Characteristic Analysis of Double sided Permanent Magnet Linear Generator by using Analytical Method

해석적 방법을 이용한 양측식 선형 영구자석 발전기의 특성해석

Abstract

This paper deals with characteristic analysis of double sided permanent magnet linear generator using analytical method. We derived magnetic field solutions produced by permanent magnet and armature reaction based on the 2D polar coordinate and magnetic vector potential. based on the derived magnetic field solutions, Induced voltage is obtained when arbitrary sinusoidal input condition. In addition, electrical parameters such as back-EMF constant, resistance, and inductance are obtained. Finally, generating performance characteristic at the rated load and various load is examined by using equivalent circuit.

1. 서 론

석유 에너지 고갈 및 환경오염 문제가 대두됨에 따라, 전기 에너지에 대한 필요성이 점차 확대되고 있다. 이에 따라 에너지를 변환하는 발전기에 대한 중요성 또한 증가하고 있다. 이 중 영구자석 발전기는, 높은 에너지 밀도를 가지고 있는 희토류 자성체의 발견으로 인하여 보다 경량화, 소형화가 가능해 지고, 보다 높은 효율을 가질 수 있는 등의 장점 때문에 다양한 용도로 사용되고 있다. 특히 회전형 영구자석 동기발전기는 신재생 에너지인 풍력 발전에 사용됨으로 써 활발하게 그 연구가 진행되었다 [1]. 이러한 회전형 발전기는 회전하는 운동 에너지를 전기에너지로 변환하는데 있어서 효과적이지만, 병진운동을 하는 사용처에 사용되기에는 기계적인 변환장치를 거쳐야 하는 등의 한계를 가지고 있다. 이와 같이 병진운동을 하는 사용처에 선형 발전기를 사용하면, 병진운동 에너지를 직접적으로 변환할 수 있기 때문에, 기어와 같은 기계적인 변환장치에 대한 의존도를 제거할 수 있으며 지속적인 유지보수가 필요하지 않으므로 보다 높은 효율과 신뢰성을 확보할 수 있다 [2]. 따라서 선형 영구 자석 발전기는 차세대 신재생 에너지로 각광받고 있는 파력 에너지 발전의 에너지 변환장치 [3-4], 하이브리드 차량의 free piston energy converter [5-6], 저용량 에너지 저장 장치 [7] 등의 다양한 사용처에 대한 연구가 활발하게 이루어지고 있다.

발전기의 특성 해석을 위한 전자기 해석 방법에는 크게 해석적 방법과 유한요소 해석법이 사용된다. 이중 널리 사용되는 유한요소해석법은 보다 정확한 해석 결과를 제공하는 반면, 유연성이 부족하여 설계변수가 특성에 미치는 영향을 파악하기 위해서는 해석모델을 일일이 다시 그려야 하므로 많은 시간을 소모한다는 단점이 있다. 반면에 해석적 방법은 우수한 정확도를 가지면서, 설계변수를 변경하여 해석하는데 수초의 시간만이 걸린다. 따라서 본 논문에서는 해 석적 방법 중 D. L. Trumper [8]가 제시한 전자기 전달관계 해석법을 이용하여 양측식 선형 영구자석 발전기의 특성 해석을 수행하였다. 먼저, 2차원 직각좌표계를 이용하여 영구자석을 모델링하고 푸리에 급수 전개를 통하여 영구자석의 자화성분을 표현하였다. 양 측의 영구자석 영역과 공극 영역에서의 지배방정식을 유도하고, 각 영역에서의 자기벡터 퍼텐셜과 경계조건을 이용하여 자속밀도의 해석 해를 도출하여 전달관계 행렬로 표현하였다. 얻어진 자속밀도 해석해를 이용하여 정현적인 입력에 의해 유기되는 역기전력 특성 식을 유도하였다. 영구자석에 의한 자계분포 해석과 동일한 과정을 통하여 전기자 반작용에 의한 자속밀도 분포를 해석하고, 해석 결과들을 바탕으로 인덕턴스 등의 회로정수들을 구하였다. 마지막으로, 회로 정수 및 등가회로법을 이용하여 정격 부하 및 부하 조건에 따른 출력 특성을 파악하였다.

 

2. 자계 특성 해석 및 회로 정수 도출

본 논문에서 다룬 양측식 선형 영구자석 발전기의 구조는 그림 1과 같다. 이동자는 coreless로 구성되어 있으며, 영구 자석이 위치한 고정자는 이동자의 양측에 위치함으로써 기존의 단측식 보다 높은 공극자속밀도를 가지게 된다.

2.1 영구자석에 의한 자계분포 특성 해석

공간고조파법을 이용하여 자계분포특성을 파악하기 위한 해석 모델을 그림 2에 나타냈다. 상측 영구자석을 I 영역, 공극을 II 영역, 하측 영구자석을 III 영역으로 구분하였다. 해석의 편의를 위하여 공극의 중앙을 영점에 위치시키고, 공극 중앙으로부터 상측 및 하측 영구자석의 표면까지의 거리를 α, 공극 중앙에서 core 표면까지의 거리를 β로 정의하였다. 그리고 각 영역의 경계를 (a)∼(h)로 나타냈다. 또, 자석의 투자율은 공기와 같고, 고정자 core의 투자율은 무한대와 같다고 가정하였다.

그림 1양측식 선형 영구자석 발전기의 구조 Fig. 1 Structure of double sided permanent magnet linear generator

그림 2영구자석에 의한 자계분포 해석을 위한 해석 모델 Fig. 2 Analytical model for magnetic field distribution produced by permanent magnets

평행방향으로 착자된 영구자석의 자화성분(M)은 식 (1)과 같이 푸리에급수를 이용하여 나타낼 수 있다.

이고, n은 고조파 성분의 차수를 의미하고, τ는 극 간격을 의미한다. 푸리에계수 Myn은 식 (2)와 같다.

이때 이고, Br 은 영구자석의 잔류자속밀도, μ0 = 4πㆍ10˗7 H/m로 공기의 투자율, αp는 극호비를 각각 나타낸다. 영구자석에서의 자속밀도(B)는 식 B= μ0(H+M)과 같이 나타낼 수 있다. 이때 양변에 curl 연산을 취하면, 식 (3)과 같이 정리된다. 이때 외부 자계에 의한 유도자화 성분은 무시할 수 있다고 가정하였다 [9].

자기벡터퍼텐셜(A)의 정의는 B≡∇×A와 같다. 양변에 curl 연산을 취하고, 벡터 항등식과 Coulomb’s guage (∇∙A)를 적용하면 식 (4)와 같이 정리 된다 [8].

식 (3)과 (4)를 결합하여 식 (5), (6)과 같이 영구자석 영역 및 공극 영역에서의 지배방정식을 구할 수 있다 [10].

이때 자기벡터퍼텐셜(A)은 전류와 같은 방향을 가지며, x 방향으로 분포하며, y방향의 크기를 가지므로 와 같이 표현될 수 있다. 자기벡터퍼텐셜을 식 (5), (6)에 대입하면 식 (7), (8)과 같이 각 영역 에 대한 미분방정식을 유도할 수 있고, 그 해를 구하여 식 (9), (10)과 같이 자기벡터퍼텐셜을 표현할 수 있다. 이때 A1, A2는 미정계수 이다.

본 논문에서 다룬 해석 모델과 같이 해석영역이 다층영역으로 이루어진 경우에, 전자기 전달관계를 이용하면 각 영역의 지배방정식을 푸는 과정을 행렬방정식으로 바꾸어 프로그램화함으로써, 보다 신속하고 간략하게 풀 수 있다 [11]. 이를 위하여 식 (9) ∼ (10)을 자기벡터퍼텐셜의 정의를 이용하여 자속밀도에 관한 식으로 정리하고, 각 영역의 경계에 대입하면 식 (11) ∼ (13)과 같이 각 영역의 성분별 자속밀도계수와 자기벡터퍼텐셜과의 전달관계 행렬로 나타낼 수 있다.

Cn, Sn은 함수로써 각각 Cn(x) = kn coth(knx), 이다. hm = β˗α, hg = α를 각각 나타내며, , Xn = Cn(hm)˗Sn(hm)이다. 이와 같은 자속밀도 특성식을 아래 표 1에 나타낸 경계조건에 대입하여 정리하면, 각 경계에서의 자기벡터퍼텐셜 계수들을 구할 수 있다.

식 (9) 이후의 일련의 과정과 같은 방법으로 공극영역 내 임의의 지점 Y에서의 자속밀도를 일반화 할 수 있으며, 자속밀도 계수는 식 (14), (15)와 같다.

표 1각 영역의 경계조건 Table 1 Boundary conditions of each region

그림 3전기자 반작용에 의한 자계분포 해석을 위한 해석 모델 Fig. 3 Analytical model for magnetic field distribution produced by armature reaction

2.2 전기자 반작용에 의한 자계 분포 특성 해석

해석적 방법을 이용하여 인덕턴스를 구하기 위해서는 전기자 반작용에 의한 자계 해석이 필수적이다 [12]. 전기자 반작용에 의한 자계 분포 특성 해석을 위한 해석 모델은 그림 3과 같다. 권선의 투자율은 공기와 같고, 고정자 core의 투자율은 무한대와 같다고 가정하였다. 또, 전기자 반작용에 의해서 생성된 자계만을 해석하기 위하여 영구자석을 공기로 가정하였다. 각 영역의 경계를 이전과 같이 나타냈고, 이동자에 위치한 권선의 두께는 이전의 해석모델에서의 공극영역 두께와 다르므로 (c’) ∼ (f’)으로 나타냈다. 이때 공극 중앙으로부터 권선의 위쪽 표면까지의 거리는 α′과 같다.

전기자 반작용에 의한 자계 분포 특성 해석을 위하여 한상의 전류밀도를 모델링하여 푸리에급수를 이용하여 표현하면 식 (16)과 같이 나타낼 수 있다.

이때 Jna 는 전류밀도 푸리에 계수를 나타내고, Tn은 공간 고조파 계수로써 이며, 이때 T는 권선 분포 주기의 1/2 이다. cl은 한 상 권선의 x방향 두께이고, τc는 코일 피치를 의미한다. 식 (16)에 위상차를 고려하여 각 상을 더해 주면 평형 3상 권선의 전류밀도를 푸리에급수로 표현할 수 있다. 각 영역의 지배방정식은 식 (17) ∼ (18)과 같다 [13]. 영구자석에 의한 자계분포 특성 해석에서 수행하였던 일련의 과정을 동일하게 적용하면, 공극 영역의 임의지점 Y에서의 성분별 자속밀도계수와 자기벡터퍼텐셜과의 관계는 식 (19)와 같이 전달관계 행렬로 나타낼 수 있다.

Cn2, Sn2은 함수로써 각각 Cn2(x) = Tn coth (Tnx), 이다. hma = β ˗ α′, hc = α′를 각각 나타낸다. 이와 같은 자속밀도 특성식을 이전과 같은, 표 1의 경계조건에 대입하여 정리하면 각 경계에서의 자기벡터퍼텐셜 계수들을 구할 수 있다.

그림 4쇄교자속 해석을 위한 해석모델 Fig. 4 Analytical model for flux linkage analysis

2.3 회로정수 도출

2.3.1 역기전력 상수

영구자석에 의하여 생성된 자계 내에서 운동하는 코일에 유기되는 기전력(Eemf )은 식 (20)과 같이 나타낼 수 있다 [14].

이때 Nturn은 슬롯당 턴수, Kdn은 분포 계수, Nsp는 상당 슬롯수, 그리고 ϕ는 코일 1턴당 쇄교하는 자속을 나타낸다. 턴당 쇄교자속 로 나타낼 수 있고, 이를 구하기 위한 해석적 모델은 그림 4와 같다.

lstk은 적층 길이를 의미한다. 영구자석에 의해서 분포된 자계의 축을 (x,y,z)로 나타냈고, 이동자의 축을 (x’,y,z)로 나타냈다. 영구자석의 수평방향 축 x와 이동자의 축 x’는 x’ = x + ∫ Vdt의 관계를 가진다. V는 전기자의 이동 속도를 나타내며, 본 논문에서는 임의의 정현파로 가정하여 V = vpsin(wt)와 같다. vp는 최대속도, t는 시간을 각각 나타내며, w = 2πf이고 f는 주파수를 의미한다. 따라서 전기자에 위치한 코일에 턴당 쇄교하는 자속(ϕ)은 식 (21)와 같이 표현할 수 있다.

식 (21)를 식 (20)에 대입하여 정리하면, 식 (22)과 같이 정리된다.

이때 해석모델의 역기전력상수(Ke)는 식 (23)와 같다 [11].

2.3.2 저항

각 상의 권선 저항(Rph)은 식(24)에 의해 구해질 수 있다.

본 논문에서는 상온으로 가정하여, 온도에 따른 저항 특성을 고려하지 않았다. ρ0는 상온에서의 구리의 저항률로써 ρ0 = 1.724 × 10˗8Ω ㆍ m의 값을 가진다. lw 는 한 상 권선의 총 길이, Ac는 코일하나의 단면적을 의미하며 각각 lw = NturnNsp (2lstk + πτc), 의 값을 가진다. 이때 hc 는 공극 중앙으로부터 코일의 y방향 높이이고, sf는 점적률 로써 0.35의 값을 가진다.

2.3.3 인덕턴스

각 상의 인덕턴스는 자기 인덕턴스, 상호 인덕턴스, 누설 인덕턴스 성분의 합으로 나타낼 수 있는데, 누설 인덕턴스는 작은 값을 가지기 때문에 본 논문에서는 무시하였다. 또한 자기인덕턴스에 포함되어야 하는 end-turn 인덕턴스 또한 같은 이유로 본 논문에서는 다루지 않았다.

한 상에 의하여 한상 코일에 쇄교하는 자속은 λa = Lselfia 와 같이 구할 수 있다. 이때 λa는 a상의 전기자 반작용에 의하여 a상 권선에 쇄교되는 자속을, Lself는 한 상의 자기 인덕턴스, ia는 a상의 전류를 각각 의미한다. 이때 한상 코일 에 쇄교하는 자속은 전기자 반작용 자계에 의해서도 표현 가능하며 식 (25)과 같이 정리되고, 이를 이용하여 한 상의 자기 인덕턴스를 구할 수 있다. 각 상간의 위상차가 120도인 3상 권선을 가지는 기기의 상호인덕턴스는 자기인덕턴스와 식 (26)와 같은 관계를 가진다. 이때 M은 상호인덕턴스를 의미한다. 따라서 한 상 코일에 쇄교되는 총 자속 λ는 식 (27)과 같이 구할 수 있으며 [15], 이를 이용하여 동기 인덕턴스를 구할 수 있다.

2.4 발전특성 해석

2.4.1 등가회로

발전기의 출력특성 해석을 위한 단상 등가회로는 그림 5 와 같다. 등가회로의 회로정수는 이전의 해석 방법으로 도출할 수 있고, 발전기의 부하단에 저항 부하가 연결되어 있다. E0는 상당 유도된 기전력, Vt는 상당 단자전압, Iph는 상전류, 그리고 Rload는 상당 부하저항을 각각 의미한다. Xs는 동기리액턴스로 Xs = wLs 의 값을 가진다.

그림 5의 등가회로를 이용하여 벡터도를 그리면 그림 6과 같다. δ는 전류와 유도기전력 사이의 위상각, ϕ는 내부 위상각을 나타내며, 의 값을 가진다. 등가회로 및 벡터도를 이용하여 단자전압(Vt), 상전류(Iph), 그리고 역기전력(E0)에 관한 식을 유도하면 식 (28)과 같다.

2.4.2 출력 특성 해석

정격부하조건에서 3상의 출력(Po)은 식 (29)와 같이 표현된다. 아래첨자 a, b, c 는 각각 a상, b상, c상을 의미하고, Ia, Ib, Ic는 각 상의 전류, Vta, Vtb, Vtc는 각 상의 단자전압을 나타낸다.

그림 5발전특성해석을 위한 등가 회로 Fig. 5 Equivalent circuit for power characteristic analysis

그림 6등가회로의 벡터도 Fig. 6 Vector diagram of equivalent circuit

 

3. 해석 결과

발전특성해석을 위하여 고려한 양측식 선형 영구자석 발전기의 사양은 표 2와 같다. 본 논문에서 다룬 해석 모델은 파력 에너지 변환용 직선형 발전기로써, 정격 입력시 30kW 의 최대 출력을 가지도록 설계되었으며 2차 전력 변환의 용이성을 위하여 최대 단자 전압은 250V 미만으로 제한되었다. 발전기의 입력은 정격 최대 입력 속도를 만족시키는 정현파로 가정하였다.

공간고조파법을 이용한 해석 결과에 대한 타당성은 그림 7와 같이 2차원 유한요소 모델을 이용하여 검증하였다. 먼저 공극 자속밀도 해석 결과를 비교하여 그림 8에 나타냈다. 그림에서 확인할 수 있듯이, 공극 영역에서의 자계분포 해석 결과는 2차원 유한요소해석 결과와 거의 일치함을 알 수 있다.

그림 72차원 유한요소해석 모델 Fig. 7 2D Finite elements analysis model

표 2해석 모델의 설계 사양 및 정격 사양 Table 2 Design and Rated Specification of Analysis model

그림 8공극자속밀도 해석 결과 Fig. 8 Analysis results of the magnetic flux density at air gap

그림 9에 해석 모델의 정격 입력 파형을 나타냈다. 최대 속도vp = 3.5 m/s이며, 주기는 6초 이다. 공극영역에서의 자계 분포 해석 결과 및 식 (22)을 이용하여, 이동자가 정격 입력 파형일 때 역기전력 해석 결과는 그림 10과 같다. 본 논문에서 다룬 해석모델의 권선은 집중권 방식이고, 코일피치와 영구자석의 극 피치가 같으므로 분포계수(Kdn)는 1과 같다. 이동자의 초기 위치를 유한요소해석과 공간고조파법을 이용한 해석시에 동일하게 설정하여, 한 주기동안 해석한 결과를 그림 10에 나타내고, 보다 정확한 해석결과 비교를 위해서 2.5초 ∼ 3.5초 구간을 확대하여 그림 11에 나타냈다. 이동자의 초기 위치를 동일하게 설정해 주었을 경우, 유한요소해석 및 공간고조파법을 이용한 해석의 결과는 거의 일치한다는 것을 확인할 수 있다.

그림 9정격 입력 파형 속도 Fig. 9 Rated input wave velocity

그림 10유도기전력 해석 결과 Fig. 10 Analysis results of the induced voltage.

그림 11비교를 위한 유도기전력 해석 결과의 2.5초∼3.5초 구간 Fig. 11 2.5 ∼ 3.5 seconds section of the analysis results of the induced voltage for comparison

또한 전기자 반작용에 의한 자속밀도 분포를 확인하기 위하여 I영역 공극 내의 y=22mm 일 때의 전기자 반작용에 의한 공극자속밀도 해석 결과를 그림 12에 나타냈다. 이 또한 유한요소해석 결과와 비교되었고, 매우 잘 일치한다. 전기자 반작용에 의한 자계분포를 이용하여 얻어진 자기 인덕턴스를 포함한 회로정수를 계산하여 표 3에 그 결과를 나타냈다.

정격 부하 조건에서의 출력 해석 결과는 그림 13과 같다. 해석적 방법의 신뢰성을 바탕으로, 식 (29)을 이용하여 부하 조건에 따른 출력 특성 해석을 수행하여 그 결과를 그림 14 에 나타냈다. 이를 통해 발전기의 전압-출력 및 전압-전류의 관계를 파악할 수 있다.

그림 12전기자 반작용에 의한 공극 자계 분포 Fig. 12 Air gap flux density distribution by armature reaction

표 3회로정수 해석 결과 Table 3 Analysis results of electrical parameters

그림 13정격 부하 조건에서의 출력 Fig. 13 Output power at the rated load condition

그림 14부하 조건에 따른 출력 특성 Fig. 14 Output characteristic according to load condition

 

3. 결 론

본 논문에서는 공간고조파법 중 전달관계 해석법을 이용하여 양측식 선형 영구자석 발전기의 특성 해석을 수행하였다. 먼저 영구자석에 의한 자계분포특성을 해석하고, 이를 바탕으로 역기전력 특성 식과 역기전력 상수를 유도하였다. 전기자 반작용에 의한 자계분포특성 해석을 통하여 자기인 덕턴스를 도출하였으며, 이를 통해 동기인덕턴스 또한 유도하였다. 이동자 권선의 구조를 고려하여 저항 값을 계산하고, 얻어진 회로정수와 등가회로법을 바탕으로 유도기전력 및 단자전압, 전류와의 상관관계를 파악하여 해석 모델의 출력특성을 해석하였다. 모든 해석 결과는 2차원 유한요소해석 결과와 비교되었으며, 매우 잘 일치하는 것을 확인하였다. 따라서 해석적 방법을 이용한 양측식 선형 발전기 해석에 대한 신뢰성이 검증되었다. 본 논문의 연구 결과는 양측식 선형 발전기의 초기 설계 및 설계변수 민감도 해석, 그리고 성능 평가에 참고할 수 있을 것으로 사료된다. 또한 본 논문의 후속 연구로, 양측식 선형 영구자석 발전기를 실제로 제작하여 본 논문에서 제시한 해석 방법을 통한 해석 결과와 비교해 볼 수 있을 것으로 생각된다.