Torque Prediction of Ball Bearings Considering Cages using Computational Fluid Dynamics

전산유체역학을 이용한 케이지가 고려된 볼 베어링의 토크 예측

Abstract

Ball bearings are a major component of mechanical parts for transmitting rotation. Compared to tapered roller bearings, ball bearings offer less rolling resistance, which leads to reduced heat generation during operation. Because of these characteristics, ball bearings are widely used in electric vehicles and machine tools. The design of ball bearing cages has recently emerged as a major issue in ball bearing design. Cage design requires pre-verification of performance using theoretical or experimental formula or computational fluid dynamics (CFD). However, CFD analysis is time-consuming, making it difficult to apply in case studies for design decisions and is mainly used in performance prediction following design confirmation. To use CFD in the early stages of design, main-taining analytical accuracy while reducing the time required for analysis are necessary. Accordingly, this study proposes a laminar steady-state segment CFD technique to solve the problem of long CFD analytical times and to enable the use of CFD analysis in the early stages of design. To verify the reliability of the CFD analysis, a bearing drag torque test is performed, and the results are compared with the analytical results. The proposed laminar steady-state segment CFD technique is expected to be useful for case studies in bearing design, including cage design.

1. 서론

베어링(bearing)은 기계 부품 중 회전을 전달하는 핵심요소로, 전동체(rolling element)의 종류에 따라 볼 베어링과 테이퍼 롤러 베어링(tapered roller bearing)으로 구분된다. 볼 베어링은 내륜(inner ring)과 외륜(outer ring) 사이에서 전동체가 점 접촉(point contact)을 하며, 테이퍼 롤러 베어링은 선 접촉(line contact)을 한다. 이로 인해 볼 베어링은 테이퍼 롤러 베어링에 비해 구름 저항이 적어, 구동 시 발열이 감소하는 장점이 있다. 이러한 특성 때문에 볼 베어링은 전기자동차나 공작기계 등에 널리 사용되고 있다[1-5].

베어링 설계 시 중요한 고려사항으로는 운전 시 발생할 수 있는 열과 마모에 대응할 수 있는 재료, 마찰과 열 발생을 감소시키기 위한 윤활제 및 윤활 시스템, 베어링의 정밀도 및 토크(torque)가 있다. 특히 최근CO₂ 배출가스와 연비규제로 인하여 자동차의 토크 저감의 요구가 점점 증가하고 있다. 베어링의 토크는 전동체, 케이지(cage), 시일(seal) 부품의 최적화를 통하여 구현이 가능하다. 특히, 케이지는 전동체를 일정한 간격으로 유지 및 이탈을 방지해주는 역할을 담당하였으나, 토크에 상당한 영향을 미친다는 사실이 확인되어 연구의 필요성이 중가하고 있다[6].

최근 베어링은 경량화를 위하여 폴리아미드(Polyamide)나 나일론(Nylon)과 같은 고분자화합물 소재를 적용하고 있다. 이들 소재는 무게가 가볍다는 장점이 있으나 강성(stiffness)이 약하고 오일과 화학반응이 발생할 수 있다는 단점이 있으므로 사전 검증이 필요하다[7,8]. 기존의 케이지 개발과정은 설계, 시제품 제작 및 성능 시험의 과정을 반복적으로 거치게 되며, 이로 인하여 상당한 개발기간이 소요된다. 이러한 단점을 보완하기 위하여 베어링 이론식이나 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, CFD)을 이용한 개발 전 성능 검증이 수행되었다[8-10].

케이지에 대한 기존 연구를 살펴보면, Gentle 등[11]은 해석을 통하여 케이지와 포켓(pocket)에서의 토크를 계산하고 이를 이론식과 비교하였다. 해석을 통하여 예측된 케이지와 포켓의 마찰 토크 값은 점성 전단(viscous shear)에 기반한 이론식과 매우 잘 일치함을 확인하였다. Houpert[12]는 탄성유체윤활(Elasto-Hydrodynamic Lubrication, EHL)을 이용하여 케이지에서 발생하는 윤활막에 의한 표면압력을 계산하고, 이를 이용하여 케이지가 발생시키는 토크의 이론식을 개발하였다. 이러한 이론식을 통하여 포켓부와 전동체 사이의 점성력에 의하여 발생하는 토크를 예측할 수 있다. 그러나, 이들 연구들은 단순한 형상의 케이지에 대한 예측만 가능하며, 최근과 같이 한쪽이 개방되어 오일에 노출되는 오픈형 케이지 형상에 대한 토크 예측은 실제와 상당한 차이가 발생한다.

이를 보완하기 위하여 CFD를 통한 토크 예측에 대한 연구가 진행되었다[13-14]. Wen 등[13]은 오일 순환 시 발생하는 볼 베어링의 교반 토크량에 대하여 CFD 해석을 수행하고, 시험을 통하여 해석의 신뢰도를 검증하였다. Feldermann 등[14]은 케이지 손실 토크를 하중 독립적 손실(load independent loss)로 구분하여 원통형 롤러 베어링(cylindrical roller bearing)의 케이지 포켓부에 대한 CFD 해석을 수행하였다. 그러나 CFD 해석에는 많은 시간이 소요되어 설계 결정을 위한 케이스 스터디(case study)에 적용하기 어렵고, 주로 설계 확정 후 성능 예측에 사용되었다. 설계 초기 단계에서 CFD를 사용하기 위해서는 해석의 정확도를 유지하면서 해석 시간을 줄일 필요가 있다. Peterson 등[15]은 베어링 전체가 아닌 일부 segment 만을 해석하여 해석시간을 단축하는 CFD 해석 기법을 개발하였다[15]. 그러나, 이들의 결과는 실제 시험결과와 비교하여 해석의 신뢰성을 검증하지는 않았다.

본 연구에서는 CFD 해석시간이 길다는 단점을 해결하여 설계 초기 단계에서 CFD 해석을 사용할 수 있는 방법론을 제시하였다. 즉, laminar steady-state segment CFD 해석을 수행하여 해석 시간을 단축시켰다. 또한, 시험을 통하여 베어링 토크를 측정하였고, 해석결과와 시험 결과를 비교하였다.

2. CFD 해석

볼 베어링의 마찰손실(friction loss)은 Fig. 1에서 설명한 바와 같이 하중 독립적 손실(load-independent loss)과 하중 의존적 손실(load-dependent loss)의 두 가지로 구분된다[14]. 하중 의존적 손실인 구름 마찰(rolling friction)은 주로 볼 베어링에서 발생하며, 이는 접촉부에서 발생하는 토크와 EHL로 인한 마찰 때문이다. 그러나, 케이지에 의한 손실 토크는 하중 독립적 손실에 해당한다. 이는 오일 순환에 따른 교반 저항(churning loss)과 오일 점성이 케이지 외부 표면을 따라 이동 시 발생되는 드래그 손실(drag loss)로 구분된다. 케이지에서 발생하는 토크는 유체역학적(fluid dynamic) 관점에서 CFD를 통한 드래그 하중(drag force)으로부터 계산할 수 있다.

Fig. 1. Categorization of load-independent and load-dependent losses[14].

케이지 내부에서 발생하는 유동은 Eq. (1)과 같이 reduced Navier Stokes 방정식을 사용하여 계산할 수 있다[12-15].

\(\begin{align}\rho \frac{D u_{i}}{D t}=\rho X_{i}-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\eta_{0}\left(\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial z^{2}}\right)+\frac{\eta_{0}}{3} \partial \xi\end{align}\)       (1)

여기서, ρ는 밀도(density), X_i는 표면 속도(surface speed), p는 압력, η₀는 윤활유 점도(lubricant viscosity), \(\begin{align}\xi=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial \omega}{\partial z}\end{align}\)이다.

케이지와 볼 사이에서 발생하는 응력을 계산하기 위하여 케이지에 작용하는 하중을 분석하면 Fig. 2와 같다. 이 때 볼의 회전에 따라 발생하는 포켓부의 전단응력(Newtonian shear stress, T)은 Eq. (2)와 같다 [16-18].

Fig. 2. Ball-and-cage geometry[18].

\(\begin{align}T=\frac{\eta U}{h}-\frac{h}{2} \frac{\partial p}{\partial x}\end{align}\)       (2)

Fig. 2에서 베어링에 대한 힘의 평형방정식을 적용하면 Eq. (3)과 같이 표현할 수 있다.

F = 2 ∫∫ TR dx dθ + F_C       (3)

여기서, R은 볼 직경, Fc는 공동 마찰력(Cavitation friction force)이다.

Eq. (1)-(3) 로부터 드래그 하중 (F_d)은 Eq. (4)와 같이 계산할 수 있다.

\(\begin{align}F_{d}=\frac{1}{2} \rho C_{d} S V^{2}\end{align}\)       (4)

여기서, \(\begin{align}S=\frac{\pi D^{2}}{4}-L_{c} D\end{align}\), C_d는 항력계수(drag coefficient), L_c는 케이지 포켓 두께(cage pocket thickness)이다.

본 연구에서는 CFD 상용 소프트웨어인 ANSYS Fluent를 사용하여 케이지 내부 유동에 대하여 고찰하였다. CFD 해석시간을 단축하기 위하여 segment CFD 해석을 수행하였고, 층류(laminar flow)로 가정하였다. 해석은 시간에 따른 결과(transient)가 아니라 시간이 충분히 흐른 후의 결과(pressure-based steady-state)를 도출하였다. 해석 모델은 Fig. 3과 같으며, segment 모델은 Fig. 3 왼쪽 그림의 빨간색 표시 부분이다. 해석 시 사용되는 유체는 자동차용 엔진 오일이며, 밀도는 889 kg/m³, 점도(viscosity)는 1.06 kg/m·s이다.

Fig. 3. Geometry for analysis model.

해석 경계조건으로 내륜이 반시계방향으로 회전하고, 외륜은 고정하였다. 볼의 자전과 공전을 고려하였고, 케이지는 볼의 공전속도와 동일한 속도로 회전한다고 가정하였다. 본 해석의 Reynolds 수를 계산한 결과, 6,000 rpm에서 유동이 층류에서 난류로 바뀌기 시작한다. 따라서, 베어링의 속도를 600~5,000 rpm로 설정하였다.

해석을 위한 격자(mesh)는 Fig. 4에 나타내었다. 표면 격자는 polyhedral mesh, 공간격자는 poly-hexcore mesh로 적용하여 해석시간을 단축하였다.

Fig. 4. Generated meshes.

3. 해석 결과 및 고찰

2장에서 언급한 해석 방법에 의하여 CFD 해석을 수행하였다. 일반적인 CFD 해석이 1주일 정도 소요되는 것에 비하여 본 해석은 1-2시간에 결과를 도출하였다. 해석결과, 회전속도에 따른 속도분포를 Fig. 5에 나타내었다. 외륜을 고정하고 내륜을 반시계방향으로 회전함에 따라서 유체는 아래쪽에서 위쪽으로 흐른다. 회전속도가 증가함에 따라서 유동이 복잡해지며 특히 Fig. 5(e)의 빨간색 네모상자와 같이 볼의 왼쪽 아래쪽 부분에 vortex의 발생이 점점 증가한다. 이와 같은 vortex는 베어링 내부의 토크를 증가시키는 요인이 된다. 회전속도에 따른 최대 속도 값은 Fig. 6과 같다. Fig. 6으로부터 rpm이 증가할수록 내부유동의 최대 속도가 선형적으로 증가함을 알 수 있다.

Fig. 5. Velocity streamline distribution.

Fig. 6. Maximum velocity according to the rotating speed.

회전속도에 따른 케이지의 압력분포를 Fig. 7에 나타내었다. Fig. 7로부터 케이지 왼쪽 측면에서 최대 압력이 발생하며, 회전속도가 증가함에 따라서 압력이 점점 증가하여 5,000 rpm에서는 왼쪽 측면과 오른쪽 측면에서 상당한 압력이 발생함을 알 수 있다. 회전속도에 따른 케이지 표면의 최대 압력은 Fig. 8과 같다. Fig. 8로부터 rpm이 증가할 수록 케이지 표면의 최대 압력이 선형적으로 증가함을 알 수 있고, 이 결과는 Fig. 6의 최대 속도와 동일한 경향이다.

Fig. 7. Pressure distribution.

Fig. 8. Maximum pressure for cage surface according to the rotating speed.

4. 드래크 토크 시험

3장에서 계산된 베어링의 드래그 토크 해석의 신뢰성을 검증하기 위하여 Fig. 9와 같이 드래그 토크 시험을 수행하였다. 시험은 ISO15312 규정에 근거하여 수행하였다. 즉, 베어링 동정격하중(dynamic load rating)의 최소 수준의 하중을 적용하였고, 3,000 rpm, 6,000 rpm에서 베어링 토크를 측정하였다. 시험은 유온식 타입(oil bath type)으로 진행하였다. 유온식은 오일 레벨에 따라 시험기 내에서 과도한 오일 처닝 토크(oil churning torque)가 발생하여 부정확한 결과가 나올 수 있다. 따라서, 챔버 내 오일 주입량을 챔버의 1/4로 가정하여 부정확한 결과가 나올 가능성을 최소화하였다. 초기온도는 50도로 설정하였다. 시험은 6회 반복 수행하였다.

Fig. 9. Bearing drag torque tester.

Eq. (4)의 드래그 하중으로부터 드래그 토크를 계산하였고, 이를 시험결과와 비교하면 Fig. 10과 같다. 여기서, 실선은 추세선을 나타낸다. Fig. 10의 결과로부터 알 수 있듯이 드래크 토크 시험과 해석은 정량적인 차이는 다소 발생하지만, 두 개의 추세선의 기울기가 거의 유사한 것으로 보아 정성적으로는 거의 유사한 경향을 보임을 예상할 수 있다. 따라서, 본 연구에서 제안한 laminar steady-state segment CFD 기법을 이용하면 유동해석을 통하여 케이지를 포함한 베어링의 드래그 토크를 예측할 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 10. Comparison the test results and CFD analysis results of drag torque.

5. 결론

본 연구에서는 CFD를 이용하여 케이지를 포함한 볼 베어링의 토크 예측을 수행하였다.

1. 기존 CFD 해석시간이 길다는 단점을 개선하기 위하여 laminar steady-state segment CFD 해석 방법론을 제시하였다. 이를 통하여1주일 소요되는 일반적인 CFD 해석 대비 1-2시간만에 결과를 도출하였다. 이는 충분히 설계 결정을 위한 케이스 스터디에 사용할 있는 수준이라고 판단된다.

2. CFD 해석의 신뢰성을 검증하기 위하여 베어링 드래그 토크 시험을 수행하였고, 이를 해석 결과와 비교하였다. 시험과 해석 결과를 비교한 결과, 정량적으로는 차이가 존재하나 정성적으로는 거의 유사한 경향을 보임을 확인하였다.

결론적으로, 본 연구에서 제안한 laminar steady-state segment CFD 기법은 케이지를 포함한 베어링 설계 케이스 스터디에 사용할 수 있을 것으로 기대된다.