Switching Control of Electromagnetic Levitation System based on Jacobian Linearization and Input-Output Feedback Linearization

자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화에 기반한 자기 부상 시스템의 스위칭 제어

Abstract

Electromagnetic levitation system(EMLS) is one of the well known nonlinear systems. Often, it is not easy to control an EMLS due to its high nonlinearity. In this paper, we first apply two linearization method(jacobian and input-output feedback linearization) to design two feedback controllers for an EMLS. Then, by observing the advantages of each controller, we design a switching control algorithm which engage two controllers depending on the position of the steel ball in order to achieve the improved performance over each controller. The validity of our switching control approach is verified via both simulation and actual experimental results.

1. 서 론

자기 부상 시스템은 전자기력을 이용하여 물체를 공중에 띄우는 장치로써 입력전압을 통해 자기력을 발생시켜 코일에서의 전류 조정에 의해 쇠공의 공극을 제어하는 비선형 시스템이다. 이와 같은 자기 부상 원리를 이용하여 물체를 띄우면 물체와 물체 사이에 접촉면이 없어 소음 및 기계적 마찰이 발생하지 않기 때문에 고속 회전체의 자기 베어링, 자기 부상 열차 등 다양한 산업 분야에서 응용되고 있다. 또한 자기 부상 시스템은 피드백 제어의 개념을 익히려는 학습자를 위한 교육용 시스템으로도 자주 활용된다. 자기 부상 시스템은 비선형 시스템이고 불안정한 시스템이므로 제어 이론의 학습 이외에도 새로운 제어 이론을 적용하여 성능 및 유효성을 평가하기에도 알맞은 시험 표준 시스템이다. 이러한 특성 때문에 자기 부상 시스템에 대해 다양한 연구가 진행되어왔다[1, 2, 4, 7, 9]. 자기 부상 시스템을 표현하는 모델식은 비선형 방정식으로 주어지므로 선형화 기법을 통해 근사된 식을 이용하면 제어기를 설계하는데 있어 더욱 용이하다. 이러한 비선형 시스템을 선형화 하는데 있어 기존의 연구에서는 한 가지 선형화 기법을 적용하여 제어기를 설계하였다[1, 2, 4, 7, 9]. 한편, [3, 11]에서는 설계한 제어기의 성능을 개선하기 위해 스위칭 제어와 같은 제어 기법을 이용한 연구도 진행되었다. 즉, 단일 제어기를 적용하는 것보다 두 개 이상의 복수의 제어기를 설계하고 각각의 설계된 제어기를 알고리즘에 따라서 효과적으로 적용하면 각각의 제어기에서 얻는 성능보다 향상된 성능을 얻을 수 있다는 것이다.

따라서 본 논문에서는 Quanser사의 자기 부상 시스템에 자코비안 선형화와 입-출력 궤환 선형화 두 가지 선형화 기법을 적용하여 각각의 제어기를 설계하고, 스위칭 제어 기법을 이용하여 제어기의 성능을 개선하였다. 두 가지 선형화 기법에 근거하여 극배치 기법을 이용한 제어기를 각각 설계하여 모의 실험과 실제 실험을 통해 제어기의 성능을 확인하였고, 시스템의 출력 y를 비교해보았다. 자코비안 선형화 기반 제어기는 국소영역에서 동작되므로 오버슈트 및 언더슈트는 크지만 정상상태에서 더 고르고, 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기는 전대역에서 동작되므로 오버슈트 및 언더슈트는 작지만 정상상태에서 진동이 심하다는 것을 확인할 수 있었다. 이에, 우리는 스위칭 제어 기법을 적용하여 두 제어기의 장점만을 이용한 더욱 개선된 성능의 제어기를 제안하였다. 또한, 모의 실험 및 실제 실험을 통해 제안된 제어기의 개선된 성능을 입증하였다.

 

2. 자기 부상 시스템 모델링 및 두 가지 선형화에 근거한 제어기 설계

2.1 자기 부상 시스템 모델링

그림 1은 본 논문에서 다루는 Quanser 사의 자기 부상 시스템의 장비 구성을 나타낸 것이고, 시스템을 도식적으로 나타낸 것은 그림 2와 같다. 자기 부상 시스템의 동역학 방정식은 식 (1)과 같다[8].

그림 1자기 부상 시스템 Fig. 1 Electromagnetic levitation system

그림 2자기 부상 시스템의 개략도 Fig. 2 Schematic of electromagnetic levitation system

여기서 xb는 쇠공의 위치, Rc는 코일의 저항, Rs는 전류측정기의 저항, Ic는 코일의 전류, Lc는 코일의 인덕턴스, Km은 전자기력 상수, Mb는 쇠공의 질량, g는 중력 가속도이다.

표 1은 Quanser사의 자기 부상 시스템의 사양을 나타낸 것이다[8].

표 1자기 부상 시스템의 사양 Table 1 Specifications of electromagnetic levitation system

식 (1)을 상태방정식 형태로 나타내기 위해 상태변수와 입력변수를 식 (2)와 같이 설정하면

상태방정식은 식 (3)과 같다.

여기서 시스템의 입력은 u이고 시스템의 측정 가능한 출력 즉, 쇠공의 위치는 y이다.

자기 부상 시스템은 비선형성이 높은 시스템이므로 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 두 가지 선형화 기법을 각각 적용하여 보다 다루기 쉬운 선형시스템으로 변환하여 표현하도록 한다.

2.2 자코비안 선형화에 근거한 제어기 설계

자코비안 선형화(Jacobian linearization)는 시스템의 평형점을 중심으로 선형화해서 시스템을 근사화 하고자 할 때 많이 사용되는데 시스템 함수의 변화율 자체가 작아야 그 근사값이 신뢰도가 높아진다.

자기 부상 시스템의 상태방정식 (3)에서 y = x1을 만족하는 평형점 (x10, x20, x30)와 정상상태 입력 u0를 구하면 x10 = xb0, x20 = 0, 이고, u0 = (Rc + Rs)x30이다.

비선형 모델식 (3)을 위 평형점에서 자코비안 선형화로 근사시키면 식 (4)를 구할 수 있다.

여기서 δx = [ x1 - x10, x2 - x20, x3 - x30]T, δu = u - u0, δy = δx1이다.

상태방정식 (3)에서 자코비안 선형화를 통해 근사된 식 (4)를 이용하여 극배치 기법에 기반한 제어기를 설계하도록 한다. 제어기 설계를 위해 식 (4)의 A와 B를 이용하여 AK 즉, AK = A + BK(K = [k1, k2, k3])가 Hurwitz가 되도록 하는 제어기의 gain을 구한다.

식 (4)에서 δu = u - u0이므로 u = δu + u0 = Kδx + u0이다.

따라서 제어기 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

설계한 자코비안 선형화에 근거한 제어기의 성능을 모의 실험 및 실제 실험을 통해 알아보도록 한다.

모의 실험 환경은 시스템의 초기 조건을 x1 (0) = 0.014, x2 (0) = 0, x3 (0) = 2.001로 설정하고, 제어기의 기본 설계를 위해 AK 의 극점을 -10, -12, -14로 정하였다. 또한 표 1의 자기 부상 시스템의 사양을 이용하였으며 제어 목표를 xb = 6[mm]로 설정하였다.

실제 실험 환경은 제어기의 기본 설계를 위해 AK의 극점을 -50, -60, -70으로 설정하였다. 실제 시스템에서 존재하는 불확실성 및 실험 장비의 노이즈로 인하여 모의 실험에서 사용한 AK의 극점을 실제 실험에서 사용하니 충분한 제어 입력이 발생하지 않아 모의 실험에서 사용한 AK의 극점에 비해 5배 정도 낮추게 되었다.

그림 3, 4는 각각 모의 실험 및 실제 실험을 통해 쇠공의 위치와 코일의 전류, 코일의 전압을 나타낸 것이다.

그림 3자코비안 선형화 기반 제어기 모의 실험 결과 Fig. 3 Simulation results of jacobian linearization based controller

그림 4자코비안 선형화 기반 제어기 실제 실험 결과 Fig. 4 Actual experimental results of jacobian linearization based controller

관찰 1 : 모의 실험 및 실제 실험 결과를 관찰해보면 자코비안 선형화에 근거한 제어기는 오버슈트 및 언더슈트는 크지만 정상상태에서 진동이 적다는 것을 확인할 수 있다.

2.3 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기 설계

입-출력 궤환 선형화(Input-output feedback linearization)는 비선형 시스템에 상태 궤환을 가하여 결과적인 궤한 시스템이 선형의 특성을 갖도록 하는 것이다. y = x1 = z1, 라고 하면 식 (3)을 입-출력 궤환 선형화를 통해 다음과 같이 변환식을 설정할 수 있다.

식 (7)에서 α(x)와 β(x)는 다음과 같이 정리된다.

식 (8)를 이용하여 u를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (9)를 식 (7)의 에 대입하면 다음과 같이 v를 구할 수 있다.

따라서 식 (7)에 식 (10)을 적용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

시스템의 출력 y의 제어 목표를 xbo라고 하면 y - xbo = z1 - xbo = 0이 되어야 한다. e1 = z1 - xbo, e2 = z2, e3 = z3라고 하면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

식 (12)를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

여기서 e = [e1, e2, e3]T이다.

제어기 설계를 위해 식 (13)의 A와 B를 이용하여 AK즉, AK = A + BK ( K = [k1, k2, k3])가 Hurwitz가 되도록 하는 제어기의 gain을 구한다.

v는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (9)와 식 (15)를 통해 제어기 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

설계한 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기의 성능을 모의 실험 및 실제 실험을 통해 알아보도록 한다. 모의 실험 및 실제 실험 환경은 자코비안 선형화에 근거한 제어기와 모두 동일하다.

그림 5, 6은 각각 모의 실험 및 실제 실험을 통해 쇠공의 위치와 코일의 전류, 코일의 전압을 나타낸 것이다.

그림 5입-출력 궤환 선형화 기반 제어기 모의 실험 결과 Fig. 5 Simulation results of input-output linearization based controller

그림 6입-출력 궤환 선형화 기반 제어기 실제 실험 결과 Fig. 6 Actual experimental results of input-output linearization based controller

관찰 2 : 모의 실험 및 실제 실험 결과를 관찰해보면 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기는 오버슈트 및 언더슈트는 작지만 정상상태에서 진동이 심하다는 것을 확인할 수 있다.

 

3. 스위칭 제어 기법을 이용한 제어기 설계

3.1 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기 비교

자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기의 모의 실험 및 실제 실험 결과를 비교해보도록 한다.

그림 7, 8은 각각 자기 부상 시스템에 대한 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기의 모의 실험 및 실제 실험 결과에서 시스템의 출력 y를 비교한 것이다.

그림 7두 가지 제어기 모의 실험 결과 비교 Fig. 7 Comparison of two controllers simulation results

그림 8두 가지 제어기 실제 실험 결과 비교 Fig. 8 Comparison of two controllers actual experimental results

관찰 3 : 자코비안 선형화 기반 제어기는 평형점을 중심으로 한 국소영역에서 동작되므로 오버슈트 및 언더슈트는 크지만 정상상태에서 더 고르고, 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기는 전대역에서 동작되므로 오버슈트 및 언더슈트는 작지만 정상상태에서 진동이 심하다는 것을 확인할 수 있다.

3.2 스위칭 제어 알고리즘

관찰 1, 2, 3을 토대로 스위칭 제어 기법을 이용하여 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기를 각각 적용하여 두 제어기의 장점만을 이용한 더욱 개선된 성능의 제어기를 제안한다.

시스템의 출력과 제어 목표의 차이 즉, y - xb0가 0이 되면 출력이 원하는 목표로 제어가 되는 것인데 스위칭 조건을 오차 판단 기준 y - xb0로 정하고, 그림 7, 8에서 두 가지 제어기의 출력을 비교한 것을 바탕으로 과도영역에서 성능이 좋은 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기와 정상상태 영역에서 성능이 좋은 자코비안 선형화 기반 제어기를 실험을 통해 두 제어기의 장점만을 이용하는 스위칭 조건 y - xb0의 값을 찾아주어야 한다. 그림 4와 그림 6의 실제 실험 결과를 보면 입력이 튀기 전에 스위칭 되는 것이 좋다는 것을 알 수 있는데 입력이 튀는 부분의 스위칭 조건이 6[mm] 부근일 것이라 관찰하였고, 그림 9의 실험 결과에서 볼 수 있듯이 기대한대로 6[mm]가 최적의 스위칭 조건인 것을 확인하였다. 스위칭 조건이 8[mm]일 경우에는 6[mm]인 경우에 비해 스위칭 동작이 빨리 이루어지므로 자코비안 선형화 기반 제어기가 빨리 작동되어 과도영역에서 진동이 더 많고, 4[mm]일 경우에는 6[mm]인 경우에 비해 스위치 동작이 늦게 이루어지므로 초반에 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기의 작동이 길어져 과도상태에서 정상상태 도달 시 진동이 잦다는 것을 알 수 있다.

그림 9스위칭 조건에 따른 제어기 실제 실험 결과 Fig. 9 Actual experimental results of the controller according to switching conditions

다음 그림은 스위칭 제어 알고리즘을 순서도로 나타낸 것이다.

그림 10제안된 최종 알고리즘 Fig. 10 Proposed final algorithm

스위칭 제어 알고리즘의 설명 : 자기 부상 시스템을 모델링하여 자코비안 선형화 기반 제어기와 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기를 각각 설계하여 두 가지 제어기를 시스템의 출력과 제어 목표의 차이로 스위칭하여 원하는 구간에서만 작동시킨다. 즉, |y - xbo|≥ 6 [mm]일 때는 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기를, |y - xbo|≤ 6 [mm]일 때는 자코비안 선형화에 근거한 제어기를 작동시키는 것이다.

입-출력 궤환 선형화 기반 제어기는 전대역에서 동작되므로 쇠공의 위치가 원하는 지점에서 멀리 떨어진 초기 상태에서부터 동작을 하지만 제어기 식 (16)을 보면 분모에 시스템의 상태변수 x1 과 x3가 있는데 이것이 작아질 경우 수치적 오류가 발생하는 등의 특이점 문제가 있고, 자코비안 선형화 기반 제어기는 제어기 식 (6)을 보면 분모에 상태변수가 없어서 특이점이 없고, 로컬 영역에서는 그 성능이 안정하다는 것이 증명되어 있으므로 특이점 문제가 없는 안정한 자코비안 선형화 기반 제어기를 작동시킨다[6]. 로컬 영역에서 특이점 문제가 없는 제어기이므로 시스템의 상태변수 x1과 x3의 값으로 인한 진동이 덜할 수 있다.

3.3 모의 실험 및 실제 실험 결과

그림 11, 12는 각각 자기 부상 시스템에 대한 자코비안 선형 화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기와 스위칭 제어 기법을 이용한 제어기의 모의 실험 및 실제 실험 결과에서 시스템의 출력 y를 비교한 것이다.

그림 11모의 실험 결과 비교 Fig. 11 Comparison of simulation results

그림 12실제 실험 결과 비교 Fig. 12 Comparison of actual experimental results

스위칭 제어 기법의 적용 결과 : 스위칭 제어 기법을 적용함으로써 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기 각각의 장점만을 이용하여 시스템의 과도응답이 빨라지고 오버슈트 및 언더슈트는 작아졌으며 정상상태에서 진동이 거의 없다는 것을 확인할 수 있다.

3.4 적분기를 이용한 정상상태 오차 감소

그림 12의 실험 결과를 보면 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기는 정상상태 오차가 존재하므로 정상상태 오차를 줄인 상태에서 제안된 기법의 우수성을 확인하기 위해 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기에 적분기를 추가하여 실험한 결과를 정리하였다.

자코비안 선형화 기반 제어기 식 (6)에 적분기를 추가한 식은 다음과 같다.

입-출력 궤환 선형화 기반 제어기 식 (16)에 적분기를 추가한 식은 다음과 같다.

여기서 적분기의 gain k4는 각 제어기의 gain을 고려하여 실험을 통해 각각 -10, -2로 설정하였다.

그림 13은 적분기가 추가된 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기, 스위칭 제어 기법을 이용한 제어기를 실험을 통해 출력 y를 비교한 결과이다. 실험 결과를 통해 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기에 적분기를 추가하여 정상상태 오차가 줄어든 것을 확인할 수 있다. 적분기를 추가하여 정상상태가 줄어들어도 제안된 제어기의 성능(빠른 응답시간과 적은 진동)이 더 좋다는 것을 알 수 있다.

그림 13적분기를 이용해 정상상태 오차를 줄인 실험 결과 Fig. 13 Experimental results of the reduced steady state error using integrator

 

4. 결 론

본 논문에서는 비선형 시스템인 자기 부상 시스템을 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 두 가지 선형화 기법에 근거하여 제어기를 설계하고 모의 실험 및 실제 실험을 통해 제어기의 성능을 확인하였다. 모의 실험 및 실제 실험 결과를 토대로 시스템의 출력 y를 비교한 결과 자코비안 선형화에 근거한 제어기는 평형점을 중심으로 한 국소영역에서 동작되므로 오버슈트 및 언더슈트는 크지만 정상상태에서 진동이 적고, 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기는 전대역에서 동작되므로 오버슈트 및 언더슈트는 작지만 정상상태에서 진동이 심하다는 것을 확인할 수 있었다. 이에 스위칭 제어 기법을 이용하여 시스템의 출력과 제어 목표의 차이 즉, y - xb0의 값에 따라 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화에 근거한 제어기를 각각 적용하여 두 제어기의 장점만을 이용한 더욱 개선된 성능의 제어기를 제안하였다. 모의 실험 및 실제 실험을 통해 스위칭 제어 기법을 적용함으로써 시스템의 과도응답이 빨라지고, 오버슈트 및 언더슈트는 작아졌으며 정상상태에서 진동이 거의 없다는 것을 확인하였다. 또한, 실험 결과 비교에서 발견된 정상상태 오차를 줄이기 위해 자코비안 선형화 및 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기에 적분기를 추가하여 실험을 통해 검증하였고 그런 환경에서도 제안된 제어기의 성능(빠른 응답시간과 적은 진동)이 뛰어나다는 것을 입증하였다.