• 한국수학사학회지
• /
• 제20권1호
• /
• pp.103-111
• /
• 2007

1997년 Coppersmith는 소인수분해를 모르는 법 N에 대한 합동방정식(modular equation)의 '작은 해'를 찾는 방법을 제안한다. 동시에 두 변수 다항식의 제한된 크기의 해를 찾는 방법도 격자이론을 이용하여 제안한다. 이러한 Coppersmith의 정리는 이후 암호학에서 매우 유용하게 사용되는데 특별히 RSA 암호체계에서 비밀 키를 찾아내거나 일부 비밀 키가 노출되었을 때 전체키를 복원하는 데에 중요한 역할을 한다. 본 논문에서는 Coppersmith의 정리를 살펴보고 이것이 RSA의 안전성에 어떠한 영향을 주었는지를 살펴본다.

• 정보보호학회논문지
• /
• 제14권5호
• /
• pp.135-140
• /
• 2004

RSA 공개키 시스템은 비밀키의 크기를 작게 하여 효율성을 높이고 있는 데 이는 안전성 측면에서 취약하다. 이를 보완하기 위하여 중국인의 나머지 정리를 이용한 비밀키 생성 기법이 많이 이용되고 있다. 그러나 이러한 기법은 side channel attack 에 매우 취약하다. 따라서 일부 키 노출에 따른 전체 키 복원에 관한 연구가 활발히 진행되고 있다. May는 2003년 Crypto에서 두 소수의 크기는 같고 중국인의 나머지 정리를 이용하여 비밀키를 생성한 경우에 비밀키의 일부 $N^{4}$ 비트가 노출되면 전체가 복원되는 것을 보였다. 또한, May는 2002년 Crypto에서 변형된 RSA형태 중의 하나인 두 소수의 크기가 다르고 작은 CRT(중국인의 나머지 정리) 지수를 이용한 RSA를 분석하였는데 이때 작은 소수의 크기가 $N^{0.382}$보다 작으면 CRT 지수의 크기에 따라 N이 소인수분해 될 수 있다고 경고하였다. 본 논문에서는 May의 두 소수의 크기가 다른 변형된 RSA(작은 소수의 크기가 $N^{0.382}$보다 큰 경우)에서 작은 CRT 지수를 이용하여 비밀키를 생성한 경우에 어느 정도의 노출이 전체를 복원하게 하는지를 살펴본다. 공개키 e가 너무 크지 않을 때 작은 소수 p의 크기와 관계없이 비밀키 $d_{p}$ 의 약 $N^{0.25}$정도의 비트가 노출되면 N이 소인수분해가 된다. p,q의 크기가 비슷할 때 p의 약 $N^{1}$4/비트만 노출이 되면 N을 소인수분해 할 수 있다는 것을 Coppersmith가 보였는데 본 논문에서는 두 소수의 크기가 다를 때도 약 $N^{1}$4/비트가 노출되면 소인수분해가 가능한 것을 보이고 이를 이용하여 위의 내용을 증명한다.