단상 BLDC 전동기의 코깅토크 저감을 위한 고정자 형상 최적설계

Optimal Design of Stator Shape for Cogging Torque Reduction of Single-phase BLDC Motor

Abstract

This paper proposes the optimal design of stator shape for cogging torque reduction of single-phase brushless DC (BLDC) motor with asymmetric notch. This method applied size and position of asymmetric notches to tapered teeth of stator for single-phase BLDC motor. Which affects the variation of the residual flux density of the permanent magnet. The process of optimal design included the extraction of the sampling point by using Latin Hypercube Sampling(LHS), and involved the creation of an approximation model by using kriging method. Also, the optimum point of the design variables were discovered by using the Genetic Algorithm(GA). Finite element analysis was used to calculate the characteristics analysis and cogging torque. As a result of finite element analysis, cogging torque were reduced approximately 39.2% lower than initial model. Also experimental result were approximately 38.5% lower than initial model. The period and magnitude of the cogging torque were similar to the results of FEA.

1. 서 론

최근 생활수준의 향상과 더불어 쾌적한 환경에 대한 요구가 날로 증가하는 가운데 사무, 주거환경의 고층기밀화로 실내공기의 강제환기와 더불어 고급화에 따른 다양한 종류의 환풍시스템의 적용이 증대되고 있다. 또한 환경문제에 대한 관심과 불안한 전력수급 문제로 에너지 절약에 대한 중요성이 강조되고 있다. 이에 따라 비교적 효율이 낮은 유도전동기 보다 효율이 높은 3상 Brushless DC(BLDC) 전동기가 적용되고 있는 추세이다. 하지만 최근에는 가격적인 측면에서 3상 BLDC 전동기보다 유리한 단상 BLDC 전동기의 연구개발도 활발히 시도되고 있다.

단상 브러시리스 직류전동기의 경우 토크가 발생하지 않는 dead-point가 발생하여 초기 기동시 어려움이 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 그림 1과 같이 고정자 치를 비대칭으로 설계하여 토크가 발생할 수 있는 위치에 항상 정지하게끔 설계하는 방법이 연구되어지고 있다[1-3]. 하지만 이러한 고정자 비대칭 구성은 환풍기의 중요한 요인 중 하나인 소음·진동의 원인중 하나인 코깅토크에도 큰 영향을 주게되므로 코깅토크 저감이 필수적이다. 코깅토크를 저감하기 위한 방법에는 공극의 길이 증가, 슬롯이나 극의 수 증가, 회전자 또는 고정자치에 노치 적용, 회전자 또는 고정자에 스큐를 적용하는 방법들이 연구되어지고 있다 [4-8]. 이러한 여러 코깅토크 저감 방법중 본 논문에서는 적용이 쉽고, 간단하며 제작 비용면에서 비교적 저렴한 고정자 치에 노치를 적용하였다. 고정자 치에 2개의 노치를 위치와 반경을 비대칭 적으로 적용하였으며[9-10], 노치의 위치와 반경을 결정하기 위해 최적화 방법을 이용하였다. 일반적으로 전기기기의 특성들은 비선형이기 때문에 수식을 이용한 설계와 등가회로를 이용한 설계는 정확한 결과를 얻기 힘들다. 이러한 이유로 유한요소법을 이용한 해석을 하는데 해석시간이 길다는 단점을 가지고 있다.

본 논문에서는 최소의 시간으로 최적의 형상을 찾기 위해 최적화 기법을 코깅토크를 저감하기 위한 고정자치 형상설계에 적용하였다. 코깅토크 저감에 알맞은 최적의 위치와 반경을 찾기 위해 최적화 실험 계획법인 LHS를 사용하였으며, 모델근사화를 위한 크리깅 모델과 최적화 기법인 유전 알고리즘을 사용하였다. 또한 최적설계의 특성해석 결과값과 유한요소해석을 통한 특성비교를 통하여 최적설계 결과를 검증 후 제 작 및 실험으로 본 논문의 타당성을 검증하였다.

그림 1기존의 단상 Brushless 전동기 형상 (a) 노치가 없는 비대칭 공극 고정자 형상 (b) 대칭 고정자 한쪽치에 홈을 적용한 형상 (c) 노치가 없는 비대칭 고정자 형상 (d) 대칭 고정자 한쪽치에 노치를 적용한 형상 Fig. 1 Shape of existing single-phase BLDC motor (a) Tapered-air gap (b) Steped-teeth (c) Asymmetricteeth (d) Notched-teeth

 

2. 코깅토크 저감을 위한 최적 설계

2.1 일반적인 브러시리스 직류 전동기의 코깅토크 유도[9]

코깅토크는 영구자석을 사용하는 전동기에서 필연적으로 발생되는 고정자의 비균일 토크로서 전동기의 자기 에너지가 최소인 위치 즉 평형상태로 이동하려는 반경 방향의 토크를 의미한다. 이러한 코깅토크는 환풍기의 중요한 요인중 하나인 소음·진동의 원인이 되므로 반드시 코깅토크를 고려하여 설계하여야 한다.

코깅토크는 회전자의 회전량에 따른 에너지의 변화량 이므로 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

여기서 Tcog은 코깅토크, ΔW(α)는 에너지의 변화량, Δ(α)는 회전자의 회전량이다.

SPM의 경우 대부분의 에너지 변화는 공극부분에서 발생하므로, 공극부분의 에너지만을 고려하여 코깅토크를 구할 수 있다. 공극 에너지는 식 (4)와 같으며, 공극 기자력 함수와 공극 퍼미언스 함수로부터 구할 수 있다.

여기서 μ0는 공극 투자율, F는 공극 기자력 함수, P는 공극 퍼미언스, B는 자속밀도, G는 상대공극 퍼미언스, Ls는 고정자의 적층 길이, Rs는 고정자 외경, Rm은 영구자석의 내경이다.

식 (4)에서 우함수로 이루어진 B(θ,α)2 와 G(θ)2을 푸리에 급수 전개를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 Ns는 슬롯수, Np는 극 수이며 삼각함수의 직교성으로 인해 공극 에너지에 영향을 끼치는 주파수 성분은 Ns와 Np의 최소공배수인 NL이다. 이를 통해 공극 에너지 함수를 구하게되면 식 (7)과 같다.

식 (1)에 따라 식 (7)에서 구한 공극에너지를 회전자의 회전각으로 미분함으로써 최종적인 코깅토크를 식 (8)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (8)에서 알 수 있듯이 BnNL과 GnNL값에 의해 코깅토크가 결정 된다.

2.2 단상 브러시리스 직류 전동기의 노치를 적용한 코깅토크 저감

코깅토크의 저감을 위해 고정자 치에 노치를 적용하게 되면 상대 공극 함수의 형상이 바뀌게 되고, 유효 슬롯수(실제 슬롯 수와 노치수를 합한 개수)가 변함에 따라 GnNL의 값이 달라지게 되므로, 코깅토크를 저감 할 수 있다. 또한, 고정자 shoe의 폭이 여유가 있다면 노치는 2개 이상 사용할 수 있다. 공극 퍼미언스 함수에서 노치로 들어간 부분이 0이 된다고 가정하면 그림 2(a)와 같은 형상이라고 할 때, 상대 퍼미언스 함수를 푸리에 급수 전개를 통하여 식 (9)와 같이 구할 수 있다.

그림 22개의 노치를 적용한 고정자 형상 (a) 고정자 형상 (b) 상대 퍼미언스 함수 Fig. 2 Stator shape applied 2 notch (a) stator shape (b) relative permeance function

여기서 a는 슈의 길이, b는 노치의 크기, c는 노치와 노치 사이의 거리이다.

노치의 영향으로 공극 퍼미언스 푸리에 계수의 고조파 항이 변하게 되고 고조파 항이 커지게 설계하게 되면, 고조파의 주파수는 커지고 크기는 작아지게 되므로 코깅토크는 결과적으로 감소하게 된다.

2.3 코깅토크 저감을 위한 고정자 형상 최적설계[11]

환풍시스템에 적용하기 위한 120[W]급 단상 브러시리스 직류전동기의 설계 사양 및 제원은 표 1과 같다. 단상 브러시리스 직류전동기는 극수와 슬롯수고 1:1이 되어야 하고 권선공간의 확보 와 효율성을 고려하여 8극 8슬롯의 구조를 채택하였다. 환풍시스템을 고려하여 외경을 94[mm]로 하고, 회전자와 고정자 사이의 공극을 0.7[mm]로 하였다. 단상 브러시리스 직류전동기의 토크가 발생하지 않는 dead-point 문제를 해결하기 위해 고정자 치를 비대칭으로 설계 하였으며, 코깅토크 저감을 위해 적용이 쉽고, 간단하며 제작 비용면에서 비교적 저렴한 방법인 노치를 고정자 치에 적용하였다. 노치를 적용 할 경우 그림 2의 일반적인 고정자 치와는 다르게 비대칭 고정자 치는 상대 퍼미언스 함수 역시 일정하지가 않으며, 이로인해 자속밀도 분포 역시 비균일적 이므로 노치를 비대칭적으로 적용한다. 노치의 변수는 모양, 크기, 위치 총 3가지가 있으며 이중 비대칭 노치의 유효성을 확인 할 수 있는 2개의 노치를 적용하여 크기와 위치를 변수로 설정하였다.

그림 3비대칭 노치를 적용한 고정자 형상 (a) 초기모델 (b) 제안모델 Fig. 3 Stator shape using asymmetric notch (a) initial model (b) proposed model

표 1단상 브러시리스 직류전동기의 설계 사양 및 제원 Table 1 Specifications of the single-phase BLDC motor

고정자 치 형상을 그림 3(b)와 같이 노치(a)와 노치(b)의 위치각도와 반경을 비대칭 적으로 설계한다. 코깅토크를 최소화 하기 위해 최적화 설계 기법을 이용한다. 그림 4는 고정자 치에 비대칭 노치의 위치 각도와 반경의 최적값을 찾기 위한 최적설계과정을 나타내고 있다. 우선 초기 설계 변수와 해당 변수의 범위를 설정한다. 각각의 노치 (a)와 노치 (b)의 반경과 위치각도를 변수로 설정한다. 토크와 효율은 성능에 영향을 미치는 중요한 특성이므로 토크는 295[N·m] ≤ T ≤ 300[N·m], 효율은 75.3[%] ≤ η ≤ 80[%] 제약조건으로 설정하였다. 이러한 설계 변수와 제약조건은 표 2에 나타나 있다. 이렇게 해당 변수의 범위를 설정 한 후 LHS 기법을 사용하여 목적함수의 경향성을 파악할 수 있는 최소 표본을 추출한다. 제약조건의 최소 표본 추출을 위해 목적함수의 최소 표본에 대한 효율과 토크를 유한요소해석을 통해 구한다. 표 3은 LHS기법을 이용한 최소 표본 25개의 추출 결과를 보여준다. 최소 표본을 바탕으로 크리깅 모델을 사용하여 입력값에 대한 결과 값을 얻는 데 시간적 소요가 거의 없는 근사모델을 구성한다. 크리깅 모델은 컴퓨터를 이용한 분석 및 설계에 적합하며 복잡하고 비선형인 함수를 보간할 수 있다. 구성된 근사모델은 특성해석 solver 역할을 대신 하게 된다. 이를 이용하여 최적화 알고리즘인 유전 알고리즘을 통해 최적 설계 변수 후보를 추출한다. 추출된 각각의 변수들이 변수 범위 내에 존재하는지와 변수 범위 경계에 수렴하는지를 확인한 후, 각 변수 범위의 최대 또는 최소값에 수렴되는 변수가 있으면 해당 변수의 범위를 늘려서 크리깅 모델과 유전 알고리즘을 이용해 새로운 최적 설계 후보를 찾는다. 이러한 과정을 반복하며 최적설계 변수값을 찾은 후 FEA를 이용해 검증한다.

그림 4최적설계 순서도 Fig. 4 Flow chart of optimal design process

표 2최적설계 변수 조건 Table 2 Variable factor condition of optimal design

2.4 코깅토크 저감을 위한 고정자 형상 최적설계 결과

그림 5는 최적설계 알고리즘인 유전 알고리즘을 이용한 목적함수와 제약조건의 최적설계 수렴 과정을 보여준다. 최적설계 결과는 표 4와 같고, 그림 5는 유한요소해석을 통한 초기모델과 제안모델의 코깅토크 비교를 보여준다. 최적설계결과 노치 (a)의 위치각도와 반경은 각각 8.502[°], 1.314[mm]이고, 노치 (b)의 위치각도와 반경은 각각 18.448[°], 0.812[mm]이다. 검증을 위해 유한요소해석을 통해 비교해 보았을 때 제안모델의 코깅토크가 약 39.8[mN·m]이였고, 초기모델의 경우 65.5[mN·m]으로 최적설계 결과와 거의 일치하였으며, 효율과 토크를 유지하면서 초기모델보다 코깅토크를 39.2[%] 저감시켰다.

표 3LHS기법을 이용한 최소 표본 추출 결과 Table 3 Result of minimum sampling for LHS

그림 5목적함수와 제약조건의 수렴 (a) 효율 (b) 토크 (c) 코깅토크 Fig. 5 Convergence progress of the objective functions and constraints (a) efficiency (b) torque (c) cogging torque

치에 노치를 적용하게 되면 상대 공극

표 4최적설계 결과 Table 4 Results of optimal design

그림 6초기모델과 제안모델의 코깅토크 특성해석 Fig. 6 Analysis results of the cogging torque of the initial and proposed model

 

3. 제작 및 실험

최적설계 알고리즘을 이용하여 설계된 전동기를 유한요소 해석을 통해 검증한 후 제작되어진 고정자와 회전자가 그림 7에 보여지고 있다. 그림 8은 제작한 전동기의 코깅토크 측정을 위한 실험장비 구성을 보여준다. 코깅토크 실험 결과 그림 9과 같이 초기모델은 65.6[mNm], 제안모델은 40.3[mNm]로 제안모델이 초기모델보다 약 38.5[%] 저감되었다.

또한 유한요소해석결과와 비교해 볼 때 오차율은 1.3[%] 미만으로 이는 측정오차로 볼 수 있으며, 유한요소해석결과와 비슷함을 알 수 있다.

그림 7최적화된 단상 브러시리스 직류 전동기 (a) 고정자 (b) 회전자 (c) 전동기 Fig. 7 Optimized single-phase BLDC motor (a) stator (b) rotor (c) motor

그림 8코깅토크를 측정하기 위한 시험장비 Fig. 8 Test equipment for measuring the cogging torque

그림 9코깅토크 실험 결과 Fig. 9 Results of experiment for cogging torque

 

4. 결 론

본 논문은 코깅토크 저감을 위한 단상 BLDC 전동기의 고정자 형상 최적설계에 대하여 연구하였다. 비대칭 공극이 적용된 단상 BLDC 전동기에 코깅토크 저감을 위해 비대칭 노치를 적용하였으며, 제한된 범위 내에서 코깅토크를 최대한 저감하기 위해 유전 알고리즘을 이용한 최적화 기법을 통해 노치의 반경과 위치각을 찾았다. 그 결과 비대칭 노치를 적용한 제안모델의 코깅토크는 40.3[mNm], 노치를 적용하지 않은 초기모델의 코깅토크는 65.6[mNm]으로 약 38.5[%] 저감되는 것을 확인 할 수 있었다. 따라서 단상 BLDC 전동기의 코깅토크 저감을 위한 좋은 대안이 될 것으로 사료된다.