Study on the Application of Casting Flow Simulation with Cut Cell Method by the Casting process

Cut Cell 방법을 활용한 공정별 주조유동해석 적용 연구

Abstract

In general, castings often have complex shapes and significant variations in thickness within a single product, making grid generation for simulations challenging. Casting flows involve multiphase flows, requiring the tracking of the boundary between air and molten metal. Additionally, considerable time is spent calculating pressure fields due to density differences in a numerical analysis. For these reasons, the Cartesian grid system has traditionally been used in mold filling simulations. However, orthogonal grids fail to represent shapes accurately, leading to a momentum loss caused by the stair-like grid patterns on curved and sloped surfaces. This can alter the flow of molten metals and result in incorrect casting process designs. To address this issue, simulations in the Cartesian grid system involve creating a large number of grids to represent shapes more accurately. Alternatively, the Cut Cell method can be applied to address the problems arising from the Cartesian grid system. In this study, analysis results based on the number of grid in the Cartesian grid system for a casting flow analysis were compared with results obtained using the Cut Cell method. Casting flow simulations of actual products during various casting processes were also conducted, and these results were analyzed with and without applying the Cut Cell method.

일반적으로 주조품은 복잡한 형상을 가지고 있고, 한 제품 내에서 두께의 차이가 현저하게 나는 경우가 있어 시뮬레이션을 위한 격자를 생성할 때 어려움이 있다. 주조 유동은 이상유동으로 수치해석을 할 때 공기와 용탕의 경계면을 추적해야하며 밀도차에 의한 압력장 계산에 많은 시간이 소요된다. 이와 같은 이유로 주조유동해석에는 직교격자가 주로 이용되어왔다. 그러나 직교격자는 형상을 제대로 표현하지 못한다. 곡면에서 나타나는 계단형상 격자로 인해 모멘텀 손실이 발생하고 이로 인해 용탕의 흐름이 달라질 수 있으며 결과적으로 잘못된 주조 방안 설계를 할 수 있다. 이를 피하기 위하여 직교격자계에서 형상을 좀 더 정확하게 표현하기 위하여 많은 수의 격자를 생성하여 해석을 한다. 또는 직교격자계에서 발생하는 문제를 수치적으로 보완하는 Cut Cell 방법을 적용하여 해석하는 방법이 있다. 본 연구에서는 직교격자계에서 주조유동해석을 할 때 격자수에 따른 해석결과와 Cut Cell 방법을 적용한 해석 결과를 비교하였다. 또한 주조공정별로 실제제품을 주조유동해석을 하고 공정별로 Cut Cell 방법을 적용한 결과를 고찰하였다.

1. 서론

좋은 품질의 주조품을 생산하기 위해서 주조 방안 설계를 한다. 올바르지 않은 주조방안은 용탕의 주입 및 응고 과정에서 많은 주조결함을 야기한다 [1]. 주조 산업에서도 컴퓨터 시뮬레이션이 지난 수십 년 동안 광범위하게 사용되어 왔다[2,3]. 주조 공정별 주조유동해석에 대한 연구와 주조 유동의 다양한 물리현상에 대한 연구가 예전부터 진행되어 왔다 [4-7]. 탕구 방안의 위치, 크기, 주입온도, 그리고 주입속도가 올바른지 시뮬레이션을 통해 확인할 수 있다. 이런 점에서 주조유동해석을 정확하게 수행하는 것이 중요하다.

주조유동은 자유표면이 존재하는 이상유동이다. 자유경계면 추적이 필요한 주조유동해석의 기존 수치모델은 대부분 MAC (Marker And Cell) [8], SMAC (Simplified Marker And Cell) [9] 또는 SOLA-VOF (SOLution Algorithm for transient fluid flow - Volume Of Fluid) [10]를 기반으로 해왔다. 이러한 알고리즘은 직교 격자계를 기반으로 하는 유한 체적법 (FVM) 또는 유한 차분법 (FDM)을 사용한다. 이 격자계는 형상의 외관에 상관없이 직교방향으로 격자를 생성하기 때문에 특별한 기술 없이도 격자 생성이 쉬우며 격자 생성 시간도 오래 걸리지 않는다 [11]. 격자에 주물과 주형 부분이 함께 존재하면 격자에서 차지하는 주물의 부피비에 따라 주물 또는 주형 부분 격자로 결정된다. 경사면이나 곡면을 가지는 제품의 격자를 생성하면 계단 형상으로 격자가 생성되는데, 이러한 방식 때문에 직교 격자계는 원래의 형상과는 일치하지 않는다. 따라서 직교 격자계에서는 원래의 기하학적 구조를 정확하게 표현할 수 없다. 이러한 직교 격자의 단점의 대안은 형상 적합 격자 (body-fitted grid) 를 사용하는 것이다. Mampaey 등 [12]은 형상 적합 격자를 사용하는 곡선 좌표계 기반 주조유동 수치해석을 하였다. Hetu 등 [13]은 유한요소법 (FEM)을 주조 유동과 응고 해석에 적용하였다. FEM은 삼각형 요소뿐 아니라 사면체 요소를 사용하여 격자를 생성하므로 곡면의 형상을 잘 표현할 수 있다. 그러나 FEM은 FDM 또는 FVM에 기반한 방법보다 계산 시간 및 메모리 크기면에서 훨씬 효율적이지 않은 것으로 알려져 있다. BFC (body-fitted coordinate) 시스템을 기반으로 한 SIMPLE-BFC-VOF 방법 [14]은 얇은 벽면과 곡면을 가진 주조 형상의 시뮬레이션을 정확하게 해석할 수 있음을 보여주었다. 그러나, BFC방법은 격자를 생성하기 위해서 상당히 숙련된 기술이 필요하다. 또한 단순한 형상의 모형에서도 많은 계산 시간을 필요로 한다. 주형과 주물을 동시에 모델링하는 것은 매우 복잡한 과정이다. 주조 생산 과정은 제품의 개발에서 완료까지 매우 신속히 이루어지므로 주조유동해석에서 해석의 정확도 못지않게 계산 시간은 중요한 요소이다. 대다수의 주조 제품들은 많은 경사면과 곡면이 있는 복잡한 형상이기 때문에 주조유동해석에서 BFC 방법이나 FEM 방식을 적용하는 것은 상당히 어렵다. 이러한 이유로 주조유동해석 분야에서는 직교 격자계가 주로 사용되어 왔다.

직교 격자계의 단점은 수치계산 도메인에서의 형상 왜곡이다. 이를 줄이기 위해서 격자수를 늘리는 것이 가장 쉽고 통상적인 방법이다. 많은 수의 격자는 원래의 형상에 가깝게 도메인을 만들어준다. 또 다른 전략은 표면셀을 절단하는 것이다. Tucker, Ingram, Lin [15-17] 등은 Cartesian cut cell 접근법을 통해 직교 격자계에서 형상 왜곡을 최소화할 수 있는 방법을 다양한 유동환경에 적용하였다. Choi 등[18]은 PCT 기반 Cut Cell 방법을 주조 유동 해석에 적용하였다. 본 연구에서는 직교 격자계에서 주조유동해석을 수행할 때 격자 수에 따른 기존의 해석 결과와 Cut Cell 방법을 적용한 결과를 비교하였다. 또한 실제 주조공정별 제품에 Cut Cell 방법을 적용한 수치해석을 수행하고 기존의 방법과 차이에 대해서 고찰하였다.

2. 수치방법

Fig. 1은 직교 좌표계에서 원형 모양의 모델에 대한 격자를 생성한 것이다. 여기에서 주물과 주형을 모두 포함하는 격자는 절단 셀 (cut cell)로 정의한다. 한편, 직교 격자계에서 절단 된 셀은 셀에서 주물의 비율에 따라 주물 또는 주형 셀로 결정한다. Fig. 1에서 격자 1과 2는 절단 셀이지만 직교 격자계에서는 주형 셀이 된다. 격자 1과 2의 –y방향 벽면의 속도가 존재하지만 직교 격자계에서는 주형벽으로 설정되어 벽면 조건(유동 속도 0)이 적용된다. 이러한 절단 셀을 고려하기 위해 Cut Cell 방법 [18]을 사용한다.

Fig. 1. Cut cells in the generated meshes [18].

생성한 격자 내에서 주물의 부피와 면적을 기반으로 정의된 함수 θ을 사용한다. 주조유동해석의 계산 영역은 0 < θ ≤ 1이다. θ가 0일 때 주형 셀이라고 하고, θ가 1일 때 주물셀이라고 한다. θ_c는 셀 내 중심에 위치한 주물의 부피 분율을 나타내며 이 값은 연속방정식 (1)과 VOF 방정식 (3)에 사용한다. θ_(_R,L,F,K,T,B)는 각각 x, y 및 z 축을 따라 각 셀 면에서 주물의 면적 분율을 나타내며 운동량 방정식 (2)에서 사용된다. 이러한 값은 셀 면에서 실제 제품 형상의 위치를 나타낸다. θ 값들을 사용하여 실제 주물이 셀 내에서 차지하는 부분에 대한 질량 보존이 계산된다. Cut Cell 방법에서 θ는 계단형상이 나타나는 계산 격자에서 원래의 형상이 가지는 기하학적인 표면 형상정보를 나타내는 변수이며 이 값을 이용하여 변형된 형상으로 인해 발생하는 운동량의 손실을 보정하거나 또는 압력의 과부하 등을 수정하게 된다. θ의 값은 자체 개발한 격자 생성기를 통해 구하며, 이를 이용하여 해석에 사용한다.

주조유동은 자유표면을 가지는 3차원 비정상, 비압축 상태의 점성을 지닌 흐름으로 가정한다. 주조 유동 해석을 위해서 Navier-Stokes 방정식이 고려되고 자유경계면 추적을 위한 VOF 방정식을 해석한다. 지배방정식은 다음과 같다. Cut Cell 방법의 적용을 위해서 연속방정식과 운동 방정식, Volume of Fluid (VOF) 방정식에 함수 θ를 결합하여 나타내었다.

연속방정식

\(\begin{align}\nabla(\theta \vec{u})=0\end{align}\)       (1)

운동방정식

\(\begin{align}\frac{\partial(\theta \vec{u})}{\partial t}+\nabla(\theta \vec{u} \vec{u})=-\frac{\theta}{\rho} \nabla p+v \theta \nabla^{2} u+\theta \vec{g}\end{align}\)       (2)

Volume of Fluid 방정식

\(\begin{align}\frac{\partial(\theta f)}{\partial t}+\nabla(\theta f \vec{u})=0\end{align}\)       (3)

여기서, \(\begin{align}\vec{u}\end{align}\)는 속도 벡터이며 \(\begin{align}\vec{g}\end{align}\)는 중력가속도, ν는 동점성 계수, ρ는 용탕의 밀도, p는 압력, f 는 격자에서 용탕이 차지하는 부피비를 나타낸다.

지배방정식은 엇갈린 격자망 (staggered grid system)을 사용하여 차분화하고 운동방정식 (2)의 θ는 지워지며, 대류항의 차분에 있어서는 수치계산의 정확성을 높이기 위하여 hybrid scheme을 사용하였다. 즉, 엇갈린 격자망에서 보존형의 대류항을 중심차분 (central differencing)과 풍상차분 (upwind differencing) 의 복합형으로 차분한 다음 풍상차분계수로 조절하는 hybrid 차분 (hybrid differencing) 형태로 유도하여 사용하였다. 유동장 수치해석을 위해서 SOLA (a Solution Algorithm for Transient Fluid Flow) 방법을 사용하였고, 용탕의 자유경계면을 추적하기 위하여 VOF방법을 사용하였다.

3. 결과 및 고찰

개발한 Cut Cell 방법을 주조 공정별로 적용을 해보고, 기존의 방법과 비교 및 고찰하였다. 또한 직교 격자계의 형상 왜곡 문제를 해결하기 위한 간단한 해결 방법으로서 격자수 증가를 한 직교 격자계에서의 기존 방법 해석 결과를 Cut Cell 방법과 비교하여 고찰하였다. 주조에 사용된 재질은 ASTM standards로 표기하였다.

3.1 사형주조

건설 장비 부품인 대형 주강 제품을 사형주조 공정으로 해석하였다. Fig. 2는 제품의 3D 모델과 격자를 나타낸 것이다. 제품의 각 runner는 동일한 각도로 놓여 있다. 3개의 runner 중 1개의 runner 만을 좌표축에 수직하게 놓고 격자를 생성하였다. 그 외, 2개의 runner는 좌표축에 경사져 있으므로 그 곳에서의 모멘텀 손실로 인한 속도 저하를 예상할 수 있다. 격자수 증가에 의한 해석에는 기본 격자의 2배수의 격자를 생성하여 기존 방법으로 해석하였다. 해석 조건은 Table 1과 같다. Fig. 3을 보면, 용탕 충전율 1%일 때 Y축 좌표에 정렬되어 있는 러너를 통과하는 용탕의 양이 더 많다. 경사면에서의 용탕은 전진할 때 계단 형상 (cut cell)을 만나 감속된다. 이 제품의 runner처럼 두께가 얇을 경우, 계산 도메인에서 차지하는 cut cell의 비중이 커지고 모멘텀의 손실은 더 크다. 12% 일 때, 경사진 러너를 통해서 제품으로 주입되는 용탕의 양이 적어서 제품에 용탕이 균일하게 채워지고 있지 않다. 12% 일 때, 좌표축에 기울어진 runner 사이의 제품의 모서리는 다른 두 곳과 달리 용탕이 충전되지 않았음을 확인할 수 있다. 반면에 Cut Cell 방법을 사용한 결과 Fig. 4를 보면, 3개의 runner에서 용탕이 균일하게 충전되고 있다. 다시 말해, 계단형상의 격자에서 Cut Cell 방법의 적용으로 인해 모멘텀의 손실이 보정되고 있다. Fig. 5은 많은 격자수로 인해 형상을 좀 더 정확하게 표현한다. 그러나 경사진 탕도에서 단지 작은 크기의 계단 격자를 성긴 격자계보다 더 많이 가지고 있다. 해석 결과는 Fig. 3보다는 개선되었으나 크게 차이가 없다. 여전히 제품의 모서리에서 균일하게 충전되지 않는다.

Fig. 2. (a) 3D modelling and (b) Cartesian coarse meshes.

Table 1. Work Conditions

Fig. 3. Results of the Conventional method at a filling rate; (a) 1% and (b) 12%.

Fig. 4. Results of the Cut Cell method at a filling rate; (a) 1% and (b) 12%.

Fig. 5. Results of the Conventional method with fine mesh; (a) 1% and (b) 12%.

3.2 금형주조

일반 요트에 사용하는 프로펠러를 금형주조공정으로 해석하였다. 프로펠러의 블레이드는 제품 두께가 얇고 용탕의 유동 거리가 길다. Fig. 6 (b)를 보면 프로펠러의 탕도 중 하나는 x축에 정렬해 있고 나머지 2개는 좌표축에 경사져 있다. 블레이드 1은 좌표축에 정렬되어 있는 탕도에 위치해 있고 블레이드 3은 경사진 탕도 사이에 있다. 해석 조건은 Table 2와 같다. 기존 방법의 결과 Fig. 7을 보면, 경사진 탕도 사이로 유동 주입량이 가장 적으므로 다른 블레이드에 비해 블레이드 3에서 용탕이 늦게 충전된다. 반면에 Cut Cell 방법의 결과는 3개의 블레이드에서 균일하게 용탕이 충전되는 것을 보여준다. Fig. 9은 조밀 격자계 결과로서 얇은 블레이드를 감안하여 기존 격자의 4배의 격자를 생성하였고, 격자수 증가로 직교 격자계에서 형상을 좀 더 정확히 표현하였지만 블레이드에서 균일한 충전이 되지 않는다. Fig. 10은 충전율 60%일 때, 속도 분포도를 나타낸 것이다. 3가지 방법의 결과들은 유동 패턴이 정성적으로 비슷하다. 그러나 속도 분포도를 보면, 기존 방법의 속도는 Cut Cell 방법의 절반 이하이며 조밀 격자계에서의 기존 방법의 속도 결과는 개선되었으나 Cut Cell 방법의 속도에는 미치지 못한다.

Fig. 6. The propeller; (a) 3D modelling and (b) cross section of the x-y axes.

Table 2. Work Conditions

Fig. 7. Results of the Conventional method at a filling rate each.

Fig. 8. Results of the Cut Cell method at a filling rate each.

Fig. 9. Results of the Conventional method with fine mesh at a filling rate each.

Fig. 10. Velocity contours at a 60% filling rate for each method.

3.3 고압주조

자동차용 에어컨 컴프레서 부품을 HPDC 공정으로 해석하였다. Fig. 11는 해석 제품의 3D 모델링을 나타낸다. 격자에 정렬되어 있는 스프루를 지나 인게이트로 연결되는 탕도는 격자에 기울어져 있어 지그재그 계단 형상으로 나타난다. 해석 조건은 Table 3과 같다. Fig. 12은 기존 방법의 결과로서 충전율 60% 일 때, 인게이트를 지난 용탕은 도시한 화살표 방향으로 나뉘어져 흘러 들어간다. 90% 일 때, 용탕의 최종 충전부위는 도시한 원 부위이다. Fig. 13은 Cut Cell 방법으로 해석한 결과로서 60% 충전율 일 때, Fig. 12의 결과와는 다르게 한 쪽 방향으로 제품에 용탕이 주입된다. 90% 일 때, 용탕의 최종 충전 부위는 원으로 도시한 인게이트 부근이다. Fig. 14는 일반 격자수 대략 8배의 조밀 격자계에서 기존 방법으로 해석한 결과를 나타낸 것이다. 직교격자계에서 특별한 처리없이 이 주조품을 해석하기에는 200만개의 격자수는 매우 적으므로 1,500만개의 격자를 생성하여 해석하였다. 충전율 40%에서 Cut Cell 방법의 결과와 유사하지만, 60% 충전율일 때, 용탕이 화살표 방향으로 양 갈래로 흘러 들어간다. 최종 충전 부위도 Fig. 13과는 다른 위치에서 발생한다.

Fig. 11. Results of the Conventional method at each filling rate

Fig. 12. Results of the Cut Cell method at a filling rate each.

Fig. 13. Results of the Conventional method with fine mesh at a filling rate each.

Fig. 14. 3D modelling of an aluminum alloy wheel.

Table 3. Work Conditions

3.4 저압주조

LPDC의 대표적인 케이스는 자동차용 알루미늄 합금 휠이다. Fig. 14는 휠의 3D 모델링이다. Table 4는 LPDC의 가압 조건을 표시한 것이다. 해석 조건은 Table 5와 같다.

Table 4. Pressurized Conditions

Table 5. Work Conditions

Fig. 15는 알루미늄 합금 휠을 두 개의 방법으로 해석한 결과를 충전율에 따라 도시한 것이다. 기존 방법과 Cut Cell 방법의 유동 충전 양상이 비슷하다. 저압주조는 중력을 거슬러 유동이 충전되는 방법으로 속도가 느리다. Stoke를 통해서 유동이 주입되는데 격자에 정렬되어 있다. 허브에 도달한 유동은 rim에서 수직 상승하여 충전된다. 휠의 rim은 원형인 곡면이지만 속도가 느리고 유동 방향 (z축)이 격자에 정렬되어 두 방법이 차이가 크지 않다.

Fig. 15. Results of two methods at each filling rate; (a) the conventional method and (b) the Cut Cell method.

3.5 계산 성능 비교 분석

Cut Cell 방법의 효율성을 알아보기 위해 계산시간을 비교하였다. 각각의 계산 시간은 Table 6에 나타내었다. 전체 해석 case를 비교하였을 때, 같은 격자의 경우 Cut Cell 방법의 해석시간이 더 오래 걸렸다. 그러나 일반적으로 기존의 직교 격자계에서 수치해석은 즉, Cut Cell 방법을 사용하지 않을 경우, 형상의 왜곡을 최소화하기 위해 많은 수의 격자 생성이 필요하다. 최소한의 해석 정확도를 위해서 기존 방법은 천 만 개 이상의 격자수가 필요하다. 기존의 해석 방법에서는 많은 격자를 생성하는 것이 합리적인 결과를 보장한다. 조밀 격자계에서 기존 방법의 해석 시간은 성긴 격자계에서 Cut Cell 방법의 해석 시간보다 2~3배 이상 오래 걸렸다. 직교 격자계에서 경사면과 곡면이 많은 주조품을 해석할 경우, Cut Cell 방법을 사용하면 많은 수의 격자를 생성할 필요가 없으므로 계산 성능이 향상된다.

Table 6. Computational time (s) for the cases

4. 결론

주조공정 중에서 대표적인 사형주조, 금형주조, HPDC, LPDC 공정에 대해서 실제 주조품을 해석하였다. 개발한 Cut Cell 방법이 각 공정 별로 잘 작동하는 것을 확인하였다. 기존 방법과 Cut Cell 방법의 비교연구를 수행하였다. 사형주조와 금형주조공정의 경우, 두 방법의 해석의 정확도 차이가 있었다. HPDC의 경우, 조밀한 격자를 사용하여도 기존 방법의 해석 오류는 수정되지 않았다. LPDC의 휠의 경우, 유동 패턴 등 두 방법의 결과 차이가 가시적으로 크지 않았다.

다음은 격자수에 따른 두 방법의 수치 결과를 비교하였다. 기존 방법의 경우, 성긴 격자계의 사용보다 조밀 격자계를 사용하여 해석하였을 때 결과가 더 정확하였다. 조밀 격자계에서의 기존 해석 방법과 Cut Cell 방법의 결과를 비교해보면, 기존 방법의 결과는 성긴 격자계에서 Cut Cell 방법의 결과에 근접하거나 여전히 성긴 격자계에서의 결과와 마찬가지로 정확도가 떨어졌다. 직교 격자계에서 격자수의 증가는 형상 왜곡이나 계단 격자의 장애물로 인해 생기는 에너지의 손실을 완화해줄 뿐 완전히 보정해주지는 못한다.

마지막으로 지금까지 해석한 모델의 계산 시간을 확인하였다. 성긴 격자계에서, Cut Cell 방법은 기존 방법보다 해석 시간이 오래 걸렸다. 그러나 직교 격자계에서 기존 방법을 성긴 격자로 해석하면 해석의 정확도가 낮다. 그러므로 조밀한 격자로 기존 방법을 해석해야 한다. 이럴 경우 기존 방법의 해석 결과는 Cut Cell 방법의 해석 시간보다 오래 걸렸다.

결론적으로, 직교 격자계에서 Cut Cell 방법을 사용하여 좀 더 정확한 주조유동해석이 가능함을 확인하였다. Cut Cell 방법은 기존의 방법보다 정확도가 향상되지만 계산 시간이 오래 걸리는 단점이 있다. 한편 주조품의 형상이나 공정에 따라 기존 방법과 Cut Cell 방법의 결과가 가시적인 차이가 없는 경우가 있다. 유동속도가 저속이거나 전반적으로 두께가 두꺼워 격자 중에서 cut cell의 비중이 낮은 제품을 해석할 때 특히 그렇다. 그러므로 주조유동해석을 할 때, 해석의 정확도와 효율성을 고려하여 직교 격자계에서 기존의 방법과 Cut Cell 방법을 선별적으로 사용할 필요가 있다.

감사의글

본 연구는 한국생산기술연구원 제조혁신지원사업(JH230011)의 지원을 받아 수행하였습니다.