Abstract
In a graph G=(V, E) with n vertices, there is an unique box which is finally laid on each vertex. Thus each vertex and box is both numbered from 1 to n and the box i should be laid on the vertex i. But, the box ${\pi}$(i) is initially located on the vertex i according to a permutation ${\pi}$. In each step, the robot can walk along an edge of G and can carry at most one box at a time. Also when arriving at a vertex, the robot can swap the box placed there with the box it is carrying. The problem is to minimize the total step so that every vertex has its own box, that is, the shuffled boxes are sorted. In this paper, we shall find an upper bound of the minimum number of steps and show that the movement of the robot is found in $O(n^2)$ time when G is a cycle.
n개의 정점들을 가지는 그래프 G=(V, E)에서 각 정점에는 마지막에 놓여야 하는 고유한 상자가 존재한다. 따라서 각 정점과 상자를 1부터 n까지의 정수로 나타내고 정점 i에 놓여야 하는 상자는 상자 i로 나타낸다. 하지만 초기에 상자들은 순열(permutation) ${\pi}$에 따라서 정점 i에 상자 ${\pi}$(i)가 놓여있다. 각 단계에서 로봇은 G의 한 에지 상을 움직일 수 있고, 어떤 순간에 많아야 하나의 상자를 운반할 수 있다. 또한 정점에 도착하면 운반 중인 상자와 정점에 놓여 있는 상자를 교환할 수 있다. 문제는 모든 정점이 자신의 상자를 받을 수 있도록, 다시 말해서, ${\pi}$에 의해 섞여진 상자를 정렬하는, 로봇의 움직임의 최소 단계 수를 찾는 것이다. 본 논문에서는 그래프 G가 사이클(cycle)인 경우에 최소 단계수의 상한 값을 찾고 이 단계 안에 정렬을 수행하는 로봇의 움직임을 $O(n^2)$ 시간에 찾는 수 있음을 보일 것이다.