동특성 변화를 이용하여 보의 다중 균열 위치 및 크기 해석

Multi-crack Detection of Beam Using the Change of Dynamic Characteristics

Abstract

This study proposed the method of the multi-crack detection using the sensitivity coefficient matrix which is calculated from the change of eigenvalues and eigenvectors before and after the crack. Each crack is modeled by a rotational springs. The method is applied to the cantilever beam with miulti-crack. The eigenvalues and eigenvectors are determined for different crack locations and depths. The prediction of multi-crack detection are in good agreement with the results of structural reanalysis.

1. 서 론

구조물에 균열이 발생하면 심각한 손상을 줄 수 있으므로 사고를 방지하기 위해 초기에 탐지하여야 한다. 하지만 육안 검사로 균열을 미리 탐지하기는 매우 어려운 일이므로 수십 년 동안 구조물에 발생하는 균열을 효과적으로 탐지하기 위해 수많은 연구가 이루어져 왔다. 이에 대한 연구로 Doebling 등(1)과 Wei Fan 등(2)은 진동 데이터를 사용하여 구조물의 균열 크기와 위치를 탐지하는 여러 연구들을 조사하여 발표하였다. 균열은 구조물을 국부적으로 약하게 하므로 이를 이용하여 균열을 탐지할 수 있다. Dimarogonas 등(3)은 파괴 역학을 이용하여 균열의 등가 회전 강성을 해석하였고 Adams 등(4)은 고유 진동수를 이용하여 균열 깊이 및 위치를 추정하는 실험 기술을 개발했다. Goudmunson 등(5)은 균열에 의해 발생하는 고유 진동수의 변화를 예측하였고 Shen 등(6)은 균열 끝 부분의 응력 집중을 이용하여 구조물의 동특성을 얻기 위해 2차원 유한요소법을 사용했다. Hur와 Kim 등(7)은 하나의 균열이 존재하는 외팔보에 대해서 균열에 의한 고유 진동수 변화를 제시하고 실험을 통해 검증하였다. Son과 Ahn등(8)은 이론과 유한요소 해석과 실험을 통하여 보의 균열을 검출하였으며 Ahn과 Oh 등(9)은 바이스펙트럼을 이용한 외팔보의 결함 진단에 관한 연구를 하였다.

또한 구조물의 다중 균열에 대한 연구로 Sekhar(10)는 다중 균열의 여러 가지 논문들을 각각의 영향 및 식별 방법에 따라 요약하였으며 Lee 등(11)은 다중 균열이 있는 문제를 해결하기 위해 유한요소법을 사용하였다. Patil 등(12)은 주파수 측정을 이용하여 다중 균열을 규명하였으며 Mizanoglu 등(13)은 Rayleigh Rizt 근사 방법을 사용하여 다중 균열의 진동 해석을 하였다. Friswell 등(14)은 주어진 구조물의 균열을 예측하기 위해 변화된 동특성으로부터 강성 변화를 구하였으며 최근에 위에 관한 연구들이 기계, 조선, 가전, 항공건축 등의 분야에서 활발히 진행되고 있다.

그러나 그동안의 다양한 연구에도 균열을 정확히 탐지하는 데 어려움이 있었다. 대부분의 연구가 균열이 발생하면 모드의 변화가 없다고 가정하고 고유 진동수의 변화만 고려하였기 때문이다.

여기서는 균열 전과 후의 구조물의 고유 진동수와 모드 형상의 변화량을 동시에 고려하여 감도계수행렬을 정의하였다. 이를 이용하여 구조물에 발생한 다중 균열의 위치와 깊이를 탐지하는 새로운 방법을 제안하였으며 검증하기 위해 다중 균열이 있는 외팔보에 적용하였다.

 

2. 균열을 갖는 보의 탄성거동

균열에 의한 컴플라이언스(compliance)는 균열된 부재의 주요 치수, 균열의 크기 및 방향, 작용되는 하중 및 변형 모드에 의존한다. 국부 유연성 행렬(local flexibility matrix)은 하중에 의한 변위와 관계된다. 여기서는 굽힘 진동만 고려하여 회전 균열 컴플라이언스가 국부 유연성 행렬에만 영향을 준다고 가정한다. Chondros와 Dimarogonas 등(3)은 균열 스트레인 에너지 함수를 이용하여 Fig. 1에 나타낸 것과 같이 보의 길이가 L, 단면적이 A, 단면이차모멘트가 I이고 탄성계수가 E인 보에 균열이 있는 경우 균열을 다음과 같이 등가 회전 스프링 kθ = 1/α로 모델링하였다.

Fig. 1Crack model in cantilever beam

여기서 v는 푸아송 비, h는 보의 높이, a는 균열의 깊이이다.

 

3. 보의 균열 탐지 알고리듬

균열이 발생하면 구조물의 강성이 감소되어 강성행렬은 변하게 되지만 질량의 변화는 무시할 수 있으므로 질량행렬은 변하지 않는다고 가정한다. 구조물에 강성이 변경되면 동특성이 변화되며 이때 균열전과 후의 동특성은 다음과 같이 된다.

여기서 Ko와 Mo, K, M, ΔK은 각각 균열 전 구조물의 강성행렬과 질량행렬, 균열 후 구조물의 강성행렬 및 질량행렬, 강성행렬의 변경량이며 λo, ϕo, λ와 ϕ, Δλ, Δϕ는 각각 균열 전의 고유치와 고유벡터, 균열 후의 고유치, 고유벡터, 고유치 및 고유벡터 변화량이다.

3.1 균열을 갖는 유한요소의 강성행렬

Fig. 2와 같이 i번째 보의 양 끝에 등가 회전스프링으로 나타낼 수 있는 균열이 있을 때 보의 질량행렬과 강성행렬은(15) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 2Schematic representation of rotational end springs

여기서 ρ는 밀도, A는 요소의 단면적이며 [K]i = [Ko]i + [ΔK]i이고 θ1 ∼ θ6는 다음과 같다.

여기서 하첨자 i,j는 보의 왼쪽과 오른쪽을 의미하며 β = kθ/(EI/L) 로 무차원 계수이고 kθ는 회전 스프링 상수이다. β값은 균열이 없을 때는 ∞이며 균열이 커질수록 점점 작아져 0에 가까워지게 된다.

3.2 균열 발생 후 감도계수의 해석

Fox는(16) 구조 변경 후 고유벡터의 변화량을 변경 전 고유벡터의 선형 결합으로 다음과 같이 나타내었다.

여기서{Δϕ}i는 i차 모드의 고유벡터 변화량이고 αki는 k차 모드에 대한 i차 모드의 감도계수이며 {ϕo}k는 구조 변경 전 k차 모드의 고유벡터이다. 식(8)을 확장하면 다음 식으로 나타낼 수 있다.

여기서 [Δϕ], [α], [ϕo]는 고유벡터 변화량행렬과 감도계수 행렬, 구조물 균열 발생 전 고유벡터 행렬이다. 즉 감도계수 행렬은 구조물 균열 발생 전 고유벡터 행렬과 균열 발생 후의 고유벡터 변화량 행 렬로부터 구할 수 있다.

3.3 균열 발생 후 강성행렬의 변경량 해석

균열 발생 후 변경된 강성행렬을 해석하기 위해 기존의 방법을(17) 사용하였으며 Fig. 3에 보의 균열 예측 순서를 나타내었다.

Fig. 3Flow chart for the multi-crack detection

여기서 와 λoi와 λoj이고,

이며 ΔKij는 일반화된 강성 변경량(Generalizd stiffness variation)이라고 정의하고 식 (15)를 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (16)에서 강성행렬 변경량은 다음과 같다.

여기서 식 (17)에서 구한 [ΔK]을 식 (6)과 비교하여 각 요소에 대한 θi를 구한다. 이로부터 각 요소의 βi를 계산하여 균열의 위치와 kθ구하고 식 (1)과 식 (2)를 이용하여 균열의 깊이 비(α/h)를 구한 다음 균열의 깊이 α을 계산한다.

 

4. 컴퓨터 모사 실험

Fig. 4에 균열에 사용된 외팔보의 모델을 나타내었다. 길이 L = 400mm, 높이 h = 10 mm, 폭 b = 30 mm, 세로탄성계수 E = 210GPa, 푸아송 비 v = 0.3, 밀도 ρ = 7850 kg/m3인 보를 등 간격으로 5개 요소로 나누었으며 시뮬레이션은 다음의 세 가지 경우를 하였다.

Fig. 4Crack model in cantilever beam

(1) Case 0 : 균열이 없는 경우 α = 0

(2) Case 1 : 1번 및 3번 요소 오른쪽에 각각 a = 4mm, a = 6mm의 균열을 갖는 경우

(3) Case 2 : 1번, 2번 및 4번 요소 오른쪽에 각각 a = 6mm, a = 1 mm, a = 3mm의 균 열을 갖는 경우

 

5. 결과 및 고찰

5.1 고유 진동수 변화 검토

Table 1은 균열 전과 후의 고유 진동수를 나타낸 표로 보에 균열이 발생하여 강성이 감소되었기 때문에 고유 진동수가 낮아졌음을 알 수 있다. 균열 발생 전과 후의 고유 진동수 비율은 case 1의 경우 최소 98.9 %에서 최대 82.4 %로 낮아졌으며 case 2의 경우는 최소 99.25 %에서 최대 83.3 %로 낮아졌다.

Table 1Comparison of natural frequencies before and after crack(unit: Hz)

Case 2가 case 1보다 균열이 많은데도 일부 모드에서 case 2의 고유 진동수 값이 case 1의 것보다 큰 이유는 균열을 회전 스프링으로 모델링하였기 때문이다. 균열이 있을 경우 고유 진동수의 변화는 진동 모드 형상이 아니라 모드 모멘트 선도에 영향을 받기 때문이다. 모드 모멘트 선도는 진동 모드를 두 번 미분한 다음 보의 강성 EI를 곱하여 구할 수 있다.

5.2 고유벡터 검토

Fig. 5에 균열 발생 전·후의 고유벡터를 정규화하여 나타내었다. 10개의 모드가 존재하여 1차에서 10차까지 나타내었으며 고차 모드로 갈수록 노달 점(nodal point)이 증가함을 알 수 있다.

Fig. 5Eigenvectors before and after the crack

Fig. 6은 균열 전과 후의 고유벡터 변화량을 나타낸 그림이다. Fig. 6(a)에 case 1의 고유벡터 변화량을 Fig. 6(b)에 case 2의 고유벡터 변화량을 나타내었다.

Fig. 6Variation of eigenvectors before and after the crack

5.3 감도계수의 해석

Fig. 7(a)는 case 1의 감도계수 행렬을 나타낸 그림으로 균열 전 고유벡터 행렬 [ϕ0]과 균열 후 고유벡터 변화량 행렬 [Δϕ1,0]을 가지고 식 (9)에 대입하여 구하였다. 최댓값은 α56 = 0.2016이였으며 최솟값은 α78 = -0.1982이었다. Fig. 7(b)는 case 2의 경우 같은 방법으로 구한 감도계수 행렬로 최댓값은 α56 = 0.2303이었으며 최솟값은 α45 = −0.2272이었다.

Fig. 7Sensitivity coefficients before and after the crack

5.4 균열 위치 및 크기 해석

Fig. 8은 반복법을 사용하여 반복 횟수에 따라 균열의 위치 및 크기를 예측한 그림이다. 먼저 Fig. 7의 감도계수 행렬과 식 (10)~(16)을 사용하여 강성변화량 행렬 [ΔK] 을 예측하였으며 반복 횟수를 50번까지 하였다. 여기서 식 (17)에서 구한 [ΔK]을 식(6)과 비교하여 각 요소에 대한 θi를 구하였다. 이로부터 각 요소의 βi를 계산하여 균열의 위치와 kθ구하고 식 (1)과 식 (2)를 이용하여 균열의 깊이 비(α/h)를 구해 균열의 깊이 α을 계산하였다. Fig. 8(a)는 case 1의 경우로 1번 요소와 3번 요소의 오른쪽에 각각 4 mm와 6 mm의 균열이 있을 때 균열 예측한 그림이다. 반복 횟수가 5회일 때 1번 요소의 균열의 깊이를 3.98 mm, 3번 요소의 균열의 깊이를 6.34 mm로 예측하여 다소 오차가 있었으나 반복 횟수가 25회일 때는 4.00 mm와 6.00 mm로 잘 예측함을 알 수 있었다. Fig. 8(b)는 case 2의 경우로 1번, 2번, 4번 요소 오른쪽에 각각 6mm, 1 mm, 3 mm의 균열이 있을 때 균열을 예측한 그림이다. 반복 횟수가 5회일 때 1번, 2번, 4번 요소의 균열의 깊이를 5.73 mm, 0.85 mm, 2.98 mm로 예측하여 오차가 있었으나 반복 횟수가 25회일 때는 6.00 mm, 1.00 mm, 3.00 mm로 잘 예측하여 제안한 방법이 타당함을 알 수 있었다.

Fig. 8Prediction of multi-crack according to the number of iteration

 

6. 결 론

외팔보에 다중 균열 발생 전과 후의 동특성 변화를 이용하여 균열의 위치와 크기를 예측하였으며 다음과 같은 결론을 얻었다.

(1) 균열에 의한 컴플라이언스(compliance)를 등가 회전 스프링으로 모델링하였다.

(2) 다중 균열 발생 전 고유벡터와 균열 발생 후의 고유벡터 변화량을 가지고 감도계수 행렬을 해석하는 방안을 제안하였다.

(3) 감도계수 행렬을 반복법을 사용하여 강성행렬 변화량을 구하고 이를 이용하여 다중 균열의 위치와 크기를 예측하는 방안을 제시하였다.

(4) 이 방법을 다중 균열이 발생한 외팔보에 적용한 결과 균열 탐지를 잘 예측하므로 제안된 방법이 타당함을 알 수 있었다.