과표본화 이산 웨이브렛 변환의 잡음제거에 관한 연구

A Study on Noise Removal Using Over-sampled Discrete Wavelet Transforms

Abstract

과표본화 이산 웨이브렛 변환의 가장 대표적으로 응용되는 분야는 디지털 영상에 존재하는 잡음을 제거하는 기술이다. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환을 이중 트리 이산 웨이브렛 변환과 비교하면, 거의 유사한 특징을 가진다. 본 논문에서는 잡음이 포함된 디지털 영상에 여러 이산 웨이브렛 변환들을 수행하고 생성된 부대역에 임계값 처리 기법을 적용하여 잡음을 제거한 다음 복원한 영상의 성능을 평가하는 실험을 수행하였다. 적당한 임계값을 설정하여 효과적인 잡음제거가 가능하다. 본 논문에서는 여러 방법의 실험 결과에서 제안하는 3방향 분리처리 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환 방법이 우수하다는 것을 확인할 수 있었다.

The standard application area of over-sampled discrete wavelet transform is noise removal technology for digital images. Comparing dual density discrete wavelet transform with dual tree discrete wavelet transform, we have almost similar characteristics. In this paper, several discrete wavelet transforms are accomplished on digital image existing with noise, noises are removed with threshold processing algorithm on subband, performance evaluation experiments of the reconstructed images are accomplished. If we decide appropriate threshold value, the effect noise removal is possible. In this paper, we can certified that the suggested algorithm of 3-direction separable processing with 2 dimension dual density discrete wavelet transform is superior to several experiment results.

Ⅰ. 서론

웨이브렛 변환(wavelet transformation : WT)은 영상 신호와 비디오 신호 부호화를 위한 도구로서 잘 알려져 왔다. 그래서 많은 연구자들은 웨이브렛을 이용하여 신호의 분석과 재생을 위한 연구를 수행하고 있다. 그러나 그 결과들은 획기적으로 만족스럽지 못했다. 웨이브렛 변환이 웨이브렛 기저함수의 확장과 축소 그리고 이동(shift)을 통해서 시간과 주파수 영역을 동시에 표현할 수 있어 푸리에 변환(Fourier transformation)이 가지고 있는 제약성을 극복한 장점을 갖고 있지만, 주요한 단점도 가지고 있기 때문이다. 첫 번째로 이동 불변(shift invariance) 성질을 만족하지 못한다. 그래서 입력 신호에서 작은 이동들은 각 스케일(scale)에서의 이산 웨이브렛 변환^[1](discrete wavelet transformation : DWT) 계수 간의 에너지 분포에 큰 변화를 일으킬 수 있는 원인이 된다. 특히, 디지털 영상에 대한 2차원 이산 웨이브렛 변환에서 생성되는 부대역 영상들(subband images)은 상호 간의 독립성을 보장할 수 없다. 과표본(over-sampling) DWT는 비압축 형식의 DWT과는 다른 방법으로 단계의 증가와는 독립적으로 확장인자 2에 의해서만 데이터의 양이 증가하는 특징을 갖는다. 과표본 DWT의 대표적인 방법으로 이중 트리 이산 웨이브렛 변환(dual-tree discrete wavelet transformation : DTDWT)^[2]이 있다. 이 변환은 이동 불변의 특징을 만족하도록 설계된 필터를 사용하며, 두 개의 트리 구조로 웨이브렛 변환을 수행한다. 따라서 2차원 이산 웨이브렛 변환보다 추가된 트리 구조로 인해서 방향성에 대한 선택도 또한 더 증가하게 된다.

과표본 이산 웨이브렛 변환의 또 다른 한 종류로 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환(double density discrete wavelet transformation : DDDWT)^[2]이 있다. 이것은 이중 트리 이산 웨이브렛과 마찬가지로 정밀하게 표본화(critically sampling)되는 이산 웨이브렛 변환에 중요한 특징을 추가하여 그 성능을 개선한 것이다. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 하나의 스케일링(scaling) 함수와 두 개의 웨이브렛 함수가 존재한다. 즉, 3개 채널로 분해가 되며, 두 웨이브렛 함수는 주파수 대역을 1/2씩 분할하도록 설계되었다. 이중 트리 이산 웨이브렛 변환과 비교해서 볼 때 방향성분의 선택성이 부족하다.

그러나 사용되는 필터의 수는 세 종류만 존재하므로 두 개의 트리에서 8종류의 필터를 사용하는 이중 트리 이산 웨이브렛 변환보다 복잡도는 훨씬 낮다.

본 논문에서는 quincunx 표본화를 이용하여 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 기본 장점을 유지하면서 방향의 선택성을 증가시키는 방법을 제안하였다. 기존의 웨이브렛 변환은 90도씩 분리해서 2번의 필터 처리하지만 제안된 3방향 분리처리 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환에서는 quincunx 표본화의 동작이 영상을 45도씩 회전하면서 표본을 수행하는 것에 착안하여 45도씩 분리해서 3번의 필터 처리를 수행하게 하였다. 그 결과 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 방향 선택성을 증가시킬 수 있었다. 따라서 제안된 방법은 이동 불변성과 많은 방향성의 특성들은 잡음 제거, 텍스쳐 분할^[1] 등에서 효율적으로 사용될 수 있다.

본 논문의 구성으로 2장에서는 과표본화 이산 웨이브렛 변환의 개념을 이해할 수 있는 기본적인 설계와 구조를 제시하였다. 3장에서는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 개념을 이해할 수 있는 기본적인 설계와 구조를 제시하고 제안된 방법으로 3단계의 분리 처리를 수행하는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환 기술을 설명하였다. 그리고 4장에서는 제안된 방법에 대한 성능을 평가하기 위한 실험과 잡음제거의 결과를 제시하였다. 마지막으로 5장에서는 본 연구에 대한 결론을 제시하였다.

Ⅱ. 과표본화 이산 웨이브렛 변환

1. 과표본화 이산 웨이브렛 변환의 개념

일반적인 이산 웨이브렛 변환에서는 다해상도 분해로 생성되는 부대역 신호들의 데이터 크기의 총합은 입력된 이산 신호의 데이터 크기와 동일하다. 그래서 이것을 정밀하게 표본화되는 이산 웨이브렛 변환(critically sampling discrete wavelet transformation : CDWT)^[2]이라고 한다. 반면 다해상도 분해로부터 생성된 부대역 신호들의 데이터 총합의 크기가 입력 데이터의 크기보다 더 큰 경우, 이 변환을 과표본된 이산 웨이브렛 변환^[2](over-sampled wavelet transformation)이라고 한다. 그림 1은 이상적인 시간-주파수 평면을 나타낸 것이다. 상단의 첫 번째 그림은 CDWT를 나타낸 것으로 인접 표본들과의 거리는 스케일(scale)이 증가할수록 2만큼씩 증가하는 것을 볼 수 있다. 압축 표본화를 수행하지 않는 이산 웨이브렛 변환(undecimated discrete wavelet transformatuion : UDWT)은 제일 하단에서 확인할 수 있다. 이 경우에는 스케일에 관계없이 표본들 간의 거리는 일정하다. 반면, 이중 밀도 웨이브렛 변환은 중간 그림에 해당된다. 각 스케일에서 이중 밀도 웨이브렛 변환의 표본들은 정밀하게 표본화하는 이산 웨이브렛 변환의 표본보다 두 배 많다. 이것들 중에서 UDWT는 이동 불변의 성질을 가장 잘 만족한다. 그러나 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 근사적으로 이동 불변의 성질을 만족한다. 결과적으로, 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 UDWT보다 표본의 수는 적지만 CDWT보다는 두 배 많다. 그리고 이동성질의 민감도에 있어 이중 밀도 웨이브렛 변환은 CDWT보다 덜 민감하지만 UDWT만큼 완벽하지 않다.

그림 1. 이상적인 시간-주파수 평면도

Fig. 1. Diagram of Ideal time-frequency plane

2. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 개념

이중 밀도(double density) 이산 웨이브렛 변환^[1]은 정밀하게 표본화(critically sampling)되는 이산 웨이브렛 변환에 중요한 특징을 추가하여 그 성능을 개선한 것이 다. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 첫 번째 특징은 하나의 스케일링(scaling) 함수와 두 개의 웨이브렛 함수가 존재한다. 즉, 3개 채널로 분해가 되며 두 웨이브렛 함수는 주파수 대역을 절반식 분할하도록 설계되었다. 따라서 입력 데이터보다 더 많은 양의 부대역 데이터들을 생성하면서도 완전재생을 만족한다. 그리고 두 번째 특징으로, 근사적으로 이동 불변의 특징을 만족하도록 설계되었다. 따라서 영상처리를 위한 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 기존의 2차원 이산 웨이브렛 변환보다 우수한 성능을 갖는다. 그러나 이중 트리 웨이브렛 변환과 비교해서 볼 때 방향성분의 선택성이 부족하다. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환을 위한 이상적인 필터 뱅크는 그림 2와 같다. 이것은 CDWT 실행에서 사용되는 필터 뱅크와 유사하지만 고대역 통과 채널에서 업 샘플링(up-sampling) 과정과 다운 샘플링(down-sampling) 과정은 제거되었다. 이 구조의 부대역 신호 c(n)과 d(n)의 총 데이터양은 입력 데이터양의 3/2이 되어 초과되기 때문에 과표본 필터뱅크(filter bank)라고 한다. 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환은 이 필터 뱅크가 매번 생성되는 저대역 신호 c(n)에 반복적으로 적용되어 실행된다. 따라서 데이터의 양은 7/4, 15/8··· 의 과표본이 반복적으로 진행되어 2배에 근접하기 때문에 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환이라고 한다. 그런데 이 구조에서 사용되는 필터 h₀(n)과 h₁(n)은 완전재생 조건 y(n)=x(n)을 만족하도록 설계되어야 한다. 그러나 불행하게도 그림 2의 필터 뱅크 구조에서 완전재생 조건의 특성을 만족하는 유한 길이의 필터 h₁(n)은 존재하지 않는다.

그림 2. 이상적인 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 필터뱅크

Fig. 2. Filter Bank of ideal dual density discrete wavelet transform

Ⅲ. Quincunx 표본 기반의 과표본화 이산 웨이브렛 변환

1. Quincunx 표준 기반의 이중 트리 이산 웨이브렛 변환

Quincunx 표본화^[3]을 채택한 2차원 이산 웨이브렛 변환은 풍부한 방향 선택성을 얻을 수 있었지만 이동 불변성을 만족하지는 못한다. 그래서 비분리 처리의 효과와 이동 불변의 특징을 동시에 얻기 위해서는 2차원 이중 트리 이산 웨이브렛 변환에 quincunx 표본화를 적용하는 것을 제안하였다. 그림 3은 quincunx 표본화를 채택한 2차원 이중 트리 이산 웨이브렛 변환을 나타낸 것이다. D의 표시가 Quincunx 표본화를 나타낸 것이다. 여기서, D는 식(1)의 45도 회전 행렬을 나타낸다. 그리고 우측 하단은 사용된 필터와 Quincunx 표본화를 통해서도 완전 재생을 만족하는 것을 나타내었다.

그림 3. Quincunx 표본화를 채택한 이중 트리 이산 웨이브렛 변환

Fig. 3. Dual tree discrete wavelet transform using quincunx sampling

\(D=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\)       (1)

본 논문에서 제안한 Quincunx 표본화를 채택한 2차원 이중 트리 이산 웨이브렛 변환은 비분리 처리 방법^[5]으로 수행되고 각각의 트리에서 표본화 과정 동안 영상의 회전으로 다양한 방향성을 갖게 된다. 결과적으로 제안된 방법은 이중 트리 이산 웨이브렛 고유만의 특징인 이동 불변성을 만족하고 더 많은 방향성분을 갖는 부대역 영상을 생성할 수 있다. 그리고 비분리 영상처리로 인해서 분리 영상처리에서 발생할 있는 웨이브렛 변환의 비효율적인 부분을 극복할 수 있다.

2. Quincunx 표준 기반의 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환

2차원 이중 트리 이산 웨이브렛 변환은 두 개의 트리로 동작하므로 처리 과정이 복잡하다. 그래서 간단하면서도 이동 불변의 특징과 풍부한 방향 선택성을 동시에 얻을 있는 방법으로 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환에 quincunx 표본화를 적용하는 것을 제안하였다. 그림 4는 quincunx 표본화를 채택한 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환을 나타낸 것이다. 3개 채널의 표본화는 D 표시의 quincunx 표본화를 수행한다. 이 변환은 3개의 채널에서 표본화 과정동안 영상의 회전으로 다양한 방향성을 갖게 된다. 결과적으로 제안된 방법은 이중 밀도 이산 웨이브렛 고유만의 특징인 이동 불변성을 만족하고 더 많은 방향성분을 갖는 부대역 영상을 생성할 수 있다. 그리고 분리 영상처리에서 발생할 있는 웨이브렛 변환의 비효율적인 부분을 극복할 수 있다.

그림 4. Quincunx 표본화를 채택한 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환

Fig. 4. Dual density discrete wavelet transform using quincunx sampling

3. 제안한 3방향 분리 처리 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환

본 논문에서는 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환의 방향 성분을 증가시키기 위한 방법을 제안하였다. 기존 분리 영상 처리 기법에서는 수평과 수직 방향 처리만을 수행하지만 제안된 방법에서는 수평 방향과 수직 방향 이외에 대각 방향을 추가해서 처리하도록 하였다. 즉, 3개 방향의 분리 처리가 가능하다는 것이다. 분리 처리 방법에서는 수평 방향을 처리하고 디지털 영상을 간단히 전치(transpose)시키고 수직 방향을 처리한다. 그러나 대각 방향을 처리하기 위해서는 특별한 방법이 필요하게 된다. 영상의 분리 처리 과정에서 대각 방향을 추가하기 위해서는 웨이브렛의 표본화 과정을 영상을 45도씩 회전시키는 quincunx 표본화로 수행하면 구현될 수 있다. Quincunx 표본화를 수행하는 quincunx 표본화 행렬 D는 식(1)으로 표현된다. 물론, 이 경우 기존의 2차원 분리 이산 웨이브렛 변환과 마찬가지로 주파수 대역 분할 특성과 완전 재생^[7]의 특징은 그대로 유지되어야 한다.

그림 5는 quincunx 표본화를 적용한 2차원 분리 처리 이산 웨이브렛 변환을 나타낸 것이다. 첫 단계에서 수평 방향으로 필터링이 진행되고, 첫 번째 표본화를 통해서 영상은 시계 방향으로 45도 회전을 통해서 그 크기가 감소된다. 두 번째 단계에서는 45도 회전된 영상을 처리하므로, 추가된 대각 방향으로 필터링이 수행된다. 그리고 두 번째 표본화를 통해서 90도 회전을 하게 된다. 세 번째 단계에서는 90도 회전된 영상을 처리하므로 수직 방향의 필터링이 수행되고 세 번째 표본화는 영상을 135도 회전시킨다. 결과적으로 수평, 대각, 수직의 3방향의 분리처리가 진행된다.

그림 5. Quincunx 표본화를 채택한 3방향 분리 웨이브렛 변환

Fig. 5. 3 directional separable wavelet transform using quincunx sampling

첫 번째 단계에서는 각 3개의 대역에서 수평방향으로 필터링과 표본화가 수행된다. 그리고 두 번째 단계에서는 45도 대각 방향으로 필터링되고 표본화가 수행된다.

마지막으로 세 번째 단계에서는 수직방향으로 필터링되고 표본화가 된다. 제안된 방법에서는 얻어지는 부대역 영상들이 27개가 생성되어서 이에 따른 방향의 선택도가 폭 넓어지게 된다. 결과적으로 이동 불변성의 특징은 물론이고, 세 개의 FIR 필터를 가지고 간단하면서 고속으로 처리가 가능하지만 많은 방향성을 생성할 수 있는 변환이 된다.

Ⅳ. 실험 및 결과

1. 과표본화 이산 웨이브렛 변환 성능실험

본 논문에서 제안된 방법의 성능을 테스트하기 위해서 8비트 256 단계의 회색조(gray)영상을 사용하였다. 그리고 실험 영상의 크기는 512 × 512를 선택적으로 사용하였다. 실험 성능을 정량적으로 평가하기 위해 식(2)으로 정의되는 첨두 신호대 잡음비(Peak Signal to Noise Ratio)를 사용하였다.

\(P S N R=10 \log _{10}\left(\frac{255^{2}}{M S E}\right)\)       (2)

MSE(Mean Square Error)는 평균제곱 오차이다.

그림 6은 20배의 균일 랜덤 잡음이 첨가된 512 × 512 Barbara 영상을 나타낸다.

그림 6. 잡음이 첨가된 실험 영상

Fig. 6. Test image adding with noise

2. 잡은 제거 실험

과표본화 이산 웨이브렛 변환이 가장 대표적으로 응용되는 분야는 디지털 영상에 존재하는 잡음을 제거하는 기술이다. 본 논문에서는 잡음이 포함된 디지털 영상에 여러 이산 웨이브렛 변환들의 수행하고 생성된 부대역에 임계값 처리 기법을 적용하여 잡음을 제거한 다음 복원한 영상의 성능을 평가하는 실험을 수행하였다.

이 방법에서 임계값이 작으면, 적은 양의 부대역 계수들만이 잡음으로 판단되어 제거되므로 결과는 만족스럽지 못하다. 그렇지만 반대로 임계값이 너무 크면, 많은 부대역 계수들이 잡음으로 판단되어 0으로 대체하게 되어서 이 또한 결과가 만족스럽지 못할 것이다. 따라서 임계값은 적절하게 선택이 되어야 효과적인 잡음 제거가 가능하다. 부대역 영상이 많을수록 방향성분이 많이 존재해서 잡음 제거 성능이 유리하게 된다. 따라서 실험의 객관성을 유지하기 위해서, 웨이브렛 변환들은 제안된 방법의 부대역 영상의 수와 비슷하거나 더 많게 생성되도록 단계를 선정하였다.

그림 7은 실험 영상에 대한 잡음 제거 실험 결과를 나타낸 것이다. 임계값을 0부터 70까지 변경하면서 이에 따라 잡음이 제거된 영상의 PSNR를 그래프로 나타내었다. 첨가된 잡음은 평균 2배의 가우시안 균일 랜덤 잡음을 사용하였다. 그림 7은 Barbara에 대한 각각의 기법을 사용한 결과를 나타낸 것이다. 모든 실험 결과에서 제안된 3 방향 분리처리 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환 방법이 우수한 것을 확인할 수 있다.

그림 7 Barbara 잡음 영상에 대한 잡음 제거 결과

Fig. 7. Noise removal result of noisy Barbara image

그림 8에서는 임계값은 13으로 설정되었고, 잡음이 제거된 영상의 PSNR을 비교하면 DWT는 19.66 dB이고 DTDWT는 21.08 dB이다. 그리고 DDDWT는 20.85 dB 이고 제안된 3방향 분리처리 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환방법은 21.23 dB이다. 마찬가지로 제안된 방법이 수치적으로 가장 우수하다.

그림 8. 잡음이 제거된 Barbara 영상들

Fig. 8. Barbara images with noise removal

Ⅴ. 결론

이중 밀도 이산 웨이브렛 변환을 이중 트리 이산 웨이브렛 변환과 비교하면, 거의 유사한 특징을 가진다. 그러나 2차원 변환에서는 이중 트리 이산 웨이브렛 보다 방향성이 부족하여 효과적인 영상처리의 단점이 된다. 그래서 제안하는 3방향 분리처리 2차원 이중 밀도 이산 웨이브렛 변환 방법이 완전재생을 만족하고 다른 웨이브렛 변환보다 성능이 우수하다는 것을 확인할 수 있었다. 그리고, 과표본화 이산 웨이브렛 변환의 가장 대표적인 응용되는 분야인 잡음제거 실험에서 여러 다른 웨이브렛 변환보다 잡음제거 성능이 우수하다는 것을 확인할 수 있었다.