The Mathematical Education (한국수학교육학회지시리즈A:수학교육)

Korean Society of Mathematical Education (한국수학교육학회)
권호 표지
DOI QR코드

DOI QR Code

Analysis of the Tasks to Find Intersection Points of a Function and Its Inverse Function

역함수와의 교점을 구하는 과제에 대한 분석

  • Received : 2016.04.08
  • Accepted : 2016.07.25
  • Published : 2016.08.31
Download PDF
⟨ Previous Next ⟩

Abstract

The purpose of this study is to analyze tasks to find intersection points of a function and its inverse function. To do this, we produced a task and 64 people solved the task. As a result, most people had a cognitive conflict related to inverse function. Because of over-generalization, most people regarded intersection points of a function and y=x as intersection points of a function and its inverse. To find why they used the method to find intersection points, we investigated 10 mathematics textbooks. As a result, 23 tasks were related a linear function, quadratic function, or irrational function. 21 tasks were solved by using an equation f(x)=x. 3 textbooks presented that a set of intersection points of a function and its inverse was not equal to a set of intersection points of a function and y=x. And there was no textbook to present that a set of intersection points of a function and its inverse was equal to a set of intersection points of $y=(f{\circ}f)(x)$ and y=x.

Keywords

References

  1. 교육과학기술부 (2011). 수학과 교육과정.(M.O.E. (2011). Mathematics curriculum.)
  2. 교육부 (2015). 수학과 교육과정.(M.O.E. (2015). Mathematics curriculum.)
  3. 교육인적자원부 (2007). 수학과 교육과정.(M.O.E.(2007). Mathematics curriculum.)
  4. 권지현, 김구연 (2013). 중학교 수학교과서에 제시된 기하영역의 수학 과제 분석. 수학교육 52(1), 111-128.(Kwon, J.H. & Kim, G. (2013) An analysis of mathematical tasks in the middle school geometry. The Mathematical Education 52(1), 111-128.)
  5. 김남희, 나귀수, 박경미, 이경화, 정영옥, 홍진곤(2006). 수학교육과정과 교재연구. 경문사.(Kim, N.H., Na, G.S., Park, K., Lee, K.H., Chong, Y.O., & Hong, J.K. (2011). Mathematics curriculum and textbook research, Seoul: Kyungmoonsa.)
  6. 김동중, 배성철, 김원, 이다희, 최상호 (2015). 중학교 2학년 수학 교과서의 수학 과제 분석 -스토리텔링 유형을 고려하여 -. 수학교육논문집 29(3), 281-300.(Kim, D.J., Bae, S.C., Kim, W., Lee, D.H., & Choi, S.H. (2015). Analysis of mathematical tasks provibed by storytelling mathematics textbooks. Communications of mathematical education 29(3), 281-300.)
  7. 김미희, 김구연 (2013). 고등학교 교과서의 수학과제 분석. 학교수학 15(1), 37-59.(Kim, M. & Kim, G. (2013). The Analysis of mathematical tasks in the high school mathematics. School Mathematics 15(1), 37-59.)
  8. 김민혁 (2013). 수학교사의 교과서 및 교사용 지도서 활용도 조사. 학교수학 15(3), 503-531.(Kim, M. (2013). Secondary mathematics teachers' use of mathematics textbooks and teachers' guide. School Mathematics 15(3), 503-531.)
  9. 김부윤, 정영우 (2010). 함수의 합성 ${\circ}$이 가지는 의미에 대한 고찰. 수학교육 49(2), 149-160.(Kim, B.Y. & Chung. Y.W. (2010). A study on meaning of composition ${\circ}$ of functions. The Mathematical Education 49(2), 149-160.)
  10. 김성희, 방정숙 (2005). 수학 교수.학습 과정에서 과제의 인지적 수준 분석 : 초등학교 '비와 비율' 단원을 중심으로. 수학교육학연구 15(3), 251-272.(Kim, S.H. & Pang, J.S. (2005). An analysis of cognitive demands of tasks in elementary mathematical instruction : Focusing on 'Ratio and Proportion'. The journal of educational research in mathematics 15(3), 251-272.)
  11. 김원경 외 (2014a). 수학 II. 서울: (주) 비상교육.(Kim, W.K. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Visang education.)
  12. 김원경 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 비상교육.(Kim, W.K. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Visang education.)
  13. 김창동 외 (2014a). 수학 II. 서울: (주) 교학사.(Kim, C.D. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Kyohaksa.)
  14. 김창동 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 교학사.(Kim, C.D. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Kyohaksa.)
  15. 김효정 (2008). 엑셀을 이용한 합성함수와 역함수 개념 이해에 관한 사례연구 -APOS 이론을 중심으로-. 석사학위논문, 한국교원대학교.(Kim, H.J. (2008). A case study on the understaning of the composition function and inverse function using Excel - A focus on APOS theory -. Master's thesis, Korea National University of Education.)
  16. 류희찬 외 (2014). 수학 II. 서울: (주) 천재교과서.(Lew H.-C. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Cheonjae.)
  17. 류희찬 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 천재교과서.(Lew H.-C.. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Cheonjae.)
  18. 문종은, 박미영, 주미경, 정수용 (2015). 중학교 1학년 수학교과서의 실세계 기반 과제 분석. 학교수학 17(3), 493-513.(Moon, J.-E., Park, M.-Y., Ju M.-K., & Jeong, S.(2015) Korean mathematics textbook analysis - Focusing on context of Youngbokhap and on ways of integration -. School Mathematics 17(3), 493-513.)
  19. 박순철 (1996). 제6차 교육과정에 의한 역함수 지도의 문제점과 대안. 교육연구 18, 61-82.(Park, S.-C. (1996). Problems and alternatives in teaching inverse functions in the six curriculum. Educational research 18, 61-82.)
  20. 박정선 (2005). 함수와 역함수 개념 이해의 수학교육적 고찰. 석사학위논문, 서울대학교 .(Park, J.-S. (2005). Pedagogical examination of the understanding of the concepts of functions and inverse functions. Master's Thesis, Seoul National University.)
  21. 방정숙 (2007). 수학 과제 분석을 통한 예비 초등 교사의 전문성 신장. 수학교육 46(4), 465-482.(Pang, J. (2007). Professional development of prospective elementary school teachers by the analysis of mathematical tasks. The Mathematical Education 46(4), 465-482.)
  22. 신옥숙 (2009). 고등학교 1학년에 대한 역함수 이해와 오류에 관한 실태조사. 석사학위논문, 한국교원대학교.(Shin, O.S. (2009). A study on the current situations of first-year high school students' understanding and errors of inverse function. Master's thesis, Korea National University of Education.)
  23. 신항균 외 (2014a). 수학 II. 서울: (주) 지학사.(Shin H.G. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Jihaksa.)
  24. 신항균 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 지학사.(Shin H.G. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Jihaksa.)
  25. 심태연 (2002). 수학 10-나 함수 지도에서의 mathematica 활용 방안 연구. 석사학위논문, 연세대학교.(Sim, T.-Y. (2002). The study of mathematica in teaching function in the textbook of "Mathematics 10-Na". Master's thesis, Yonsei University.)
  26. 우정호 (1998). 학교수학의 교육적 기초. 서울대학교 출판부.(Woo, J.H. (1998). The educational base of school mathematics. Seoul: SNU Publishing.)
  27. 우정호 (2000). 수학 학습-지도 원리와 방법. 서울대학교 출판부.(Woo, J.H. (2000). Mathematics instructional principles and methods. Seoul: SNU Publishing.)
  28. 우정호 외 (2014a). 수학 II. 서울: (주) 두산동아.(Woo, J.H. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Doosandonga.)
  29. 우정호 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 두산동아.(Woo, J.H. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Doosandonga.)
  30. 이강섭 외 (2014a). 수학 II. 서울: (주) 미래엔.(Lee, G.S. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Mirae-N.)
  31. 이강섭 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 미래엔.(Lee, G.s. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Mirae-N.)
  32. 이주연 (2000). 교과서에 대한 교사의 인식과 활용 실태 분석. 석사학위논문, 이화여자대학교.(Lee, J.Y. (2000). An analysis of teacher's cognition on textbook and its practical use. Master's thesis. Ewha Womans University.)
  33. 이준열 외 (2014). 수학 II. 서울: (주) 천재교육.(Lee J.Y. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Cheonjae.)
  34. 이준열 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 천재교육.(Lee J.Y.. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Cheonjae.)
  35. 정상권 외 (2014). 수학 II. 서울: (주) 금성출판사.(Jeong, S.G. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Kumseong.)
  36. 정상권 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 금성출판사.(Jeong, S.G.. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Kumseong.)
  37. 조도연 외 (2014). 수학 II. 서울: (주) 천재교육.(Jo, D.Y. et al. (2014a). Mathematics II. Seoul: Cheonjae.)
  38. 조도연 외 (2014b). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 천재교육.(Jo, D.Y.. et al. (2014b). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Cheonjae.)
  39. 진재관, 서지영, 김국현, 이난영 (2007). 교과용 도서 평가 연구(I) - 질 관리 체제 구축을 중심으로 -. 한국교육과정평가원. 연구보고서 RRC 2007-5.(Chin, J.-G., Seo, J., Kim, K. H., & Lee, N. (2007). The research on textbook evaluation(1) -Establishing a system for textbook quality management-. Korea Institute of Curriculum and Evaluation. RRC 2007-5.)
  40. 최규원 (2002). Computer Algebra System을 활용한 함수 단원 학습의 수학화 과정. 이화여자대학교 석사학위논문.(Choi, K.-W. (2002). Students' mathematising in the learning function using a CAS. Master's thesis, Ewha Womans University.)
  41. 한국교육방송공사 (2016a). [2017수능개념] 정유빈의 쏙딱쏙딱 수학II - 12강 역함수.(EBS(2016a). [2017sununggaenyeom] Jeong Yubin's ssokddakssokddak mathematics II - Ch. 12. Inverse function.)
  42. 한국교육방송공사 (2016b). [2017수능개념] 김창재의 지피지기 미적분II - 06강 지수함수와 로그함수 (6).(EBS(2016b). [2017sununggaenyeom] Kim Changjae's jipijigi calculus II - Ch. 6. Exponential function and logarithmic function.)
  43. 허강, 곽상만, 이종국, 조성준 (2004). 한국교과서의 현상 분석 및 개선 방안 연구. 한국교과서연구재단. 연구보고서 '04-05.(Heo, K., Kwak, S.M., Lee, J.G. & Jo, S.J. (2004). A study on the current status of the Korean textbooks and its improvement strategies. Korea Textbook Research Foundation.' 04-05.)
  44. 홍선미(2011). 고등학생의 역함수에 대한 이해도 분석. 영남대학교 석사학위논문.(Hong, S.-M. (2011). An analysis of level of understanding of high school students on inverse function. Master's thesis. Yeungnam University.)
  45. 홍창준, 김구연 (2012). 중학교 함수 단원의 수학 과제 분석. 학교수학 14(2), 213-232.(Hong, C.-J. & Kim, G. (2012). Functions in the middle school mathematics : The cognitive demand of the mathematical tasks. School Mathematics 14(2), 213-232.)
  46. 황선욱 외 (2014a). 미적분 2. 서울: (주) 좋은책신사고.(Hwang, S.W. et al. (2014a). Calculus 2. Seoul: Sinsago.)
  47. 황선욱 외 (2014b). 수학 II. 서울: (주) 좋은책신사고.(Hwang, S.W. et al. (2014b). Mathematics II. Seoul: Sinsago.)
  48. 황선욱 외 (2014c). 수학 II 교사용 지도서. 서울: (주) 좋은책신사고.(Hwang, S.W. et al. (2014c). Mathematics II teacher's guide. Seoul: Sinsago.)
  49. 황혜정, 박현파 (2013). MiC 교과서의 수학적 과제의 인지적 요구 정도 분석 -함수 내용을 중심으로-. 수학교육논문집 27(4), 449-472.(Hwang, H.J. & Park, H.P. (2013). Exploration on mathematical tasks on function context in MiC 3 level textbook. Communications of mathematical education 27(4), 449-472.)
  50. Boas, R. P. (1985). Inverse Functions. The College Mathematics Journal 16(1), 42-47. https://doi.org/10.2307/2686627
  51. Bayazit, I. & Gray, E. (2004). Understanding inverse functions : The relationship between teaching practice and student learning. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, 103-110.
  52. Even, R. (1990). The two faces of the inverse function : Prospective teachers' use of "Undoing". Proceedings of the 14th Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1, 37-44.
  53. Even, R. (1992). The inverse function : Prospective teachers' use of "undoing". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 23(4), 557-562. https://doi.org/10.1080/0020739X.1992.10715689
  54. Kimani, P. M. & Masingila, J. O. (2006). Calculus students' perceptions of the relationship among the concepts of function transformation, function composition and function inverse. Proceedings of the Twenty Eighth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, 68-70.
  55. Lucas, C. A. (2005). Composition of functions and inverse function of a function : Main ideas, as perceived by teachers and preservice teachers. Doctoral dissertation, Simon Fraser University.
  56. Schmidt, W. H., McKnight, C. C., & Raizen. S. A. (2002). A splintered vision: An investigation of U.S. science and mathematics education. New York: Kluwer.
  57. Snapper, E. (1990). Inverse functions and their derivatives. The American Mathematical Monthly 97(2), 144-147. https://doi.org/10.1080/00029890.1990.11995566
  58. Van Dyke, F. (1996). The inverse of a function. The Mathematics Teacher 89(2), 121-126, 132-133.