Abstract
Binomial trees are used to price barrier options. Since barrier options are path dependent, option values of each node are calculated from binomial trees using backward induction. We use generalized Catalan numbers to determine the number of cases not reaching a barrier. We will generalize Catalan numbers by imposing upper and lower bounds. Reaching a barrier in binomial trees is determined by the difference between the number of up states and down states. If we count the cases that the differences between the up states and down states remain in a specific range, the probability of not reaching a barrier is obtained at a final node of the tree. With probabilities and option values at the final nodes of the tree, option prices are computable by discounting the expected option value at expiry. Without calculating option values in the middle nodes of binomial trees, option prices are computable only with final option values. We can obtain a probability distribution of exercising an option at expiry. Generalized Catalan numbers are expected to be applicable in many other areas.
본 논문에서는 배리어 옵션의 가격 산정을 위해 이항분포모형을 사용한다. 경로의존형 옵션인 배리어 옵션의 가격산정을 위해서는 이항트리의 말단에서 역방향으로 진행하면서 개별 노드들의 옵션 가치를 계산하여 옵션 가격을 산정하게 된다. 이항트리의 말단에서는 배리어 도달 여부를 판단하기 어려운데, 카탈란 수를 일반화하여 배리어에 도달하지 않은 경우의 수를 구하고자 한다. 일정한 범위에서 움직이는 경로의 수를 파악하기 위해 카탈란 수에 상한과 하한을 부여하는 방식으로 일반화한다. 이항분포모형에서 배리어 도달 여부는 가격 상승과 가격 하락 횟수의 차이가 일정한 범위에 있는지를 판단하여 결정한다. 상한과 하한을 부여한 일반화된 카탈란 수를 활용하여 가격 상승과 가격 하락 횟수의 차이가 일정한 범위에 있는 경우의 수를 구할 수 있으면, 이항트리 말단에서 배리어에 도달하지 않았을 확률을 계산할 수 있다. 이항트리 말단에서의 옵션 가치와 배리어에 도달하지 않았을 확률을 이용하여 만기의 옵션 기대값을 계산하고 이를 현재 시점으로 할인하여 배리어 옵션 가격을 구하게 된다. 이항분포모형을 이용한 기존의 방법은 중간 단계의 옵션 가치를 모두 계산해야 하지만, 일반화된 카탈란 수를 적용한 방법은 이항트리 말단에서의 옵션 가치만으로도 옵션 가격 산정이 가능하고 만기시점의 옵션행사 확률에 대한 분포를 얻을 수 있다. 상한과 하한을 부여하여 일반화된 카탈란 수는 배리어 옵션 가격 산정뿐만 아니라 다양한 분야에 활용할 수 있을 것으로 기대된다.
