Randomization of Elliptic Curve Secret Key to Efficiently Resist Power Analysis

전력분석공격을 효율적으로 방어하는 타원곡선 비밀키의 랜덤화

Abstract

We establish the security requirements and derive a generic condition of elliptic curve scalar multiplication to resist against DPA and Goubin’s attack. Also we show that if a scalar multiplication algorithm satisfies our generic condition, then both attacks are infeasible. Showing that the randomized signed scalar multiplication using Ha-Moon's receding algorithm satisfies the generic condition, we recommend the randomized signed scalar multiplication using Ha-Moon's receding algorithm to be protective against both attacks. Also we newly design a random recoding method to Prevent two attacks. Finally, in efficiency comparison, it is shown that the recommended method is a bit faster than Izu-Takagi’s method which uses Montgomery-ladder without computing y-coordinate combined with randomized projective coordinates and base point blinding or isogeny method. Moreover. Izu-Takagi’s method uses additional storage, but it is not the case of ours.

본 논문에서는 DPA와 Goubin의 공격을 동시에 방어하도록 하는 타원곡선 스칼라 곱셈 알고리듬의 일반적인 조건을 제시하며, 제시된 조건을 만족하면 두 공격 모두를 방지할 수 있음을 보인다. 이러한 조건을 만족하는 것으로는 Ha-Moon의 재부호화 방법을 이용한 랜덤 스칼라 곱셈 알고리듬이 있음을 보이고, 또한 Ha-Moon의 재부호 방법을 변형하여 두 공격을 방지하는 새로운 재부호화 알고리듬을 제안한다. 효율성 면에서 제안하는 스칼라 곱셈 방식은 Izu-Takagi의 스칼라 곱셈방법(y-좌표를 계산하지 않고 Montgomery-ladder를 사용)과 비교될 만큼 효율적이다. 제안하는 스칼라 곱셈은 랜덤화된 사영좌표와 기저점 은닉(bsae point blinding) 또는 isogeny 함수를 결합한 방법보다 빠르다. 또한 Izu-Takagi의 경우 은닉 또는 isogeny 함수 방법을 이용하면 상당량의 시스템 파라미터를 EEPROM에 저장해야 하는 단점이 있지만 이것은 제안하는 스칼라 곱셈 방법에는 해당되지 않는다.

Ⅰ. 서론

암호 시스템의 이론적 안전성과 별도로, 전력 소모량과 알고리즘의 수행시간과 같은부가정보는 스마트 카드，모바일 폰, PAD 등의 내장된 하드웨어에서 암호 알고리즘의 구현에 대한 실질적인 위협이 되고 있다. 1996년 Kocher가 암호 프리미티브에 대한 시간 공격(timing attack)을 도입하고 1999년에 DPA(differential power analysis, 차분전력 분석) 소개한 이후, 부가채널 공격(side channel attack)에 안전하고 효율적인 타원 곡선 스칼라 곱셈을 고안하는 것은 ECC(elliptic curve crytosystem) 구현 연구의 주요 주제 중 하나가 되었다.

1.1 타원 곡선 스칼라곱셈과 전력 분석 공격

타원 곡선 E(F_q)와 두 점 P₁, P₂ ∈ E(F_q)에 대하여, P₁≠P₂인 경우 P₁과 P₂의 타원곡선 덧셈을 ECADD (P₁, P₂)으로 나타내자. P₁=P₂인 경우, 즉 P₁의 2 배 연산을 ECDBL(P₁)으로 표기한다. 타원 곡선 위의 점 F와 정수 k에 대하여, 타원곡선 스칼라곱 셈은 다음과 같이 정의된다.

\(k \cdot P = P + \cdots + P(k-times)\)

비밀키 \(k= \sum ^{n-1} _{i=0} k_i 2^i \ (k_1 \in \{0, 1\})\)에 대하여, 타원곡선 스칼라 곱셈은 ECADD와 ECDBL연산을 반복적으로 수행한다. 알고리듬1, 2는 일반적인 이진 스칼라 곱셈 알고리즘을 나타내며, 알고리듬1은 최상위부터 비트(Most significant bit(MSB) first)를 스캔하며, 알고리듬 2는 최하위부터 비트(Least significant bit (LSB) first)를 스캔한다.

알고리듬1, 2는 비밀키 k_i에 의존하여 ECADD이 선택적으로 수행되도록 하는 조건 분기문이 포함되어 있다. 따라서 스칼라곱 셈의 전력 소모량이 k_i=1인지 아닌지에 의존하여 다르게 나타나므로 SPA(sim-ple power analysis, 단순전력분석)에 취약하다. Coron 이 제시한 알고리듬 3에서 비밀키에 대한 스칼라 곱셈의 실행 의존성이 제거되었으며,^[2] 알고리듬4는 알고리듬 3의 LSB 버전이다. 알고리듬3, 4는 비밀키에 상관없이 항상 ECADD을 실행하며, 따라서 알고리듬 1, 2에 비하여 상당량의 추가 연산을 필요로 한다.

알고리듬 3, 4는 SPA에는 강하지만, Corone DPA 을 이용하여 알고리듬3을 분석하였다. 일반적으로 DPA는 비밀키에 의존하여 발생하는 특정 값과 전력소모량과의 상관관계를 이용한 공격이다. 공격자는 사전에 알려진 값으로부터 특정 값을 예측한 후, 특정 값의 출현 여부로부터 비밀키를 비트별로 찾아낸다. 따라서 스칼라곱셈이 DPA에 강하기 위해서는 계산되는 값을 랜덤화시켜서 고정된 값의 출현을 막아야 한다.

Remark 1. 알고리듬4에서 (±P)+O 과정은 반드시 실제 덧셈의 절차를 통해 처리되어야 한다. 이 과정이 단순한 데이터 할당에 의하여 처리된다면 알고리즘에 대한 전력 파형을 분석하여 비밀키의 최초 1-비트가 출현하기 전 연속된 최하위 0-비트가 노출될 수 있다.

1.2 논문의 동기

1996년 Coron^[2] 타원 곡선에 대하여 DPA를 처음으로 일반화하였으며, Corai의 DPA를 C-DPA라고 부르자. 동시에 그는 세 가지 DPA 대응 방법을 제시하였다. 즉, (1) 비밀키의 랜덤화, (2) 기저점 은닉, (3) 랜덤화된 사영 좌표계 (randomized projective coordinates) 을 말한다. 2000년 Okeya 와 Sakurai^[11]는 Coron의 첫 번째와 두 번째 DPA 대응 방법의 취약점을 지적하였다 Joye와 Tymen^[8]이 랜덤한 타원 곡선 동형사상(random elliptic curve isomorphisms)과 랜덤한 유한체 동형사상(random fields isomorphisms)의 두 가지 DPA 대응책을 제시한 이후, Goubin^[3]은 2003년 남아있는 세 가지 DPA 대응 방법(두 가지 랜덤한 동형사상과 랜덤한 사영좌표)에 대한 공격을 제시하였다. Goubin의공격을 G-DPA으로, C-DPA와 G-DPA의 결합을 CG-DPA라고 명하자. Goubine G-DPA에 대한 대응책으로서 단순히 기저점 은닉 기법을 제시하였다. [14] 에서 Smart는 G-DPA에 대한 방어책을 제안하였으나, 위수가 큰 특수점 (special point)의 경우 상당량의 메모리를 사용한다는 단점이 있다. C-DPA 대응 방법과 Goubin 또는 Smart의 대응방법의 결합을 기존의 CG-DPA 대응법이라고 부른다.

남아있는 세 가지 DPA 대응 방법에 비해서 기존의 CG-DPA 대응법은 더 많은 계산과 저장공간을 필요로 하며, 이것은 스마트카드와 같은 제한된 환경에서 분명히 단점이 된다. 본 논문은 다음의 동기로부터 출발한다.

- 첫째, 기존의 CG-DPA 대응법을 사용하지 않고 CG-DPA를 어떻게 대응할 수 있는가 ?

- 둘째, CG-DPA을 방어하는 스칼라  곱셈의 일반적인 조건은 무엇인가 ?

1.3 논문의 기여

본 논문의 기여와 결과는 다음과 같다.

-CG-DPA에 대응하는 타원곡선 스칼라곱 셈의 안전성 요구사항을 확립한다. 안전성 요구사항으로부터 CG-DPA의 공격 특성을 제거하기 위한 타원곡선 스칼라 곱셈의 조건을 이끌어내며, 알고리듬이 유도된 일반적인 조건을 만족하면 CG-DPA에 안전함을 증명한다.

-Ha-Moon의 재부호화 알고리듬^[5]을 이용한 랜덤화된 스칼라 곱셈은 일반적인 조건을 만족함을 보인다. 또한 Ha-Moon의 재부호화 알고리듬의 변형으로 다른 재부호화 알고리듬을 제안하여 제안방법 또한 CG-DPA를 방어함을 보인다. 이를 기초로 두 가지 재부호화 알고리듬을 이용한 랜덤화된 스칼라 곱셈을 CG-DPA에 안전한 알고리듬으로 추천한다.

- 효율성 면에서 제안함 스칼라 곱셈은 Izu와 Takagi 의 스칼라 곱셈방법 (y-좌표를 계산하지 않고 Montgomery-ladder를 사용)^[6]과 비교된다. 제안하는 스칼라 곱셈은 Izu-Takagi 방식 중에서 사영좌표와 기저점 은닉기법을 결합한 방법보다 빠르다. 또한 메모리 사용 면에서 제안하는 스칼라곱셈방식이 Izu-Takagi 방식보다 효율적이다.

Ⅱ. 기존의 DPA 대응 방법과 분석 방법

이진 스칼라 \(d=\sum_{j=0}^{n-1} d_{j} 2^{j}\)에 대하여, 최상위 (n-i) 비트를 \(d^{(i)}=\sum_{j=i}^{n-1} d_{j} 2^{j-i}(i=0, \cdots, n-1)\)라고 표기하자.

2.1일반적인 DPA (C-DPA)^[2]

알고리듬3에 대한 C-DPA의 절차에 대해 간략히 살펴보자. 공격자가 최상위 t비트, 즉d^(n-t)을 안다고 가정하자. 그러면 반복 문의 t 번째 단계의 마지막에서, \(Q[0]=d^{(n-(t+1))} \cdot P\) 이 얻어지면, 다음의 두 가지 경우 중 하나가 발생한다.</b-<,>

- d_n-(t+1)=0이면, (t+1)-번째 단계에서 나타나는 값은 다음과 같다.

\(\left(2 \cdot d^{(n-t)}\right) \cdot P, \quad\left(2 \cdot d^{(n-t)}+1\right) \cdot P\)       (1)

- d_n-(t+1)=1이면, (t+1)-번째 단계에서 나타나는 값은 다음과 같다.

\(\left(2 \cdot d^{(n-t)}+2\right) \cdot P, \quad\left(2 \cdot d^{(n-t)}+3\right) \cdot P\)       (2)

d_n-(t+1)=0이면 (2·d^(n-t))·P이 알고리듬 3에서 계산이 되며, 전력 소모량은 (2·d^(n-t))·P의 임의의 특정 비트와 상관관계를 이루게 된다. d_n-(t+1)=1이면(2·d^(n-t))·P은 계산되지 않으며 따라서 어떤 상관관계도 일어나지 않는다.

특정 비트와 전력 소모량 사이의 상관관계를 명확히 관찰하기 위해서 통계적인 방법이 필요하다. 알고리듬 3을 k의 서로 다른 점 P₁, …, P_k에 대해 적용하여 Q₁=dP₁, …, Q_k=dP_k 를 계산한다. 1≤i≤k에 대하여 C_i(t)은 시각 t에서 알고리듬의 i번째 실행에 해당하는 전력 소모량이라고 하자. s는 (2·d^(n-t))·P_i (1≤i≤k)을 이진 표현했을 때 나타나는 특정 비트라고 하자. s_i와 C_i(t) 사이의 상관관계 함수 g(t)는 다음과 같이 계산된다.

\(g(t)=\left\langle C_{i}(t)\right\rangle_{i=1, \cdots, k \mid s_{i}=1}-\left\langle C_{i}(t)\right\rangle_{i=1, \cdots, k \mid s_{i}=0}\)

시각 t=t₁에서 점(2·d^(n-t))·P_i이 실행된다고 가정하면, 전력 소모량 C_i(t₁)은 (2·d^(n-t))·P_i의 이진 표현에 의한 특정 비트 s_i와 상관관계가 발생할 것이다. 따라서 s_i=1 일때 (2·d^(n-t))·P_i에 해당하는 전력 소모량은 s_i=0일 때의 전력 소모량과 차이가 생길 것이며, 시각에서 상관관계함수 g(t) 는 첨점을 보일 것이다.만약 (2·d^(n-t))·P_i이 계산되지 않는다면, 함수 g(t)에서 첨점이 생기지 않게 된다.

2.2 기존의 DPA 대응 방법

Coron의 대응방법^[2] · Corone 타원 곡선 암호 시스템에 DPA를 확장하였으며 C-DPA에 대한 대응책으로서 다음의 세 가지 방법을 제시하였다 : (1)비밀키의 랜덤화 방법, (2) 기저점 은 닉 방법, (3) 랜덤화된 사영 좌표계 방법.

Oswald의 대응방법^[13]· Corone 이진스칼라 알고리듬에 입력이 되는 파라미터를 랜덤화하거나 은닉시키는 DPA 대응책을 고안한 반면, Oswald는 이진 스칼라 알고리듬 자체를 랜덤화하는 DPA 대응 방법을 제시하였다. 두 개의 랜덤화된 오토마타는 Mondn과 Olivos^[10]가 제안한 랜덤한 덧셈-뺄셈 연쇄(additionsubtraction chains) 에 기인하다.

Joye-Tymen의 대응방법^[8]. Joye와 Tymene 기저점을 랜덤화하기 위한 두 가지 대수적인 방법을 제안하였다. 즉, (1) 랜덤한 타원 곡선 동형사상과(2) 랜덤 한 유한체 동형사상이 그것인데, 그들의 아이디어는 랜덤한 동형사상을 통해서 스칼라곱셈 계산을 다른 유한체나 타원곡선상에서 이루어지도록 하는 것이다.

2.3 기존의 DPA 대응 방법에 대한 분석

본 소절에서는 기존의 DPA 대응 방법에 대한 공격 특성을 분석하고, DPA에 의해서 스칼라곱셈 알고리즘이 분석되지 않기 위한 안전성 요구사항을 특성화한다.

Okeya-Sakurai의 공격^[11]· Okeya와 Sakuiai는 Coron 의 첫 번째와 두 번째 대응 방법을 분석하였다. Okaya 와 Sakurai는 첫 번째 대응 방법의 경우 SPA 대응법이 부주의할 경우, 스칼라곱셈의 실행되는 절차가 비밀키에 의존한다고 주장하였다. 두 번째, d·P를 계산하는 데에 덧셈 R+P와 뺄셈 d(P+R)-S을 추가적으로 계산하는 이른바 기저점 P의 은닉기법이다. 여기서 R은 타원 곡선상의 랜덤 한 점이며 S=d・ R 이다. 사전에 저장된 두 점 R, S와 난수 b에 대하여, R과 S는 각각 \(R \leftarrow(-1)^{b} 2 R, \quad S \leftarrow(-1)^{b} 2 S\)와 같이 갱신된다. Okeya, Salami Coron의 은닉기법에서 두 점을 갱신하는 방법이 R, S를 제대로 랜덤화하지 못한다고 지적하였다.

Okeya-Sakurai의 공격^[11]과 Han의 공격^[4]. Okeya-Sakurai와 Hane 각각 Oswald의 랜덤화된 오토마타 1, 2를 분석하였다. 그들은 공통적으로 랜덤화된 오토마타 1, 2의 수행 중에 나타나는 덧셈4와 2배 연산 D로 이루어진 AD-열 중 특정한 연산 패턴 DAAD 를 주요하게 이용하였다. 랜덤화된 오토마타1, 2는 SPA와 DPA를 모두 방어하기 위한 대응책이었으나 결국 SPA를 이용한 분석으로 공격되었다.

Goubin의 공격(G-DPA)^[3]. G-DPA는 스칼라 곱셈에서 덧셈과 2배 연산을 항상 계산하는 방법이나 Mogomeiy-ladder와 같은 SPA 대응책이 사용하는 환경하에서, 랜덤사 영좌표나 랜덤 동형사상을 이용한 DPA 대응방법을 분석하였다. G-DPA는 타원곡선 E(K)가 특수점 P₀≠O(아핀 좌표나 사영좌표에서 하나의 성분이 0인 점)을 포함한다는 특성을 이용하였는데, 세 가지 DPA 대응 방법이 이용되더라도 P₀의 특성을 제거하지 못한다는 것이 공격의 핵심이다.

알고리듬3에 대하여 G-DPA를 적용하여 보자. C-DPA의 경우와 같이 비밀키에 대한 똑같은 가정과 수식(1), (2) 하에서, 공격자는 점 P₁를 다음과 같이 선택한다.

- d_n-(t+1)=0으로 추측한 경우,

\(P_{1}=\left[\left(2 \cdot d^{(n-t)}+1\right)^{-1} \bmod \# E(K)\right] \cdot P_{0}\)

d_n-(t+1)=1으로 추측한 경우,

\(P_{1}=\left[\left(2 \cdot d^{(n-t)}+3\right)^{-1} \bmod \# E(K)\right] \cdot P_{0}\)       (4)

알고리듬3이 Q₁=d·P₁을 계산하기 위해서 디바이스에 같은 점 P₁을 k번 입력한다고 가정하자. 전력 소모량에 대한 평균 곡선을 다음과 같이 정의한다.

\(M_{P_{1}}(t)=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} C_{i}(t)\)       (5)

d_n-(t+1)을 옳게 추측하면 평균 곡선 M_P1(t₁)은 첨점을 보일 것이다. 여기서 t₁은 루프의 (t+1)-번째 단계에서 특수한 점 P₀의 0 성분이 다루어질 때의 시각을 말한다. 반대로 d_n-(t+1)의 추측이 틀리면, (t+1)-번째 단계에서 나타나는 값이 랜덤화 되기 때문에 평균 곡선은 첨점을 보이지 않을 것이다.

Remark 2. G-DPA는 기저점이 고정되는 ECDSA나 ECDH에서는 적용되지 않는다. G-DPA는 선택 평문 공격이다.

■ G-DPA에 대한 대웅방법

1) Goubin은 G-DPA 에 대응하기 위해서 기저점 은닉 기법을 제안하였다. 이 방법은 두 번의 덧셈과 두 번의 2배 연산을 필요로 하므로 Jacobian 좌표계를 사용하면 48번의 유한체 곱셈이 소요된다^[14].

2) [14] 에서 Smart는 타원곡선 isogeny 함수를 이용한 G-DPA에 대한 대응방법을 제안하였다. 그의 대응 방법은 특수점의 위수에 따라 두 가지로 구분되는데, 특히 위수가 큰 경우에는 기저점 P를 isogeny 함수를 이용하여 특수점이 없는 타원곡선으로 변환하는 것이 그의 아이디어이다. ℓ을 isogeny 함수의 차수(degree)라고 할 때, isogeny 함수에 의한 변환과 역변환은 3ℓ번의 유한체 곱셈을 필요로 한다. Smart에 의해 지적되었듯이 isogeny 함수를 이용한 대응방법의 단점은 많은 양의 시스템 파라미터를 스마트카드가 저장해야 한다는 것이다. 구체적으로 isogeny 함수를 정의하는 다항식의 계수를 저장하는 데에 3ℓn비트, isogeny 타원곡선을 저장하는 데에 2n비트정도의 메모리가 필요하다^[14]. 이것은 저장공간이 제한된 환경에서 간과될 수 없는 문제점으로 남게 된다.

■ 안전성 요구사항

전력 소모량에 의한 공격에 대하여 스칼라 곱셈 알고리듬이 안전하기 위한 요구사항을 다음과 같이 요약할 수 있다.

1) 알고리듬의 수행되는 절차가 비밀키에 의존하지 않도록 한다.

2) 계산되는 객체를 랜덤화 한다.

3) 스칼라곱 셈 중간 단계에서 발생하는 특수 점의 성질을 제거한다.

첫 번째 요구사항은 기본적으로 SPA를 방지하기 위한 것이며, 두 번째와 세 번째는 CG-DPA를 방어하기 위한 요구사항이다.

Ⅲ. GG-DPA를 어떻게 방어할 것인가?

본절에서는 CG-DPA를 방어하기 위한 타원 곡선 스칼라 곱셈의 조건을 제시한다. 다음의 정리1은 스칼라 곱셈 알고리즘이 CG-DPA에 의한 분석 가능성여부의 기준이 된다.

정리1. MSB-first 스칼라곱셈에 대하여, 공격자가 비밀키 d의 최상위 부분 비트 d^(n-t)을 알고 있다는 가정 하에, 다음 비트 d_n-(t+1)을 추측하고자 한다. 루프의 t번째 단계에서 나타나는 중간 결과 값이 결정론적인 공식¹⁾을 갖지 않으면, 스칼라 곱셈이 CG-DPA에 대하여 안전하다.

(증명)

C-DPA case. 루프의 t번째 단계에서 나타나는 중간값이 결정론적이지 않으면, d_n-(t+1)의 추측에 의존하는 중간 계산값은 알고리즘 상에서 항상 계산되지 않는다. 따라서 중간값의 어떤 특정 비트 s_i도 전력 소모량과 상관관계가 발생하지 않는다. 이것은 d_n-(t+1)의 모든 추측에 대하여 상관관계 함수 g(t)가 첨점이 발생하지 않음을 의미한다.

G-DPA case. d_n-(t+1)의 추측에 의존하여, 수식(4)의 P₁이 선택된다. d·P₁의 계산에서 루프의 t번째 단계가 끝난 후의 값은 반드시 특수한 점 P₀이 아니다. 따라서 특수한 점의 0성분에 대한 전력소모량이 항상 발생되지 않기 때문에 평균 곡선 \(M_{P_1}(t_1)\)은 d_n-(t+1)의 추측에 무관하게 첨점이 발생하지 않게 된다.

Remark 3. 정리 1은 LSB-fiist 스칼라곱셈 알고리즘에도 마찬가지로 적용되며, 덧셈과 2배 연산을 항상 계산하는 방법에 제한되지 않는다.

Remark 4. 기존의 CG-DPA 대응법은 다음과 같다.

1) 랜덤화된 사영 좌표계 + 기저점 은닉.

2) 랜덤한 타원 곡선 동형사상 + 기저점 은닉.

3) 랜덤화된 사영 좌표계 + isogeny 함수.

4) 랜덤한 타원 곡선 동형사상 + isogeny 함수.

Ⅳ. ±1 부호가 있는 랜덤화된 스칼라곱 셈 알고리듬

본절에서는 Ha-Moon의 재부호화 방법^[5]과 본 논문에서 제안하는 또 다른 재부호화방법을 소개한다. 두 재부호화 방법은 이진스칼라 \(k=\sum ^{n-1} _{i=0} k_i 2^i\)를 새로운 ±1 이진 스칼라 \(d=\sum ^{n-1} _{i=0} d_i 2^i\)으로 변환한다. 여기서 \(k_{i} \in\{0,1\}, \quad d_{i} \in\{-1,0,1\}, \quad k \cdot P=d \cdot P\)이다. 두재부호화 방법은 정리1의 조건을 만족하며, 따라서 이들을 이용한 랜덤스칼라 곱셈 알고리즘은 CG-DPA에 안전한 알고리즘이다.

4.1 Ha-Moon의 재부호화 방법^[5]

초기 값이 c₀= 0인 (i+1)-번째 보조 캐리 c_i+1를 이용하여, 비트 열 c_i+1d_i은 c_i+12¹+d_i2⁰의 값을 갖는다. 따라서 두 값 \(c_{i+1} d_{i}=01, \quad c_{i+1} d_{i}=11\)은 표현상 다르지만 논리적으로 같은 값을 갖는다. 재부호화 알고리듬은 랜덤 비트 r_i를 생성하여 위의 두 표현이 랜덤하게 선택된다. 즉, AF(Adjacent Form)와 NAF (Non Adjacent form) 표현 방식이 랜덤하게 채택된다. 이것이 랜덤 재부호화 알고리듬의 핵심 아이디어이다. 그들의 분석 결과에 의하면, 재부호화 알고리듬에 의해 생성된 ±1 이진 스칼라는 평균적으로 ±1 이진 스칼라 길이의 절반이 된다.

Ha-Moon 재부호화방법에 의한 랜덤스칼라 곱셈 알고리듬이 정리1의 조건에 대한 만족 여부는 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

■ 안전성 확인

1) SPA에 대한 안전성

2절에서 언급한 안전성 요구사항으로부터, 알고리듬 5를 적용하거나 Jacobi^[9] 또는 Hessian^[7] 형태 타원곡선에서 덧셈과 2배 연산의 통합된 공식을 적용하면 SPA를 방어할 수 있다.

2) CG-DPA에 대한 안전성

k와 d는 각각 이진비밀키와 ±1 이진 스칼라라고 할 때, 공격자는 비밀키 k의 최상위 부분비트 k_(n-t)을 알고 있으며, 다음 비트 k_n-(t+1)을 추측하고자 한다. 루프의 t번째 단계에서 나타나는 중간 계산값은 Q[0]=d^(n-(t+1)) · P 이다.스칼라 곱셈이 실행될 때마다, ±1 이진 스칼라는 랜덤화 된다. 따라서 d의 랜덤화에 의해서 d^(n-(t+1)) · P 또한 랜덤화 되므로 중간 계산 값 Q[0]에 대한 결정론적인 공식을 이끌어내는 것이 매우 어렵다. 따라서 Ha-Moon 재부호화방법에 의한 랜덤 스칼라 곱셈은 G-DPA를 막기 위해서 은닉기법과 같은 추가적인 대응책을 요구하지 않는다.

4.2 제안하는 재부호화 방법

정수의 ±1 이진 스칼라 표현이 유일하지 않다는 특성에 기초하여, 다음의 불변 관계식을 이용한 랜덤한 재부호화방법 (right-to-left)을 제안한다.

\(c_{i+1} \cdot 2+\left(c_{i}+k_{i}\right)=c_{i+2} \cdot 2^{2}+c^{\prime}{ }_{i+1} \cdot 2+d_{i}\)       (6)

■ 제안하는 재부호화 방법의 설명

1) 입력 변수

· \(k_{i} \in\{0,1\}, \quad i=0,1, \cdots, n-1\) : 이진스칼라 비트.

 · \(c_{i+1}, c_{i} \in\{\overline{1}, 0,1\}, \quad c_{0}=c_{1}=0\) : 입력 캐리 비트. 초기 두 개의 보조 캐리 c₀, c₁은 0으로 설정되며 이후 비트는 재부호화 알고리즘에 의해 생성된다.

· \(u_{i}, r_{i} \in\{0,1\}, \quad i=0,1, \cdots, n\) :두 개의 독립적인 랜덤 비트.

· S_i : i 번째 상태. 5개의 성분 (k_i, c_i+1, c_i, u_i, r_i)은 하나의 상태를 결정한다.

[표 1] 새로운 랜덤 재부호화 알고리듬

2) 출력 변수

· \(c_{i+2}, c_{i+1}^{\prime} \in\{\overline{1}, 0,1\}\) :출력 캐리 비트

입력 캐리 비트 c_i+1은 출력 캐리비트 c'_i+1으로 갱신된다.

· \(d_{i} \in\{\overline{1}, 0,1\}, \quad i=0, \cdots, n\): ±1 이진 스칼라 비트

출력비트열 c_i+2c'_i+1d_i은 두가지 방식으로 랜덤화 된다. 첫째, 랜덤비트열 u_ir_i=0^-2), 10, 11에 따라서 각각 다른 출력비트열 c_i+2c'_i+1d_i=001, 01 \(\bar 1 \ 1 \bar 1 \ \bar 1\)이 생성되며 이들의 논리적인 값은 모두 1로서 같다. 둘째, u_ir_i=0-, 1-에 따라서 각각 c_i+2c'_i+1d_i = 010 또는 1 \(\bar {10}\)으로 랜덤하게 생성된다. 재부호 화 된 스칼라는 본래의 이진스칼라보다 많아야 한 비트더 길 수도 있으며 이것은 Ha-Moon의 결과와 같다.

예제 1.  k= (1001101101)₂ = 2⁹ + 2⁶+ 2⁵+ 2³+ 2²+ 1 =621 에 대하여 두 개의 서로 다른 난수를 사용하였을 경우 d의 출력을 계산해 본다.

\(case 1. \ u=(0001110101)_{2}, \quad r=(1010110001)_{2} \\ d=(10100 \overline{10} \overline{11} \overline{1})_{S D 2}=2^{9}+2^{7}-2^{4}-2^{2}+2^{1}-1=621 \)

\(case 2. \ u=(1010111100)_{2}, \quad r=(1111000001)_{2} \\ d=(11 \overline{10} 0 \overline{10} \overline{10}1)_{S D 2}=2^{9}+2^{8}-2^{7}-2^{4}-2^{2}+1=621 \)

알고리듬 5는 n비트 ±1 이진 스칼라를 입력으로 하며 SPA를 방어한다. CG-DPA를 방어하기 위하여 이진 스칼라 k를 d으로 변환하여 알고리듬이 수행된다.

Algorithm 5[5]: SPA-Resistant MSB-first signed-digit binary

마코프 연쇄 모델(Markov Chains Model)에 의한 분석에 의하면, 제안하는 재부호화 알고리듬에 의해 생성된 ±1 이진 스칼라의 Hamming weight는 평균적으로 전체 길이의 절반이 됨을 쉽게 알수 있다.

■ 안전성. Ha-Moon의 랜덤스 칼라 곱셈과 마찬가지로 제안하는 재부호화 알고리듬을 이용한 랜덤 스칼라 곱셈은 정리 1의 조건을 만족하므로 CG-DPA 에 안전하다.

Ⅴ. 효율성 고려 및 비교

±1 이진 스칼라의 Hamming weight는 효율성과 관련이 있는데, 앞에서 언급한 바와 같이 두 재부 호화알고리듬에 의해 생성된 ±1 이진 스칼라의 Hamming weight는 평균적으로 전체 길이의 절반이 된다. Ja-cobi^[9]이 또는 Hessian^[7] 형태타원곡선에서 덧셈과 2배 연산의 통합된 공식을 적용하면, n비트 ±1 이진 스칼라에 대하여 평균적으로 (n-1)/2회의 덧셈과 (n-1) 회의 2배 연산을 통해 스칼라곱셈이 이루어진다. 타원곡선 뺄셈 또한 Jacobi 와 Hessian 형태 타원곡선에서 다른 연산과 동일한 계산량과 절차에 이루어 질 수 있기 때문에 SPA에 안전한다.

Remark 5. Brier-Joye^[1] 에 의한 Weierstraβ 형태 타원곡선에서의 덧셈과 2배 연산의 통합된 공식은 고려하지 않는다. 왜냐하면 그들의 공식은 예외적인 점들에 대해 적용되지 않기 때문이다.즉, y₁+y₂=0 을 만족하는 무한 원점 (point at infinity)이 아닌 두 개의 점 P₁=(x₁, y₁), P₂=(x₂, y₂)은 유한체 GF(p)*에서 0^-1 때문에 오류를 발생시킨다.

랜덤재부호화 알고리듬의 비용은 전체 스칼라 곱셈 알고리듬의 계산량과 비교하여 무시할 만한 비용이 소요되므로 재부호화 알고리듬의 비용은 계산량 비교 시 고려하지 않는다. 유한체의 제곱과 역원 계산량은 1S=O.8M, 1/=30M 으로 추정하였다. 제안하는 스칼라 곱셈 방식은 알고리듬5을 이용한다. 제안하는 방식의 효율성을 최적화하기 위해서 Jacobian 좌표계에서 연산을 수행한다. 알고리듬5의 경우 반복문내에서 고정된 점이 더해지기 때문에 기저점 P을 Z=1 으로 설정할 수 있어서 효율성이 증대된다. Izu 와 Takagi는 Mogomery-ladder를 이용하여 스칼라 곱셈을 2개, 4개의 프로세서로 처리하는 병렬 처리 구조를 제안하였다. 그들의 방법은 DPA와 SPA를 동시에 막는 가장 빠른 알고리듬으로 알려져 있다. 스마트카드와 같은 제한적인 환경을 고려할 때, 본 논문의 비교에서는 1개의 프로세서만을 이용하는 비병렬처리구조만을 비교 대상에 포함시킨다. 제안하는 랜덤 스칼라 곱셈 알고리듬은 Izu-Takagi의 방법 중, 랜덤화된 사영 좌표계 방법과 은닉 또는 isogeny를 결합한 방법보다 약간 더 빠르다.

[표 2] 제안하는 MSB-first CG-DPA 방어 알고리즘의 연산량 및 메모리 사용 비교, n 은 소수 p 의 비트 크기. isogeny 함수를 이용하는 대응방법의 연산량 3/M이 기저점 은닉의 연산량 2A + 2D 48M) 보다 같거나 작게 되는 ℓ<16인 경우를 고려한다.

스마트카드의 RAM은 스칼라곱셈 중간의 임시변수를 저장한다. 반면 고정된 시스템 파라미터는 E-EPROM에 저장된다. 또한 EEPROM은 사용자 응용데이터와 실행 파일을 보관하며 보통 16Kbyte로 제한되어 있다. 따라서 RAM뿐만 아니라 EEPROM의 메모리 사용을 줄이는 것 또한 중요한 문제가 된다. 모든 비교 대상 알고리듬에서 공통적인 시스템 파라미터로서(소수, 타원곡선군 위수, 코펙터, 타원곡선 방정식의 계수, 기저점)이 포함된다.기저점 은닉기법은 초기에 두 개의 타원곡선상의점이 저장되기 때문에 6n 비트의 메모리가 필요하며, isogeny 함수를 이용한 방법은 2절에서 언급되었듯이 (3ℓ +2)n 비트가 필요하다. 결과적으로 제안하는 스칼라곱셈 방식은 기존의 CG-DPA 대응 방법들 보다 적은 EEPROM을 사용한다.

* 본 연구는 한국전자통신연구원 위탁연구과제(0701-2003-0020) 지원으로 수행하였습니다