Journal of the Institute of Electronics Engineers of Korea SP (대한전자공학회논문지SP)

The Institute of Electronics and Information Engineers (대한전자공학회)
권호 표지

Convergence Properties of an Iterative Algorithm for Phase Retrieval

위상복원을 위한 iterative 알고리즘의 수렴 특성

  • 김우식 (세종대학교 전자정보공학대학 정보통신공학과)
  • Published : 2009.05.25
Download PDF
⟨ Previous Next ⟩

Abstract

The phase retrieval problem is a problem of reconstructing a signal or the phase of Fourier transform of the signal from the magnitude of its Fourier transform. In this paper we address the problem of reconstructing an unknown signal from the magnitude of its Fourier transform and the magnitude of Fourier transform of another signal that is given by the addition of the desired signal. After we briefly mention the uniqueness conditions under which a signal can be uniquely specified from the given information and key equations of the iterative algorithm, we present mathematical background that the iterative algorithm converges to the desired signal, present an example that illustrates the performance of the reconstruction algorithm, and show its convergence property.

위상복원문제 (Phase retrieval problem)은 어떤 신호의 푸리에 변환의 크기로부터 신호를 구하거나 푸리에 변환의 위상을 구하는 문제이다. 이 문제는 천문학, X-선 결정학 등 많은 물리적인 문제에서 발생하고 있으며, 최근에는 고출력 레이저를 이용하여 인공별을 만들 수 있게 됨에 따라 많은 필요성이 대두될 것으로 예측되는 분야이다. 일반적으로 신호의 푸리에 변환의 크기만으로는 유일하게 해를 구할 수 없으며, 원하는 해를 구하기 위하여 구하고자 하는 신호에 여러 가지 제약 조건을 주어 유일한 해를 갖도록 연구를 진행하여 왔다. 이 논문에서는 원 신호의 푸리에 크기 외에, 구하고자 하는 신호에 알고있는 신호를 더한 신호의 푸리에 크기를 이용하여, iterative 한 방법으로 신호를 복원하는 문제에 대하여 다룬다. 원하는 신호를 구하기 위하여 간략하게, 이론적인 배경과 iterative 알고리즘을 소개하고, 이 알고리즘이 구하고자 하는 신호로 수렴한다는 것을 보인다.

Keywords

References

  1. M. H. Hayes, J. S. Lim, and A. V. Oppenheim, "Signal reconstruction from phase or magnitude", IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, ASSP-28, pp. 672-680, Dec. 1980
  2. 김우식, "위상복원문제", 한국통신학회지, 제 10권, 5호, pp.53-70, 1993년 5월
  3. G. N. Ramachandran and R. Srinivasan, Fourier methods in crystallography, Wiley Interscience, New York, 1970
  4. F. Meng, H. Liu, and X. Wu, "An iterative phase .retrieval algorithm for in-line X-ray phase imaging", Opt. Express 15, pp. 8383-8390, June 2007. http://www.opticsinfobase.org/oe/abstract. cfm?URI=oe-15-13-8383
  5. A. Yan, X. Wu, and H. Liu, "An attenuation partition based iterative phase retrieval algorithm for in-line phase contrast imaging," Opt. Express 16, pp. 13330-13341, Aug. 2008. http://www.optics infobase.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-16-17-12746
  6. M. H. Hayes, "The reconstruction of a multidimensional sequence from the phase or magnitude of its Fourier transform", IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, 30, No. 2, pp.140-154, April 1982 https://doi.org/10.1109/TASSP.1982.1163863
  7. M. H. Hayes and J. H. McClellan, "Reducible polynomial in more than one variable", IEEE Proc. 70, pp.197-198, 1982 https://doi.org/10.1109/PROC.1982.12262
  8. 김우식, "더해지는 기준 신호를 이용한 위상복원: I. 이론", 전자공학회 논문지, 31권, B편, 제5호, pp.26-33, 1994년 5월
  9. W. Kim, "Two-dimensional phase retrieval using enforced minimum-phase signals", J. Kor. Phy. Soc. 44, pp.287-292, 2004
  10. M. A. Fiddy, B. J. Brames, and J. C. Dainty, "Enforcing irreducibility for phase retrieval in two dimensions", Opt. Lett. 8, No.2, pp.96-98, February 1983 https://doi.org/10.1364/OL.8.000096
  11. N. Nakajima, "Phase retrieval from two intensity measurements using the Fourier series expansion", J. Opt. Soc. Am. A 4, pp.154-158, 1987 https://doi.org/10.1364/JOSAA.4.000154
  12. W. Kim and M. H. Hayes, "Phase retrieval using a window function", IEEE Trans. Signal Processing, 41, 3, pp.1409-1412, 1993 https://doi.org/10.1109/78.205743
  13. P. L. Van Hove, M. H. Hayes, J. S. Lim, and A. V. Oppenheim, "Signal reconstruction from signed Fourier transform magnitude", IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, 31, pp.1286-1293, 1983 https://doi.org/10.1109/TASSP.1983.1164178
  14. M. H. Hayes and T. F. Quatieri, "Recursive phase retrieval using boundary conditions", J. Opt. Soc. Am 73, pp.1427-1433, 1983 https://doi.org/10.1364/JOSA.73.001427
  15. 김우식, "더해지는 기준 신호를 이용한 위상복원: II. 복원", 전자공학회 논문지, 31권, B편, 제5호, pp.34-41, 1994년 5월
  16. R. W. Gerchberg and W. O. Saxton, "A practical algorithm for the determination of the phase from image and diffraction plane pictures", Optik 35, pp.237-246, 1972
  17. J. R. Fienup, "Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier transform", Opt. Lett., 3, pp. 27-29 (1978) https://doi.org/10.1364/OL.3.000027
  18. J. R. Fienup and C. C. Wakerman, "Phase-retrieval stagnation problems and solutions", J. Opt. Soc. Am. A 3, pp. 1897-1907, 1986 https://doi.org/10.1364/JOSAA.3.001897
  19. 주해종, 홍봉화, 온진호, 홍석주, "멀티미디어 서비스 영상의 객관적 품질측정 시스템 설계 및 구현", 전자공학회 논문지 IE편 제 45권 1호, pp.58-64, 2008년 3월
  20. D. L. Fried and J. F. Belsher, "Analysis of fundamental limits to artificial guide star adaptive optics system performance for astronomical imaging," J. Opt. Soc. Am. A 11, pp.277-287, 1994 https://doi.org/10.1364/JOSAA.11.000277