교-TIMMS 평가목표와 공개문항을 중심으로. 학교수학, 12(4), 473-491.
  10. 김민경(2007). 영상적 표상이 포함된 비례 문제에서 나타난 아동들의 비례적 사고 분석. 수학교육, 46(2), 141-153.
  11. 김수현, 나귀수(2008). 비와 비율 지도에 대한 연구-교과서 재구성을 중심으로. 수학교육학연구, 18(3), 309-333.
  12. 김숙진(2011). 초등학교 학생들의 비례 추론 능력에 시각적 표현이 미치는 영향 -5, 6학년을 대상으로-. 경인교육대학교 교육대학원 석사학위논문.
  13. 박교식(2010). 우리나라 초등학교 수학에서의 비율 정의와 비의 값 정의의 비판적 분석. 수학교육학연구, 20(3), 397-411.
  14. 박정숙(2008). 비와 비례 과제에서 가법적 전략을 사용하는 학생의 문제해결특징: 중학생 2명의 사례 연구. 학교수학, 10(4), 603-623.
  15. 박희옥, 박만구(2012). 비와 비율 학습에서 나타나는 초등학교 학생들의 인식론적 장애 분석. 초등수학교육, 15(2), 159-170.
  16. 박희자, 정은실(2010). 우리나라 교과서와 미국 MIC 교과서의 비와 비율 관련 단원 비교 분석. 한국초등수학교육학회지, 14(3), 769-788.
  17. 신재은(2005). 초등학생을 위한 비 개념 지도 방안. 경인교육대학교 교육대학원 석사학위논문.
  18. 이용률(2010). 초등학교 수학의 중요한 지도 내용. 서울: 경문사.
  19. 장혜원(2002). 초등학교 수학에서 비의 값과 비율 개념의 구별에 대한 논의. 학교수학, 4(4), 633-642.
  20. 정은실(2003a). 비 개념에 대한 교육적 분석. 수학교육학연구, 13(3), 247-265.
  21. 정은실(2003b). 비 개념에 대한 역사적, 수학적, 심리적 분석. 학교수학, 5(4), 421-440.
  22. 정은실(2010). 초등학교 수학 교과에서의 비례 추론에 대한 연구. 수학교육학연구, 23(4), 505-516.
  23. 홍갑주(2013). 초등학교 2007 개정 교과서 비와 비율 관련 용어에 대한 고찰. 수학교육학연구, 23(2), 285-295.
  24. 杉山吉茂外(2004). 新しい算數6上. 東京: 東京書籍.
  25. Beckmann, S., & Izsak, A. (2015). Two perspectives on proportional relationships: Extending complementary origins of multiplication in Terms of quantities. Journal for Research in Mathematics Education, 46(1), 17-38. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.46.1.0017
  26. Common Core Standards Writing Team (2011). Progressions for the Common Core State Standards in Mathematics (draft): 6-7, Ratio and proportional relationships. https://commoncoretools.files.wordpress.com/2012/02/ccss_progression_rp_67_2011_11_12_corrected.pdf
  27. Kuchemann, D., Hodgen, J., & Brown, M. (2011). Using the double number line to model multiplication. Paper presented at Seventh Annual Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, Rzeszow, Poland.
  28. Kuchemann, D., Hodgen, J., & Brown, M. (2014). The use of alternative double number lines as models of ratio tasks and as models for ratio relations and scaling. In S. Pope (Ed.), Proceedings of the 8th British Congress of Mathematics Education (BCME8) (pp. 231-238).
  29. BSRLM: University of Nottingham. Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitzing and norming. In G. Harel, & J. Confrel (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 89-120). Albany: State University of New York press.
  30. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems on representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 33-40). Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, NJ.
  31. Orrill, C. H., & Brown, R. E. (2012). Making sense of double number lines in professional development: Exploring teachers' understandings of proportional relationships. Journal of Mathematics Teacher Education, 15(5), 381-403. doi:10.1007/s10857-012-9218-z.
  32. Teppo, A & van den Heuvel-Panhuizen, M. (2014). Visual representations as objects of analysis:the number line as an example. ZDM Mathematics Education, 46(1), 45-58. doi:10.1007/s11858-013-0518-2.