Development of a Pipe Network Fluid-Flow Modelling Technique for Porous Media based on Statistical Percolation Theory

통계적 확산이론에 기초한 다공질체의 유동관망 유동해석 기법 개발

Abstract

A micro-mechanical pipe network model with the shape of a cube was developed to simulate the behavior of fluid flow through a porous medium. The fluid-flow mechanism through the cubic pipe network channels was defined mainly by introducing a well-known percolation theory (Stauffer and Aharony, 1994). A non-uniform flow generally appeared because all of the pipe diameters were allocated individually in a stochastic manner based on a given pore-size distribution curve and porosity. Fluid was supplied to one surface of the pipe network under a certain driving pressure head and allowed to percolate through the pipe networks. A percolation condition defined by capillary pressure with respect to each pipe diameter was applied first to all of the network pipes. That is, depending on pipe diameter, the fluid may or may not penetrate a specific pipe. Once pore pressures had reached equilibrium and steady-state flow had been attained throughout the network system, Darcy's law was used to compute the resultant permeability. This study investigated the sensitivity of network size to permeability calculations in order to find out the optimum network size which would be used for all the network modelling in this study. Mean pore size and pore size distribution curve obtained from field are used to define each of pipe sizes as being representative of actual oil sites. The calculated and measured permeabilities are in good agreement.

본 연구에서는 다공질 지반체내의 투수계수를 계산하기 위하여 정방형의 배열형태를 갖는 유동관망(pipe network) 유동해석 모델을 개발하였다. 본 유동관망을 통한 유체의 흐름 메커니즘은 통계적 침투이론(percolation theory)에 기초하여 정의된다(Stauffer and Aharony, 1994). 여기서, 개별 유동관의 직경들이 주어진 다공질 매질의 공극률과 공극크기 분포특성을 기초로 하여 통계적으로 지정됨으로 계산된 유체흐름은 불균일한 채널 유동 형태로 나타난다. 본 유동해석에서는 유동관망 모델의 한쪽 경계면에 가압된 유체가 투입되고 다른 측면 경계면들은 흐름을 억제하는 경계조건을 두어 한 방향으로 유동관망을 통해 유체의 흐름을 유도하여 모델링된다. 이때, 흐름을 허용할지를 정의하는 확산조건(percolation condition)이 각 유동관에 부여되며, 이는 각 유동 경로의 직경과 재료면 특성을 기초로 계산된 삼투압(capillary pressure) 수준에 의해 정의된다. 유체가 유입되는 면의 수압에 대해 전체 유동관망 모델 내의 수압 분포가 평형을 이루면 유출되는 면의 수압이 일정해 지며, 유입면의 수압과 계산된 유출면의 수압 및 유동량을 Darcy 방정식에 적용하면 유동관망 모델로 모사된 다공질 매질의 투수계수를 얻어 낼 수 있다. 본 연구에서는, 민감할 것으로 예상된 유동 격자망의 규모의 투수계수 결과값에 대한 민감도를 검토하였으며, 실제 석유개발 현장에서 수집된 시추코어에 대해 측정된 투수계수값과 제안 네트워크 모델을 이용한 계산값과 비교하여 합리적인 범위 내에서 잘 부합됨을 보였다.

서 론

다공질 매질을 다루는 많은 공학 분야에서 다공질 매질의 투수계수의 파악은 매우 중요한 경우가 일반적이며, 이러한 투수계수는 일차적으로 유동 통로를 정의하는 공극률과 공극크기 분포 특성에 의해 좌우된다 할 수 있다. 이러한 투수계수는 석유 생산정의 가용성이나 성능을 평가하거나, 핵폐기물 처분장의 차수벽의 성능을 평가하고, 지하 이산화탄소 저장 저류층의 처분능력을 평가하는 데 사용되는 중요한 매개변수 중 하나이기도 하다. 이러한 현 시대의 중요한 프로젝트 상에서 다공질 매질의 공학적 유동 특성이나 투수계수의 획득은 주로 큰 예산과 인력이 요구되고, 많이 시간이 소요되며, 이미 다양한 수행단계에서 기지의 오차가 존재하는 물리적 실험방법으로 얻어지는 것이 일반적이다. 이에, 여러 다공질체의 투수 특성에 의존하는 다양한 공학분야에서는 투수계수를 직접 실험을 통해 얻어내는 것이 아니라, 매질의 투수 특성을 좌우하는 보다 기초적인 매질 정수들에 기초하여 관심 매질의 투수 특성을 파악하고 매질의 투수계수를 계산해 얻어낼 수 있는 방법 개발 시도가 활발히 이루어지고 있다. 이러한 배경으로, 과거 많은 연구자들에 의해 다공질 매질의 마이크로 구조를 모사하여 격자형 유동망을 모델화하고 유동해석을 수행하는 연구가 진행되어 왔다(Chan et al., 1988; Koplik and Lasseter, 1985; Jerauld and Salter, 1990; Blunt and King, 1991; Blunt et al., 1992; Bryant and Blunt, 1992; Bakke and Øren, 1997; Pereira et al., 1996). 다양한 연구자들에 의해 채택된 유동관망 내의 개별 유동경로(관)들은 다공질 매질의 공극과 공극간의 연결통로 등 가능한 모든 유동경로를 대표한다. 이러한 다공질 매질의 공극과 공극크기 분포 특성은 전통적인 수은압입법(MIP, mercury intrusion porosimetry test)에 의해 파악되어 왔으며, 이러한 결과는 반복적인 통계처리 절차에 의해 다공질체의 공극크기 분포 특성이 정량화될 수 있는 것으로 알려줘 왔다.

이러한 배경에서, 본 연구에서는 산악지역의 산불 확산 모델링이나, 바이러스 확산 모델링 분야 등에서 잘 알려진 통계적 확산이론(percolation theory) 개념을 도입하여 다공질 매질의 유동통로의 투과 가능성을 다공질체의 공극률, 평균 공극크기 및 공극크기 분포 특성을 기초로 통계적으로 정의하고, 각 단위 유동경로에 침투조건을 달리 설정하여 유체 유동해석 모델링을 수행하는 방안을 제안하였다(Stauffer and Aharony, 1994). 본 논문에서는 제안된 통계적 확산이론에 기초한 유동관망 (pipe network) 모델링에서 도입된 주요 이론식들을 제시하고, 이를 통해 도입된 유체 유동 모델링 개념과 진행되는 모델링 계산과정과 절차를 설명하였다. 또한, 제안된 모델링 기법에서는, 설정되는 유동관망의 규모가 매우 민감할 것으로 판단되어, 유동 격자망의 규모가 계산되는 투수계수 값에 미치는 민감도 정도를 매개변수 연구를 통해 고찰하였다. 이어, 실제 석유개발 현장에서 얻어진 암석 시료들로부터 수은압입법에 의해 얻어진 암석의 공극 및 공극크기 분포특성 값을 이용하여 본 연구에서 제안된 유동관망 모델링 기법을 통해 계산된 투수계수와 실제 시료의 투수실험을 통해 얻어진 투수계수 값과의 비교를 통해 제안 기법의 타당성을 검토하였다.

 

유동관망 모델링 기법

유동관망의 정의

기존 관련 연구에서는 다공질체의 공극 연결구조를 통한 채널형태의 유체의 흐름 형태를 모델링하기 위하여 채널형태의 임의방향의 복잡한 공극 연결구조를 구현하여, 공극 연결망을 통해 유동해석을 수행하는 것이 일반적인 다공질 매질내 채널형태의 유체 모델링 방법이었다(Blunt and King, 1991; Blunt et al., 1992; Bryant and Blunt, 1992; Pereira et al., 1996; Bakke and Øren, 1997). 이는 어떻게 시료를 대표하는 공극과 공극 연결망의 기하학적 형태를 구현하느냐가 유동해석 결과와 시료의 투수특성 결과값에 매우 민감하게 작용하게 된다.

이러한 배경에서, 본 연구에서는, 구현되는 유동경로의 기하학적 형태보다는, 유체 유동의 주요 경로가 되는 내부 공극과 공극크기 분포 특성에 대표성을 부여하여 모델링하는 방안을 모색하였다. 따라서 Fig. 1과 같이 유체의 흐름이 가능한 기본 유동통로는 단순한 일정직경의 파이프로 구현하고, 각 파이프의 연결도는 Fig. 1과 같이 6개의 자유도를 갖는 것으로 단순하게 정의하였다. 여기서, 파이프를 통한 유체 유동은 파이프의 직경에 따라 좌우되며, 유동관 직경은 주어진 시료의 공극률과 공극크기 분포특성에 기초하여 통계적으로 달리 배정된다. 즉, 유동관의 한끝 절점에 연결되어 있는 6개의 파이프는 유동관 직경의 크기와 고체의 유체 친밀도에 따라 투과될 수 없는 유동관도 존재한다. 이러한 공극의 분포특성을 모사하고 있는 유동관 직경의 분포 특성에 따라, 단순하게 일정간격의 정방형으로 모든 유동관이 연결되어 있는 유동관망을 통해서도 채널흐름 형태의 유체유동 유형을 모사해 낼 수 있다.여기서, 유동해석의 기초 경로를 제공하는 정방형 유동관의 끝 절점과 유관관자체는 실제 다공질 시료의 공극과 공극간 연결경로를 직접적으로 구현하기 위한 것이 아니며, 다공질 시료의 유동특성에 직접적으로 영향을 미치는 공극률과 공극크기 분토 특성에 의해 좌우되는 공극간의 전체적인 유동흐름을 대표하는 모델 매개변수임을 주지할 필요가 있다. 따라서, 본 연구에서 제안한 모델링 기법은 모델링 결과로 얻어지는 다공질 시료의 투수계수값이 그 시료뿐 만아니라, 그 시료와 같은 공극률 및 공극크기 분포특성을 갖는 시료들을 대표할 수 있는 값이 될 수 있을 것이다. Fig. 1은 각 축방향으로 30개의 유동관이 배열된 전형적인 유동관망과 각 유동관 끝단의 연결도를 보여주고 있다. 직관적으로, 본 연구에서 채택하고 있는 유동관망 모델링 기법에서는 설정된 유동관망의 규모에 영향을 받을 것이다.

Fig. 1.Cube-shaped pipe network model of fluid percolation.

통계적 확산이론(percolation theory) 개념의 적용

수은압입법이나 기타 실험적 방법에 의해 파악된 다공질 매질의 공극과 공극크기 분포 특성은 반복적인 통계처리 절차에 의해 정량화되어, 각 시료마다 다양한 형태의 공극크기 확률밀도분포곡선을 얻어낼 수 있다. 이러한 분포곡선은 누적정규밀도분포곡선 형태로 변환될 수 있으며, 난수(random number)를 이용하여 추계론적인 방법(stochastic method)으로 각 단위 유동관의 직경을 설정하는데 사용된다. 여기서, 실험을 통해 얻어진 공극크기에 대한 확률밀도분포곡선은 실측된 그대로 사용할 수도 있으나, 한 개의 시료를 통해 얻어진 공극크기 확률밀도분포곡선에 대표성을 부여하기 위하여 측정된 곡선을 로그(log) 정규확률분포곡선 등으로 정규화 하여 사용할 수 도 있다. 이러한 절차로 각 유동관의 직경이 실험을 통해 얻어진 시료의 공극정보에 의해 배정되면, 유동해석에 앞서 각 유동관이 주어진 유체가 통과할 수 있는 관인지를 개별적으로 검토하는 단계를 거친다. 여기서 유체가 투과할 수 없는 관으로 평가되는 관은 유동해석에서 배제된다.

본 연구에서 적용한 통계적 확산이론(percolation theory) 개념의 모델링은 확산 영역내의 유동관망 단위체(유동관) 간의 확산가능 여부를, 주어진 간단한 확산조건(percolation condition)에 기초하여 판단하고, 간단한 단위체 간의 확산모드의 무수한 조합을 통해 전체 확산영역의 확산 경향을 파악하는데 기초한다. 따라서 본 연구에서는 유동관 간의 유동모드를 판단하기 위해, 다음식 (1)과 같은 Washburn 방정식(1921)을 이용한 각 유동관의 삼투압력 조건을 확산조건으로 사용한다.

여기서, Pc는 삼투압, σ는 표면장력, θ는 표면의 접촉각, d는 유동관의 직경이다. 식 (1)은 유동관의 양끝 절점간의 수두차(head loss) 압력에 대해 추계학적으로 부여된 각 유동관의 직경이 유체가 통과할 수 있는 직경인지를 판단하는 기준값인 최소 임계직경(dc)을 계산하는데 사용된다.

유동관망을 통한 유체유동 모델링

상기에서 언급된 방법으로 유체가 투과할 수 있는 유동관들이 결정되면, 준비된 유동관 네트워크 모델의 6개의 경계면 중에 의도되는 유동해석 흐름 방향을 고려하여 불투과 수리경계조건을 부여하고, 유체가 유입되는 면(face)상의 노드들에 일정 수준의 수두(pressure head)를 가해준다(Fig. 2 참조). Fig. 2는 수직방향으로 흐르는 유체유동을 모델링하기 위해 설정된 2차원 유동관명 모델 예시이며, 본 모델을 통해서 시료의 수직방향 투수계수를 얻을 수 있다. 이와 유사하게, 수직으로 유입되나 유출되는 면은 측면으로 정의하여, 유체유동을 횡방향으로 유도하면, 최종적으로 전단방향의 투수계수를 계산해 낼 수 있으며, 수리경계조건과 유입 및 유출면을 바꾸어 반복한 해석을 통해 시료의 수직/수평방향(kxx, kyy, kzz)과 전단방향(kxy, kxz, kyz)의 투수계수들로 구성된 투수계수 행렬(K)을 계산해 낼 수 있다.

Fig. 2.2D pipe network model with impermeable boundaries and inlet/outlet faces.

Fig. 3은 전체적인 유동관망을 통한 유체유동 계산과정을 흐름도 형태로 보여준다. 확산조건에 의해 투과 가능한 유동관들이 결정되면, 유입면으로 부터 유출면 방향으로 순차적으로 유동관간의 유동계산이 이루어지며, 각 노드간의 수두압이 계산되어 진다. 각 유동관간의 유동량과 각 끝단 절점의 수두압은 식 (2)의 Hagen-Poiseuiller 방정식을 이용해 계산할 수 있다.

Fig. 3.Procedure of pipe network modelling for fluid percolation.

여기서, ΔH는 각 유동관 끝단 절점간의 수두압차이며, μ는 유체의 점성계수, l은 유동관의 길이, Q는 유동관을 통해 흐른 유체의 유동속도(flow rate), ρ는 유체의 밀도, g는 중력가속도, d는 유동관의 직경이다.

계산초기에는 상부의 가압된 절점에만 수압이 걸리고 나머지 노드들의 압력은 ‘0’이나, 전체 유동망 네트워크의 투과가능 유동관망을 통해 유체가 모두 투과되어 전체 유동 네트워크 모델상의 수두 분포가 평형상태를 이루어 정상유동상태(steady state)가 유지될 때까지 반복적으로 유동 계산을 수행한다. 점차 유입면에서 유출면 방향으로 수두압이 전파되며 유체의 유동이 이루어진다. 이와 같이 정상유동상태가 이루어지면 유출면의 유체의 유출속도는 일정하게 유지되며, 이때 유출면을 통해 얻어지는 유체의 유출속도를 이용해 식 (3)의 Darcy 법칙을 이용해 다공질 시료의 투수계수를 산정할 수 있다.

여기서, A는 유동관의 횡단면적, k는 투수계수, i는 동수구배(hydraulic gradient)이다. Fig. 4는 상기의 계산절차를 거쳐 얻어진 유동해석 결과의 예시이다. Fig. 4(a)와 Fig. 4(b)는 2차원 유동관망 모델링 예시를 보여주며, Fig. 4(a)는 추계론적 방법으로 지정된 파이프들의 직경분포를 도시한 그림으로 흰색은 직경이 큰 파이프를, 붉은색 부분은 상대적으로 직경이 작은 파이프를 나타낸다. Fig. 4(b)는 Fig. 4(a)의 유동관망 모델을 기초로 계산된 유체 유동관망을 보여주고 있으며, 상대적으로 직경이 큰 유동관을 통하여 유체유동이 채널형태로 해석되었음을 알 수 있다. Fig. 4(c)는 3차원 유동관망 모델의 해석결과 예시를 보여주고 있다. Fig. 4(c)의 좌측은 수직방향에 대한 유동해석 사례이며, 수직 상단면에서 유체가 유입되어 하단면에서 유출되는 형태이고, 측벽 4개면은 불투수면으로 정의되었다. 이와는 달리, Fig. 4(c)의 우측의 그림은 상단면에서 유입이 되지만, 하단면은 불투수면으로 정의되었고, 푸른색 측벽면이 유출면으로 정의된 모델의 해석결과 예시이다. 유입면의 압력은 가해진 유체압(붉은색)이며, 유출면의 압력은 ‘0’(푸른색)이 된다.

Fig. 4.Examples of pipe network modelling in 2D and 3D.

추계론적 유동관 직경의 배정

본 연구에서 제안한 유동관망 유동해석 모델은 다공질 시료의 공극률과 공극크기 분포 특성을 주요정보로 반영하여 유동해석을 수행한다. 이를 위해, 임의의 수만큼 배정된 유동관들의 직경들을 실험을 통해 얻어진 시료 공극크기 분포 특성에 기초하여 추계론적으로 배정한다. 따라서 실험을 통해 얻어지는 시료의 공극크기에 대한 확률밀도분포특성이 주요하며, 이는 전통적인 수은압입법을 통해 실험적으로 얻어 질 수 있다. 수은압입법은 수은을 암석시료에 단계적으로 가압하여 압입시키면, 암석과 수은의 표면장력과 접촉각을 알고 있으므로 각 압력수준에 따라 압입가능 공극의 크기를 식 (1)의 Washburn 방정식을 통해 계산할 수 있으며, 각 압력수준에서 압입된 수은의 양을 이용하여 해당 크기의 공극개수를 계산해, 공극크기별 공극개수를 의미하는 확률밀도분포곡선을 얻어낼 수 있다.

Fig. 5는 실제 암석에 대해 수은압입법을 통해 얻어진 시료의 공극크기에 대한 확률밀도함수를 보여준다. Fig. 5에서 실선으로 나타낸 곡선은 수은압입법을 통해 얻어진 실제 측정치를 나타내며, 점선으로 나타낸 곡선은 로그(log) 정규분포곡선으로 실험치를 정규화하여 얻어진 곡선을 나타낸다. 일반적으로 본 연구를 통해 제안된 유동해석 모델에서는 실제 측정치를 직접 활용하여 네트워크 모델에 반영할 수 도 있으나, 실험치의 대표성을 증대시키기 위하여 잘 알려진 정규 확률밀도분포곡선으로 정규화하여 사용할 수 도 있다. 이에 대한 민감도 검토는 다음 절에서 실험에서 측정된 공극크기 분포곡선을 정규화 없이 사용하였을 때와 로그 정규분포 곡선으로 정규화하여 모델링 하였을 때를 비교검토한다.

Fig. 5.Pore diameter probability density function.

Fig. 5와 같은 공극크기의 확률밀도분포곡선은 누적확률밀도곡선 형태로 재구성하고, 매 유동관의 직경은 공극크기의 누적확률밀도곡선을 대상으로 난수발생을 통해 결정된 공극의 크기를 원형의 유동관의 직경으로 환산하여 지정한다. 여기서, 전체 유동관 네트워크의 부피에 대해 유동관이 차지하는 부피의 비는 실험에서 얻어진 시료의 공극률과 일치하여야 하며, 이러한 조건을 만족시키는 조건에서 유동관들의 길이(모든 유동관망내 유동관의 길이는 동일하다는 가정조건 도입)가 결정된다.

 

제안된 유동관망 모델의 타당성 검토

유동관망 규모에 대한 민감도 검토

본 연구를 통해 제안된 유동관망 모델은 유동관들의 배열 및 연결특성에 상대적으로 둔감하고, 공극률과 공극크기의 분포특성을 주요하게 고려하여 시료의 투수특성을 모델링한다. 그럼에도 불구하고, 정방형의 단순하게 배열되는 유동관 배열 규모가 모델링 결과에 영향을 미칠 것으로 예상된다. 따라서 본 연구에서는 유동관망의 규모가 유동관망 모델링의 결과값이 투수계수 결과에 미치는 민감도를 고찰하고, 향후 실제 시료의 유동관망 모델링 수행에 사전 결정되어야 하는 유동관망의 규모 설정을 위한 참고자료가 될 것이다.

본 민감도 해석을 위하여 3차원 유동관망 모델이 사용되었으며, 각 축방향의 유동관 개수가 동일한 총 8가지의 정방형 3차원 유동관망 모델을 설정하였다: (1) 5 × 5 × 5 (300 pipes) (2) 8 × 8 × 8 (1344 pipes) (3) 10 × 10 × 10 (2700 pipes) (4) 12 × 12 × 12 (4752 pipes) (5) 14 × 14 × 14 (7644 pipes) (6) 16 × 16 × 16 (11520 pipes) (7) 20 × 20 × 20 (22800 pipes) (8) 25 × 25 × 25 (45000 pipes). 또한, 설정된 유동관망 규모가 적용될 공극율과의 연계 민감도를 알아보기 위하여 각 유동관망 규모모델에 대해 공극률을 10%에서 80%까지 10%씩 증가시키며 유동해석을 수행하고 절대 투수계수값을 산정하여 비교하였다.

Fig. 6은 앞서 언급된 설정모델에 대한 절대투수계수 산정 결과이다. Fig. 6에서 보는바와 같이 총 유동관 개수가 77000개 수준까지 증가될 때까지 모든 공극률 경우에서 계산된 투수계수값이 증가하는 경향을 보였다. 유동관망의 규모는 공극률이 높을수록 계산된 투수계수의 변화폭이 큰 것을 알 수 있으며, 이는 공극률이 클수록 계산된 투수계수 값이 사용되는 유동관망 규모에 민감함을 의미한다. 하지만, 12000개의 유동관망 규모 이상부터는 공극률 값과 상관없이 계산된 투수계수값의 변화폭이 크게 줄며, 일관성 있는 투수계수값을 얻을 수 있는 것으로 나타났다. 이는, 한 축방향으로 16개 정도 수준의 유동관 규모를 사용하면 어떠한 공극률값에 대해서도 유동해석 유동관망의 규모와 상관없이 신뢰성 있는 계산결과를 얻을 수 있음을 의미한다.

Fig. 6.Sensitivity of grid size of the pipe network model.

측정 투수계수와의 비교 검토

본 연구에서 제안한 유동관망 모델의 타당성을 검토하기 위하여, 영국 Heriot-Watt 대학교에서 수행한 실제 유전에서 채굴한 7가지 다른 종류의 17개 사암 시료들에 대한 투수계수 측정 결과를 활용하였다(Lokemane et al., 2001). 각 시료들은 수은압입법에 의해 공극크기 밀도분포 특성이 측정되었으며 공극률 및 평균 공극크기도 산정되었다. 7개의 사암 종류와 각 종류에 대한 시료개수는 다음과 같다: (1) Fife sandstone (F) - 2 samples, (2) Locharbriggs sandstone (L) - 3 samples, (3) Lochaline sandstone (LA) - 2 samples, (4) Slick Rock Aeolian (SRA) - 3 samples, (5) Dewey Bridge sandstone (DB) - 3 samples, (6) Navajo sandstone (N) - 2 samples, (7) Clashach (CL) - 2 samples. 각 시료들에 대해 측정된 측정치는 Table 1에 나타내었다. 앞서 언급된 공극크기 밀도분포 특성은 평균 공극크기와 변동계수(Coefficient of Variation, CV)에 의해 표현된다.

이러한 시료들에 대한 실측 시료들의 공극구조의 특성 정보를 이용하여 본 연구에서 제안한 유동관망 모델을 적용하여 유동해석을 수행하고, 각 시료의 절대 투수계수값을 산정하여 실측값과 비교하였다(Table 1). 수행된 유동해석은 두 가지의 다른 종류의 공극크기 밀도분포곡선을 이용하였다. 첫 번째 공극크기 밀도분포곡선은 Fig. 5의 예시에서와 같이 실제 수은압입 측정법을 통해 얻어진 실측 확률밀도분포곡선을 이용하여 유동관들의 직경을 배정한 경우이며(Calc 1 in Table 1), 두 번째 경우는 실측 밀도분포곡선을 Fig. 5에서와 같이 로그 정규분포곡선으로 정규화하고, 정규화된 곡선에 기초하여 유동관들의 직경을 배정한 경우이다(Calc 2 in Table 1). Table 1에서와 같이 실측 확률밀도분포곡선을 이용한 경우(Calc 1)는 실측치보다 300% 이상 크게 계산된 경우도 포함하고 있다.

Table 1.Measured data for 17 sandstone core samples.

보다 비교결과의 이해를 돕기 위해, Table 1의 결과를 Fig. 7과 Fig. 8에서 도시적으로 나타내었다. Fig. 7에서 보는 바와 같이, 실험으로부터 직접 얻어진 공극크기의 확률밀도분포곡선에 기초한 투수계수 계산치는 실측 투수계수값과 비교하여 상관계수값이 0.86으로 예측상관도는 비교적 양호한 것으로 분석되었다. 하지만, 상대적으로 투수계수값이 작은 시료에 대해서는 오차율이 비교적 양호하였으나, 투수계수값이 큰 시료들에 대해서는 300% 이상 까도 큰 오차율을 보이며 신뢰도 있는 투수계수 예측이 되지 못하였다.

Fig. 7.Comparison of measured and computed permeabilities with the measured possibility density distribution function of pore size (Calc 1 in Table 1).

Fig. 8.Comparison of measured and computed permeabilities with the normalized log-normal possibility density distribution function of pore size (Calc 2 in Table 1).

Fig. 8에서 보는바와 같이, 실측된 공극크기 분포곡선을 로그 정규분포곡선으로 정규화하고, 정규화된 공극크기 확률밀도분포곡선을 기초로 유동관의 직경을 배정한 경우(Calc 2)에 대해서는 Fig. 7보다 상대적으로 매우 양호한 투수계수 예측이 이루어 졌음을 알 수 있다. Fig. 8에서 분석된 예측 투수계수와 실측 투수계수값의 상관도는 0.88로서 Fig. 7의 경우보다 크게 좋아지진 않았지만, 오차율 측면에서는 투수계수값의 크기와 상관없이 일관성 있고 허용오차범위 내에서 투수계수 예측이 이루어 졌음을 알 수 있다. 따라서 제안된 유동관망 모델에 기초한 유동해석에서는 실측 공극구조 정보를 보정 없이 사용하는 것 보다는 기지의 지식에 근거하여 대표성 있는 로그 정규분포곡선을 활용하여 정규화해 실측정보를 적용하는 것이 보다 합리적이고, 시료 공극구조정보를 대표하여 일반화된 투수계수 예측을 수행할 수 있는 것으로 판단할 수 있다. 이러한 비교검토 결과를 통해, 시료의 투수특성은 공극률 및 미소 공극크기 분포특성 정보에 기초하여 합리적으로 계산될 수 있으며, 보다 신뢰도 높은 다공질 시료의 미세구조 정보 확보 가능성이 보다 신뢰도 높은 투수계수 예측을 수행할 수 있다는 의미이다.

 

결 론

본 연구에서는 다공질 시료의 공극구조정보를 기초로 한 유동해석을 통해 투수계수를 산정할 수 있는 통계적 확산이론 기반의 유동관망 유동해석 모델링 기법을 제안하였다. 제안 모델링 기법은 기존의 유동망 해석 사례와는 달리 모델에 사용되는 유동관망의 배열특성에 그리 민감하지 않지만, 실제 다공질 시료의 유동경로를 제공하는 공극 및 공극구조 특성 정보가 투수계수 모델링 결과에 매우 민감하게 작용하게 된다. 본 연구를 통하여 얻어진 주요 결과와 주요 관점은 다음과 같이 정리될 수 있다.

(1) 제안된 유동관망 유동해석 기법은 다공질 시료의 공극률 및 크기 분포 특성에 기초하여 모델링이 수행되며, 정방형 단순 유동관 배열을 사용하여 유동관 배열의 기하학적 특성에 대한 민감도를 최소화 하였다. 따라서 본 제안 해석기법은 시료의 공극률과 공극크기 분 포특성에 크기 영향을 받아 투수계수가 산정된다.

(2) 유동관망을 통한 유동은 유동해석에 앞서 통계적 개념의 확산조건(percolation condition)을 반영하는 확산이론(percolation theory)에 기초하여 유체가 투과될 수 있는 유동관을 우선 선정하여 모델링에 반영되는 개념을 사용한다. 제안 모델에서는 확산조건으로 삼투압을 계산하는 Washburn 방정식을 사용하고, 주어진 유동관에 적용된 수두압에 대해 유체가 투과할 수 있는 임계직경을 계산한다. 이는 측정된 시료의 공극크기 분포특성에 기초하여 통계적으로 부여된 개별 유동관의 직경과 비교하여 투과가능 유동관을 선별해 내는 개념을 사용한다.

(3) 이러한, 개념의 제안 유동해석기법은 다양한 유동관망 규모와 공극률 값에 대해 계산된 투수계수에 대한 민감도를 검토하였다. 이를 통해 한 축방향으로 16개 이상 정도 규모(약 12000개 정도 수준의 유동관의 조합으로 구성된 유동관망)의 정방형 유동관망을 이용하면 시료의 공극률과 상관없이 신뢰도 높은 투수계수를 산정할 수 있는 것으로 분석되었다.

(4) 17개의 실제 사암시료에 대해 실측된 공극률 및 공극크기 정보를 바탕으로 절대투수계수값을 예측하여 실측된 투수계수값과 비교하였다. 이때, 각 유동관의 직경을 배정하는 기초정보인 공극크기 확률밀도분포곡선을 실측곡선과 로그 정규분포곡선으로 정규화하여 사용한 경우에 대해 각각 유동해석을 수행하였다. 이를 통해, 로그정규분포곡선으로 공극크기분포특성을 정규화하여 사용한 경우가 보다 일관성 있는 투수계수 예측을 수행할 수 있는 것으로 나타났으며, 제안된 유동관망 유동해석 모델링 기법은 실측 투수계수와의 비교를 통해서도 합리적인 범위내의 오차율로 매우 신뢰도 높은 투수계수를 예측할 수 있는 것으로 분석되었다.

(5) 제안된 유동해석기법은 시료의 공극률과 공극크기 분포에 대한 정확한 파악과 자료의 신뢰도에 매우 민감하므로, 제안기법의 실효성 확보를 위해서는 다공질 매질의 공극정보의 정확한 산정방법의 모색이 필요적이며, 이를 위해 첨단 3차원 X-ray CT 촬영기술과 CT영상처리 기술 활용을 적극 고려해 볼 만 하다.