Maximizing the Sum of Weights of Points in a Given Square

주어진 정사각형 영역안의 점들의 가중치 합의 최대화

Abstract

In this paper, when points with weights are given in a plane, for an arbitrary constant r, we shall find a square area S such that the sum of weights of points belonging to S is maximized. If the length of the side of S is not given, the problem to find arbitrary rectangular area has been studied. In this paper, we will consider the problem to find a square area with a side of a length r when a constant r is given. We will solve the one dimensional problem in dynamic environment and propose an algorithm with the time complexity of O(nlogn+rn).

본 논문에서는 평면상에 가중치를 가진 점들이 주어질 때, 임의의 상수 r에 대해서 변의 길이 r인 정사각형 영역을 고려해서 이 안에 속하는 점들의 가중치 합이 최대가 되는 영역을 찾고자 한다. 변의 길이가 정해져 있지 않은 경우에 임의의 사각형 영역을 찾는 문제에 대한 연구가 있었다. 본 논문에서는 상수 r이 주어질 때, 변의 길이 r인 정사각형 영역을 찾는 문제를 다룬다. 우리는 동적 환경 하에서의 일차원 문제를 풀고, 이를 이용해서 O(nlogn+rn) 시간 복잡도를 갖는 알고리즘을 제안한다.

Ⅰ. 서 론

평면상에 n개의 점들이 임의의 위치에 주어진다. 단, 어떠한 두 점도 같은 x 또는 y좌표를 가지지 않는다고 가정한다. 각 점 p는 임의의 정수 값을 가중치 w(p)로 가진다. 이 가중치는 음수일 수 있음에 주목한다.

임의의 양의 정수 r이 주어질 때, 평면상에서 x 또는 y축에 평행한 변들을 가지고 모든 변의 길이가 r인 정사각형 영역 R을 고려한다. 특별히 영역 R은 닫힌(closed) 영역을 고려해서 점 p가 R에 속하다는 것은 p가 영역 R의 안쪽에 위치하거나 또는 R의 테두리 변에 위치한다는 것을 의미한다. 우리는 평면상에 주어진 임의의 정사각형 영역 R에 대해서, R에 속하는 점들의 가중치 합 을 생각해서 영역 R의 가중치라고 부른다. 임의의 양의 정수 r이 주어질 때, x 또는 y축에 평행한 길이 r의 변을 가진 정사각형 영역 R 중에서 가중치 W(R)이 최대가 되는 영역을 찾고자 한다.

점들의 가중치를 어떻게 선택하느냐에 따라서 이 문제는 기계 학습(machine learnig)[1]과 데이터 분류(classification)와 클러스터링(clustering)[2]과 같은 여러 응용 분야와 관련된다. 예를 들어, 데이터 클러스터들은 원 또는 사각형과 같은 기하학적 모양을 사용해서 얻을 수 있다[2,3].

 

Ⅱ. 관련 연구

이전 논문들에서는 영역의 한 변의 길이 r이 미리 정해지지 않는 경우들을 주로 다루었다. 이 경우에는 임의의 변의 길이를 가진 사각형 영역을 고려할 수 있다. 사각형 변의 길이 제한이 없는 문제의 일차원 버전은 다음과 같이 정의된 최대-합 연속 부순서(MCS, Maximum-Sum Consecutive Subsequence) 문제이다.

[MCS-문제] 수열 a1, a2, ⋯, an과 각 ai에 대한 가중치 wi가 주어질 때(여기서, wi는 음수일 수 있다), wj + wj+1 + ⋯ + wk가 최대가 되는 연속적인 부순서 aj + aj+1 + ⋯ + ak를 찾으시오.

이 문제는 점들이 정렬되어 있을 때, O(n)시간에 풀 수 있다[4].

이 MCS-문제에 대해서 중간에 점들의 가중치가 바뀌는 동적 환경에 대한 연구가 있었다[5]. 이 논문에서 저자들은 점의 가중치에 변화가 있을 때 O(logn)에 새로운 답을 찾는다.

이차원 문제에 대해서 [5]에서 처음 소개되었다. 이 문제에서는 변의 길이에 대한 제한이 없이 임의의 사각형을 영역을 고려해서 영역안의 점들의 가중치의 합이 최대가 되는 사각형 영역을 찾는다. [5]에서 저자들은 O(n2logn)시간 알고리즘을 제안하였다. 이 시간 복잡도는 [6]에서 개선되었다. 저자들은 O(n2)시간 알고리즘을 제안하여 이전 결과를 개선하였다.

영역이 x 또는 y축에 평행한 변을 가진 사각형과 다른 모양인 경우에 대한 연구들도 있었다. [7]에서는 영역으로 볼록 다각형(convex polygon)을 고려하였다. 저자들은 포함하는 점들의 가중치의 합이 최대가 되는 볼록 다각형을 찾는 O(n3) 시간 알고리즘을 제안하였다.

본 논문에서는 이전 결과들과 다르게 사각형 영역의 한 변의 길이 r을 입력으로 받는다. 그리고 포함하는 점들의 가중치의 합이 최대가 되는 변의 길이가 r인 정사각형 영역을 찾는다.

 

Ⅲ. 알고리즘

우선 본 문제의 일차원 문제를 생각해 볼 수 있다. 다시 말해서, 직선상의 n개의 점들과 그들의 가중치가 주어질 때, 길이 r인 구간 안에 속하는 점들의 가중치의 합이 최대가 되는 구간을 찾는 문제이다. 이것은 구간의 길이가 미리 주어진다는 점에서 MCS-문제와 구별된다.

이 문제는 점들이 정렬되어 있다면, 길이 r인 윈도우를 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이면서 최대 값을 업데이트하는 방법으로 O(n)의 시간 복잡도로 풀 수 있다.

이 일차원 문제에서 어느 한 점의 가중치 값이 변하는 동적(dynamic) 일차원 문제를 생각해 볼 수 있다. 이 경우에 변화한 입력에 대해서 문제의 답을 빨리 찾는 방법에 대해서 생각할 수 있다. 다음 장에서 우리는 이 동적 일차원 문제에 대한 해답을 제시할 것이고 시간 복잡도 O(logn+r)에 해결할 수 있음을 보일 것이다.

위의 동적 일차원 문제의 해법을 이용해서 이차원 문제의 해법을 생각해 볼 것이다. 아래 그림 1에서와 같이 평면상에 두 수평선 l1과 l2를 생각해서 이들 사이의 수직 길이가 r이라고 하자. 이 두 수평선 사이의 공간을 스트립(strip)이라고 한다. 이 스트립에 존재하는 점들을 아래 수평선 l2에 투영(projection)하면 일차원 직선상의 점들을 얻을 수 있다. 여기서 일차원 문제를 풀 면 하나의 스트립안의 점들에 대해서 변의 길이가 R인 정사각형 영역에 속한 점들의 가중치 합이 최대가 되는 영역 r을 찾을 수 있다.

그림 1.평면상의 스트립 S Fig. 1 Strip S in a plane

이상과 같이 한 스트립 S에 대한 문제를 해결할 수 있음을 보았다. 이를 이용해서 본래 문제에 대한 해법을 생각해 볼 것이다. 우리는 항상 스트립 S의 위쪽 수평선에 적어도 한 점이 지난다고 가정한다. 그러면 평면상에서 위쪽에서 아래쪽 방향으로 만나는 한 점 p를 고려하고 이 점을 지나는 한 수평선 l을 생각하면 l을 위쪽 변으로 하는 길이 r인 스트립 S를 생각할 수 있다. 결과적으로 평면상의 위쪽에서 아래쪽으로 스트립 S를 움직이면서 S 안에서의 문제를 해결한다.

평면상의 점들을 y좌표 값이 감소하도록 정렬해서 p1, p2, ⋯, pn으로 표시한다. 처음에 스트립 S의 위쪽 변은 점 p1을 지난다. 점 p1, ⋯, pk가 S에 속한다면, 동적 일차원 문제에서 초기에 모든 점들의 가중치를 0으로 하였다가 점 p1, ⋯, pk의 가중치 값을 각각 w(p1), ⋯, w(pk)로 변화시키면서 동적 일차원 문제를 푼다.

다시 S의 위쪽 변이 지나는 점을 p1에서 p2로 바꾸면서 스트립을 아래로 이동한다. 그러면 S에 속하는 점에서 p1은 제외되고 새로운 점들이 추가될 수 있다. 그러면 p1의 가중치는 0으로 바꾸고 새로 추가되는 점들의 가중치를 변화시킨다. 이러한 상태에서 역시 동적 일차원 문제를 풀어서 새로운 스트립에서의 문제를 해결한다.

이런 방식으로 스트립을 아래로 이동하면서 스트립이 pn을 포함하는 경우까지 스트립 문제를 해결해서 점들의 가중치 값의 합이 최대가 되는 정사각형 영역 R을 구할 수 있다. 스트립의 위쪽 변이 지나는 점을 p1 부터 반복해서 고려해서 추가하고 만약 제거하면 점들은 다시 고려되지 않기 때문에 스트립 문제는 많아야 O(n)번 수행된다. 각 스트립에서 동적 일차원 문제가 O(logn+r)시간에 해결될 수 있으므로 총 수행시간은 O(nlogn+rn)이다.

 

Ⅳ. 동적 일차원문제

이전 장에서 언급한 것과 같이 문제의 답을 찾기 위해서 일차원에서의 동적 문제를 풀어야 한다. 이 장에서는 일차원 동적 문제를 업데이트가 일어날 때 마다 O(logn+r)시간에 해결하는 알고리즘을 제안할 것이다.

일직선상에 점들 p1, p2, ⋯, pn이 위치가 증가하는 순서로 주어지고 그들의 가중치 w1, w2, ⋯, wn이 주어질 때, 길이 r인 구간 안에 속한 점들의 가중치의 합이 최대가 되는 구간을 찾는 문제를 생각한다. 특별히 이 문제의 동적 버전, 다시 말해서, 어떤 가중치가 변하는 경우의 문제를 다룬다.

위 동적 문제의 답을 효율적으로 찾기 위해서 그림 2와 같은 균형 이진트리(balanced binary tree) T를 이용할 것이다. 트리 T의 각 노드는 직선상의 한 구간의 상태를 나타낼 것이다. 우선 잎(leaf) 노드가 나타내는 구간을 생각해 본다. 직선을 길이 r인 구간들 [a1, b1), ⋯, [am, bm)로 나눈다. 여기서, a1 = p1이고 b1 = p1+r. 그러면 구간 [a1, b1)에 점 pi들이 포함될 수 있다. a2는 구간 [a1, b1)에 포함되지 않는 점들 중에서 가장 작은 점 pk로 정의한다. 계속해서 이런 방식으로 구간 [am, bm)이 가장 큰 점 pn을 포함하도록 정의한다. 임의의 구간 [ak, bk)에 대해서, 이 구간에 속한 점들을 pα, ⋯, pβ라고 하면, 각 점 ph는 구간 [ak, ph)와 [ph, bk)에 속한 점들의 가중치 합을 각각 저장한다. 또한 이 구간에 속한 모든 점들의 가중치 합을 저장한다.

그림 2.균형 이진트리 T Fig. 2 Balanced binary tree T

트리 T의 내부 노드(internal node)는 직선상의 한 구간 [ai, bj)의 상태를 나타낸다. 이를 위해서 세 개의 값 L, R, C를 저장한다. 여기서 L은 ai를 왼쪽 끝점으로 하는 길이 r인 구간 안에 속한 점들의 가중치 합이다. R은 bj를 오른쪽 끝점으로 하는 길이 r인 구간 안에 속한 점들의 가중치 합이다. C는 ai과 bj를 포함하지 않는 구간 내부에서 길이 r인 구간에 속한 점들의 가중치 합 중 최대값을 나타낸다.

각 내부 노드에서 세 개의 값 L, R, C을 어떻게 계산하는지 설명한다. 구간 [ai, bj)를 나타내는 내부 노드에 대해서, 두 자식 노드는 각각 구간 [ai, bk)와 [ak+1, bj)를 나타낸다. 각 자식 노드의 세 값을 L1, R1, C1과 L2, R2, C2이라고 하자. 분명히 L = L1이고 R = R2이다. C를 계산하는 방법을 생각해보자. 구간 [ai, bk)에서 bk를 오른쪽 끝점으로 하는 길이 r인 구간에 속한 임의의 점 ph는 [ph, bk)에 속한 점들의 가중치 합을 저장하고 있다. 또한 [ak+1, bj)에서 ak+1을 왼쪽 끝점으로 하는 길이 r인 구간에 속한 임의의 점 ph는 [ak+1, ph)에 속한 점들의 가중치 합을 저장한다. 이를 이용해서 [ai, bk)의 뒷부분과 [ak+1, bj)의 앞부분에 걸친 길이 r인 구간들 중 가중치 합의 최대값 C3를 O(r) 시간에 계산할 수 있다. 그러면 C는 C1 , C2 , C3 중 최대값이다.

위와 같은 균형 이진 트리 T를 생성하는데 걸리는 시간을 생각해보자. 트리 T의 잎노드를 생성하는 것은 점들을 왼쪽에서 오른쪽으로 고려하면서 길이 r인 각 구간 [ai, bi)을 나눌 수 있고 이 구간에 속한 각 점 pk에서 [ai, pk)에 속한 점들의 가중치 합을 계산할 수 있다. 또한 점들을 오른쪽에서 왼쪽으로 고려하면서 각 점 pk에서 [pk, bi)에 속한 점들의 가중치 합을 계산할 수 있다. 또한 T의 내부 노드를 생성하는 과정에서 세개의 값들은 최대 O(r) 시간에 계산할 수 있다. 따라서 균형 이진 트리 T를 생성하는데 총 O(rn) 시간이 소요됨을 알 수 있다. 이진 트리 T를 이용해서 동적 일차원 문제의 효율적인 해법을 제시할 것이다. 일직선상의 점들 p1, p2, ⋯, pn이 순서대로 주어지고 임의의 점 pk의 가중치가 변화할 때 가중치의 합이 최대가 되는 길이 r인 구간을 새롭게 찾아야 한다.

점 pk가 T의 하나의 잎 노드 A가 나타내는 구간 [ai, bi)에 속한다고 가정하자. 이 구간에 속한 점들의 저장 값이 변화하고 O(r) 시간에 업데이트 할 수 있다. 이 변화가 A의 부모 노드 P의 L , R 또는 C 값을 변화시킬 수 있지만 L과 R은 O(1) 시간에 업데이트 할 수 있고 C값은 O(r) 시간에 계산할 수 있다. 또한 P의 부모 노드 PP의 C값 계산에도 O(r) 시간을 소요해야 한다. 하지만 PP의 부모 노드에서부터는 O(1)시간에 세 값 모두를 계산할 수 있다. 예를 들어, 그림 3에서 노드 A = [ai, bi)의 한 점 pk의 가중치가 변해서 구간의 점들의 저장 값이 변해야 한다고 가정하자. 그러면, 그림의 어두운 색으로 표시된 부분만이 O(r) 시간의 계산을 요구한다. 이와 같이 루트 노드로의 경로를 따라서 경로상의 내부 노드들의 세 값들을 업데이트해 나가면 루트에서 문제의 새로운 답을 찾을 수 있다. 따라서 이와 같은 업데이트에 소요되는 총 시간은 O(logn+r)이 된다.

그림 3.T에서 최대값의 계산 Fig. 3 Computation of maximum in T

 

Ⅴ. 결 론

이차원 점들에 대한 문제에서 이전 논문들[5,6]은 사각형 영역의 변의 길이에 제한이 없었다. 본 논문에서는 변의 길이 r 주어질 때, 가중치 합이 최대가 되는 점들을 포함하는 정사각형 영역을 찾는 문제를 다루었다. 우리는 본 문제의 일차원 동적 문제를 풀고 이를 이용해서 이차원 문제에 대한 답을 제안하였다. 또한 본 논문이 제안한 알고리즘의 시간 복잡도가 O(nlogn+rn)임을 보였다.

앞으로의 연구로는 본 문제의 3차원 버전을 생각해 볼 수 있다. 논문에서 제안한 알고리즘을 3차원 상의 점들에 대해서 적용해서 시간 복잡도를 분석해 볼 수 있을 것이다. 또한 다른 모양의 영역에 대한 문제를 연구해 볼 수 있을 것이다.