A Dispersion Analysis for Minimum Grids in the Frequency Domain Acoustic Wave Equation

주파수영역 음향 파동방정식에서 최소 격자수 결정을 위한 격자분산 분석

A great deal of computing time and a large computer memory are needed to solve wave equation in a large complex subsurface layers using the finite difference method. The computing time and memory can be reduced by decreasing the number of grid points per minimum wave length. However, the decrease of grids may cause numerical dispersion and poor accuracy. In this study we performed the grid dispersion analysis for several rotated finite difference operators, which was commonly used to reduce grids per wavelength with accuracy in order to determine the solution for the acoustic wave equation in frequency domain. The rotated finite difference operators were to be extended to 81, 121 and 169 difference stars and studied whether the minimum grids could be reduced to 2 or not. To obtain accuracy (numerical errors less than $1\%$) the following was required: more than 13 grids for conventional 5 point difference stars, 9 grids for 9 difference stars, 3 grids for 25 difference stars, and 2.7 grids for 49 difference stars. After grid dispersion analysis for the new rotated finite difference operators, more than 2.5 grids for 81 difference stars, 2.3 grids for 121 difference stars and 2.1 grids for 169 difference stars were needed. However, in the 169 difference stars, there was no solution because of oscillation of the dispersion curves in the group velocity curves. This indicated that the grids couldn't be reduced to 2 in the frequency acoustic wave equation. According to grid dispersion analysis for the determination of grid points, the more rotated finite difference operators, the fewer grid points. However, the more rotated finite difference operators that are used, the more complex the difference equation terms.

복잡한 지층구조에 대한 파동방정식의 해를 유한 차분법을 이용하여 구하는것은 많은 컴퓨터 계산시간과 기억 용량이 필요하다. 컴퓨터 계산시간과 기억용량은 최소 파장당 격자수를 줄이므로써 감소 시킬 수 있지만 수치분산으로 인해 정확도가 떨어지게 마련이다. 본 연구에서는 정확도를 유지하면서 파장당 격자수를 줄이는 방법으로 이용되고 있는 가중평균법을 최대 169점 까지 확장하여 주파수 영역에서 음향파동방정식의 해를 유한차분법으로 구할 때 최소 격자수를 구하기 위한 격자분석을 실시하였다. 지금까지 수치오차가 정확도 $1\%$내에 존재하기 위해서는 일반적인 5점을 이용하는 경우 파장당 격자수가 13개 이상이 필요하고, 9점의 경우 9개, 25점에서는 3개, 49점에서는 2.7개 이상이 필요하였다. 본 연구에서 정확도를 유지하기 위한 최소격자수를 결정하기 위해 실시된 격자분석 결과 81점에서는 2.5개 121점에서는 2.3개 그리고 169점에서는 오차 한계를 벗어나 가중평균 계수를 구할 수 없었으며 격자수를 2개까지 줄일 수 없음을 알 수 있었다. 또한 격자분석을 통해 가중평균에 적용되는 격자수가 증가할수록 정확도는 증가하지만 차분식 자체가 증가하여 매우 복잡하게 된다.