Estimation of Vibration Field of a Cylindrical Structure Derived by Optimal Sensor Placement Methods

센서최적배치 기법에 의한 원통형 구조물의 진동장 예측

Abstract

This study is concerned with the estimation of vibration-field of a cylindrical structure by modal expansion method(MEM). MEM is a technique that identifies modal participation factors using some of vibration signals and natural modes of the structure: The selection of sensor locations has a big influence on predicted vibration results. Therefore, this paper deals with four optimal sensor placement( OSP) methods, EFI, EFI-DPR, EVP, AutoMAC, for the estimation of vibration field. It also finds optimal sensor locations of the cylindrical structure by each OSP method and then performs MEMs. Predicted vibration results compared with reference ones obtained by forced response analysis. The standard deviations of errors between reference and predicted results were also calculated. It is utilized to select the most suitable OSP method for estimation of vibration field of the cylindrical structure.

1. 서 론

동적 가진을 받는 구조물의 진동장 예측은 진동분석 및 저감 설계, 그리고 구조기인 소음(structural borne noise)의 저감과 관련하여 매우 중요하다. 진동장 예측과 관련된 대표적 연구로는 가진력 규명법(force identification)과 모드확장법(modal expansion method)이 있다. 가진력 규명법은 구조물 표면의 일부 진동 신호와 힘에 대한 응답의 전달함수를 이용하여 동적 가진력을 추정하는 방법으로, Jung(1)과 Kim(2)은 이를 냉장고 및 세탁기에 적용하여 가진력을 구하고 규명된 가진력을 바탕으로 구조물의 진동 및 소음을 예측하였다. 이러한 가진력 규명법에서는 계산에 사용하는 전달함수가 출력되는 가진력의 정확도를 결정하는 중요한 요소이다. 그러나 여러 단품들이 결합된 복잡한 구조물의 경우 정확한 전달함수를 구하는 것은 매우 어렵다. 이에 따라 규명되는 가진력 및 진동결과의 정확도도 떨어지게 된다. 반면 구조물이 가진 고유모드의 경우, 유한요소 모델이 형상적으로 잘 구현되면 실제의 고유모드를 재현하는 것이 전달함수에 비해 상대적으로 쉽다. 이에 구조물이 가진 고유모드를 이용하여 진동장을 예측하는 모드확장법에 관한 연구가 Jung(3,4)과 Guisset(5)등에 의해 수행되었다.

모드확장법은 구조물의 일부 진동응답신호와 고유모드 행렬을 이용하여 각 모드의 기여도(modal participation factor)를 추정하는 방법이다. 계산된 기여도는 측정되지 않은 나머지 지점의 진동응답을 예측하는데 사용된다. 이러한 모드확장법은 진동 신호로 사용하는 센서의 수가 많을수록 더 많은 고유모드를 고려할 수 있기 때문에 보다 정확하게 진동장을 예측할 수 있다. 그러나 구조물에 부착할 수 있는 센서의 수는 대부분 제한적인 경우가 많다. 이에 이 논문에서는 제한된 개수의 센서를 적절한 위치에 설치하여 최적의 응답 결과를 얻는 센서최적배치 연구를 진동장 예측에 적용하고자 한다.

이 논문에서 사용한 센서최적배치 기법은 EFI(6), EFI-DPR(7), EVP(8), 그리고 AutoMAC(9)이다. 이들 방법은 구조물에 존재하는 고유모드를 활용하여 최적의 센서 위치를 찾는 방법이다. 이를 원통형 구조물에 적용하여 최적의 센서 위치를 구하고, 얻어진 위치에서의 진동응답을 이용하여 모드확장법으로 진동장을 예측하고자 한다. 그리고 예측된 진동장 결과를 MSC.Nastran을 이용한 원통 유한요소 모델의 강제진동 해석 결과와 비교하고자 한다. 이 때 예측된 진동결과와 비교결과의 오차의 표준편차를 계산하고 이를 이용하여 진동장 예측에 적합한 센서최적 배치 기법을 선정하고자 한다.

 

2. 진동장 예측 이론

2.1 모드확장법

구조물의 진동응답은 모드 중첩법에 따라 구조물에 존재하는 일부 고유모드와 각 고유모드의 기여도의 곱으로 근사되는데, 이는 식 (1)과 같다.

여기서 {x(ω)}는 주파수 ω에 따른 변위벡터를 나타내고 [Φ] 는 고유모드벡터로 구성된 모드행렬을 의미한다. 그리고 {α(ω)}는 주파수에 따른 고유모드의 기여도 벡터를 나타낸다. 하첨자 N은 구조물의 총 자유도 수를 의미하며, n은 모드 중첩법에 사용한 모드의 개수를 의미한다.

이 연구에서는 구조물의 진동장을 예측하기 위하여 식 (1)과 같이 모드중첩이론에서 출발하는 모드확장법(modal expansion method)을 사용한다. 모드확장법이란 구조물 표면의 일부 응답점으로부터 획득한 진동신호와 구조물에 존재하는 고유모드를 이용하여 모드의 기여도를 찾는 이론으로 식 (2)와 같이나타낼 수 있다.

여기서 {(ω)}는 표면의 일부 응답점에서 획득한 진동변위벡터이고 하첨자 m은 센서의 수를 의미한다. []구조물 전체의 모드행렬 [Φ]로부터 신호 획득점에 해당하는 값만을 추출해 재구성한 모드행렬이며, 위첨자 †는 의사역행렬(pseudo-inverse)로 식 (3)과 같이 정의된다.

따라서 식 (2)를 이용하면 일부 진동응답으로부터 각 고유모드의 기여도벡터 {(ω)}를 추정할 수 있다. 이 때 추정되는 기여도 벡터는 계산에 사용한 모드의 개수(미지수의 개수) n보다 측정점의 수(식의 수) m이 더 많을수록 최소자승법에 의거하여 더 정확하고 합당한 결과를 도출하게 된다.

주파수에 따른 구조물의 진동장 {𝑥(ω)}N×1은 추정된 고유모드의 기여도 벡터를 이용하여 식 (4)와 같은 방법을 통해 구할 수 있다.

 

3. 센서최적배치 기법

2장에서는 구조물의 주파수 별 진동장 예측을 위한 모드확장법 이론에 대하여 소개하였다. 이때 모드확장법은 고유모드의 기여도벡터를 추출하기 위하여 구조물 표면 일부 응답점에서의 진동신호를 필요로 한다. 이 때 표면 응답점의 위치는 추정되는 기여도벡터에 지배적인 영향을 미친다. 따라서 어떠한 위치에서의 응답을 선택하는지가 매우 중요하다. 이에 이 연구에서는 센서의 최적배치와 관련된 여러 이론을 이용하여 진동장 예측에 적합한 최적의 센서배치 기법을 찾고자 한다. 이를 위해 이 연구에서는 EFI, EFI-DPR, EVP, 그리고 AutoMAC의 센서최적배치 기법을 활용하였다.

3.1 EFI

Effective independence(EFI) 기법은 사용하는 고유모드에 대한 선형 독립성을 확률밀도함수로 정의하여 이 값이 최대가 되도록 센서를 배열하는 방법이다. 이를 수식으로 나타내면 식 (5), (6)과 같다.

여기서 행렬 E의 대각요소인 EFI는 모드행렬 [Φ]에 대한 각 센서의 기여도를 나타낸다. 이 때 기여도가 가장 작은 요소에 해당하는 행을 소거하고 원하는 센서의 개수를 얻을 때까지 위 작업을 반복하면 최적의 센서 위치를 찾게 된다.

3.2 EFI-DPR

EFI-DPR 기법은 앞서 소개한 EFI 기법과 ADPR(average driving point residue) 기법을 결합한 방법으로, 고유모드의 선형독립성을 유지하면서 주파수 가중된 응답 크기를 최대로 하는 위치를 센서점으로 결정하는 방법이다. 이를 식으로 나타내면 아래의 식 (7)과 같다.

여기서 n은 사용한 고유모드의 개수이고 φij는 j번째 모드벡터의 i번째 요소이며 ωj는 j번째 고유진동수이다. EFI-DPR 기법 또한 EFI 기법과 동일하게 가장 작은 요소에 해당하는 행을 소거하고 원하는 센서의 개수를 얻을 때 까지 반복하여 최적의 센서 위치를 찾는다.

3.3 EVP

Eigenvalue vector product(EVP) 기법은 에너지를 기반으로 한 센서최적배치 기법으로 식 (8)과 같이 표현된다.

이 방법은 선택되는 센서가 진동 모드의 노달 라인(nodal line)에 걸리지 않도록 센서를 선정하는 방법이기도 하다. 이를 이용한 센서의 위치 선정은 에너지의 크기를 의미하는 EVP 값이 큰 값을 기준으로 최적의 센서 위치를 결정하게 된다.

3.4 AutoMAC

AutoMAC(auto modal assurance criterion)은 고유모드벡터 간의 유사성 및 직교성을 평가하는 지표로 식 (9)와 같이 정의된다(10).

여기서 {φi},{φj}는 각각 i번째, j번째 고유모드 벡터를 의미한다. AutoMAC은 i=j인 경우 항상 1의 값을 가지며, i≠j인 경우 두 모드벡터 간의 직교성이 크면 0에 가까운 값을, 서로 유사하면 1에 가까운 값을 나타낸다. AutoMAC을 활용한 센서최적배치 기법은 AutoMAC 행렬의 비대각요소의 합이 최소가 되도록 센서를 배열하는 방법이다. 이 방법은 앞서 언급한 다른 방법들과 달리 최적 센서점을 찾기 위해 최적화 알고리즘을 필요로 한다. 본 논문에서는 AutoMAC 행렬의 비대각요소의 합을 최소화하는 최적 센서 위치를 찾기 위해 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 사용하였다(11,12).

 

4. 해석 및 결과

4.1 해석모델

이 논문에서 다루는 해석모델은 양 끝단의 변위가 고정된 원통형 구조물로 유한요소 모델 정보(절점 수: 1550, 요소 수: 1500)는 Fig. 1과 같다. 이때 원통형 구조물의 두께는 10 mm이며 재질은 강철(steel)로 이에 대한 물성치는 Table 1에 나타내었다. 이러한 원통형 구조물에 대한 센서최적배치와 모드확장법을 수행하기 위하여 MSC.Nastran을 이용하여 이 유한요소 모델에 대한 고유치해석과 강제진동 해석을 수행하였다. 이 때 강제진동 해석에 사용한 힘 스펙트럼은 60 Hz의 조화 가진력으로 Fig. 2와 같고, 가진 위치 및 가진 방향의 경우 Fig. 1에 나타내었다.

Fig. 1Geometry of cylinder and excitation point

Table 1Material properties of steel

Fig. 2Input force spectrum in frequency domain

4.2 센서최적배치 결과

이 절에서는 3장에서 소개한 4가지의 센서최적배치 기법을 이용하여 원통형 구조물의 진동장 예측을 위한 총 32개의 최적 센서 위치를 도출해보았다. 이때 계산에 사용한 고유모드의 수는 1차부터 32차까지 총 32개이다. Fig. 3은 EFI, EFI-DPR, EVP, AutoMAC을 통해 얻은 원통형 구조물의 최적 센서위치를 나타낸다.

Fig. 3Sensor locations of cylinder according to optimal sensor placement methods

4.3 센서최적배치에 따른 진동장 예측

이 절에서는 4.2절에서 나타낸 최적 센서 위치에서의 진동응답을 이용하여 모드확장법으로 원통형 구조물의 진동장을 예측한다. 이를 위해 먼저 강제진동 해석으로 최적 센서 위치에서의 가속도 응답을 얻었다. 그리고 식 (10)을 이용하여 원통형 구조물의 고유모드에 대한 기여도 벡터를 산출하였다.

도출된 기여도 벡터를 이용하여 원통형 구조물 모든 위치에서의 가속도 진동응답을 아래의 식 (11)과 같이 계산하였다.

Figs. 4~7은 MSC.Nastran을 이용한 원통 유한요소 모델의 강제진동 해석 결과와 센서최적배치 기법을 활용하여 예측한 진동장 결과를 60 Hz의 조화주파수 별로 비교한 그림이다. 여기서 (a)reference는 강제진동 해석 결과이다. 그림을 살펴보면 모든 주파수에서 AutoMAC 기법을 활용한 진동장 예측결과가 비교결과인 강제진동 해석 결과를 가장 잘 따라가고 있음을 살펴볼 수 있다. 보다 정량적으로 평가하기 위하여 주파수 별로 비교 결과와 예측결과가 가지는 가속도 오차를 구하고, 그 오차의 표준편차를 계산하여 Table 2에 나타내 보았다. 이 때 Table 2에 나타낸 수치결과는 0에 가까울수록 비교 결과와 유사함을 의미하는데, AutoMAC을 활용한 센서최적배치 기법이 60, 120, 180, 240 Hz에서 비교 결과와 가장 유사한 결과를 보이고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 4Comparison of vibration-field at 60 Hz between reference and predicted results

Fig. 5Comparison of vibration-field at 120 Hz between reference and predicted results

Fig. 6Comparison of vibration-field at 180 Hz between reference and predicted results

Fig. 7Comparison of vibration-field at 240 Hz between reference and predicted results

Table 2Standard deviation of errors between reference and predicted results

 

5. 결 론

이 논문에서는 4가지 센서최적배치 기법에 따른 원통형 구조물의 진동장 예측을 수행하였다. 이 논문에서 사용한 센서최적배치 기법은 EFI, EFI-DPR, EVP, AutoMAC이며, 진동장 예측의 경우 구조물의 일부 진동신호와 고유모드로부터 각 모드의 기여도를 추출하여 나머지 점의 진동을 예측하는 모드확장법을 사용하였다. 이를 원통형 구조물에 적용하여 센서최적배치 방법에 따라 32개의 최적 응답점을 도출하였다. 그리고 도출된 위치에서 가속도 응답을 이용하여 모드확장법으로 총 32개 모드의 기여도를 추정하였다. 추정된 기여도를 바탕으로 원통형 구조물의 진동장을 60 Hz의 조화주파수 별로 예측하였고, 이를 원통 유한요소 모델의 강제진동 해석 결과와 비교해보았다. 또한 예측된 진동장의 정량적 검증을 위해 비교결과와 예측결과가 가지는 오차의 표준편차도 계산하였다. 그 결과 AutoMAC을 활용하는 센서최적배치 기법이 60, 120, 180, 240 Hz에서 비교결과와 가장 유사한 진동장 결과를 보였다. 또한 오차의 표준편차도 각 주파수에서 0.0023, 0.5585, 0.0329, 0.1548로 다른 방법에 비해 가장 작은 값을 나타내었다. 이로부터 AutoMAC 기법이 모드확장법을 이용한 진동장 예측에 가장 적합함을 확인할 수 있었다.