탄성지지된 기계류에 의해 가진되는 잠수된 보강 원통형 셸의 음향방사

Acoustic Radiation from a Submerged Stiffened Cylindrical Shell Excited by Resiliently Mounted Machinery

Abstract

This paper investigates the underwater acoustic radiation from a periodically stiffened cylindrical shell excited resiliently mounted machinery. Underwater acoustic radiation is important to a submarine. Generally, submarine structure can be modeled as stiffened cylindrical shell immersed in water. Analytical model is derived for the far-field acoustic radiation from machinery installed inside cylindrical shell. The analytical model includes the effect of fluid loading and interactions between periodic ring stiffeners. Transmitted force from machine to a shell through isolator can be different by the impedance of shell. In this paper the effect of a shell impedance for acoustic radiation is investigated. Impedance of a shell should be considered if thickness of a shell is thin.

1. 서 론

보강 원통형 셸은 잠수함이나 어뢰 같은 수중 운동체, 항공기 등 많은 구조물에서 사용된다. 이중에서 잠수함의 경우 수중에서의 음향방사는 탑재된 기계류, 압력선체의 임피던스 등에 의하여 크게 영향을 받는다. 잠수함은 보강 원통형 셸로 모델링 할 수 있으며 그 주위가 물로 되어 있어 물의 영향 또한 고려하여야 한다. 원통형 셸의 진동 및 음향방사는 Junger(1) 이래로 계속 연구되어져 왔다. Feit(2)는 점 가진(point excited)된 원통형 셸에 대하여 고주파수 영역에서 진동해석을 하였으나 주위 유체로 인하여 발생되는 영향은 고려하지 않았다.

Burroughs(3)는 두 종류의 링 보강재(ring stiffener)를 가진 무한 원통형 셸에 대하여 길이 방향 및 원주방향 Fourier 변환을 사용하여 음향 방사를 계산하였다.

El-Raheb과 Wager(4)는 내부 구조물을 가진 원통형 셸의 음향방사를 전달행렬을 이용하여 해석하였다. 전달행렬에 의한 셸의 진동해석은 셸의 고유치를 이용한다는 점에서 장점이 있다.

Harari와 Sandman(5)은 유체 속에 잠긴 유한한 보강 원통형 셸의 음향방사 및 진동 특성에 관하여 연구하였다.

배 등(6)은 Burroughs(3)의 방법을 이용하여 Donnell-Mushtari 셸 방정식을 적용한 잠수체의 수중 음향방사를 연구하였으며, 추가적으로 FFT 기법을 도입하여 셸의 진동을 해석하였다.

국내에서는 Lee(7)가 다양한 경계조건을 가진 유한 길이 후판 실린더의 고유진동에 의한 음향방사에 관한 연구를 하였다.

잠수된 보강 원통형 셸 내부에 힘이 직접적으로 작용하는 모델의 음향 방사에 대해서는 여러 저자들에 의하여 연구되었으나 보강 원통형 셸에 기계류가 탄성지지 된 경우에 대한 연구는 수행되지 않았다.

보강 원통형 셸 내부에 기계류가 탄성지지된 구조물은 다양한 분야에서 사용된다. 이 논문에서는 기계류가 보강 원통형 셸 내에 탄성지지 될 때 기계류의 가진에 의하여 발생하는 보강 원통형 셸의 수중 음향방사에 대한 연구를 수행하고 그 결과를 고찰하였다.

 

2. 이 론

2.1 무한 원통형 셸의 음향방사

무한 길이의 보강 원통형 셸에 Fig. 1과 같이 보강재가 거리 d의 간격으로 무한히 있다고 가정한다. 원통형 셸은 반지름 a, 두께 h, 밀도 ρ, Young 계수 E, Poisson 비 v 이고, a ≫ h 로 가정한다. 원통형 셸 주위로 물이 있으며 물은 밀도 ρo, 음속 c0이다. 보강 원통형 셸의 음향방사 유도과정에서 기본적인 가정은 참고문헌(3)과 이 논문이 동일하나 사용한 원통형 셸의 운동방정식은 서로 다르다.

Fig. 1Configuration of a cylindrical shell with periodic ribbed rings

(1) 무한 원통형 셸의 운동방정식

원통형 셸의 운동방정식에 대한 이론은 여러 가지가 있으나 이 연구에서는 Donnell-Mushtari 이론을 적용하였다. 보강 원통형 셸에 작용하는 힘은 외력, 주위 유체에 의하여 발생되는 힘, 보강재의 반력이 있다. Donnell-Mushtari 원통형 셸의 운동방정식 (8)에 시간 미분을 취하고 정리하면 다음과 같다.

여기서 u, v, w는 길이방향, 원주방향, 반경방향 변위이고, ·는 시간에 관한 미분을 나타낸다. fa 는 셸 에 작용하는 외력에 의한 반경방향 음압, pf 는 셸 외부 표면에 작용하는 음압, pr 은 보강재의 반력에 의해 원통형 셸에 작용하는 음압을 나타내고, kp = , Cl = , ω는 각주파수(rad/s) 로 정의된다.

Fourier 변환은 다음과 같이 정의되고

Fourier 역변환은 다음과 같이 정의된다.

식 (1)을 x방향에 대하여 Fourier 변환하면 다음과 같다.

여기서 α = ka, Ω = ωa/Cl, k는 x방향에 대한 구조물 파수(structural wave number) 이다. α는 주파수에 대한 무차원 수, Ω는 종파의 속도와 관련된 주파수에 대한 무차원 수이다.

식 (4)에서 속도와 압력을 길이방향 파수 k, 원주 방향 모드 n으로 Fourier 전개하면 식 (5)와 같다.

식 (5)를 식 (4)에 대입하면 반경방향 속도 의 항으로 정리할 수 있다.

는 셸의 임피던스이고 다음과 같이 주어진다.

(2) 외력

원통형 셸 내부에 외력이 (x0, ϕ0)에 작용하면, 그 외력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 F는 외력의 크기이고, δ는 Dirac 델타함수를 나타낸다. 식 (8)을 x방향에 대하여 Fourier 변환하면 다음과 같다.

Poisson의 합 공식은 다음과 같다.

식 (9)는 식 (10)을 이용하면 다음과 같이 된다.

식 (6)의 은 식 (11)로부터 아래와 같이 구할 수 있다.

(3) 유체 영향(fluid loading)

원통형 셸 주위의 유체는 유체의 연속방정식과 운동량 방정식으로부터 유도되는 Helmholtz 방정식을 만족시킨다. 유체에 대한 Helmholtz 방정식은 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 유체의 파수, c0는 유체의 음속을 나타내며, r는 원통좌표계에서 반경방향 좌표이다.

식 (13)을 x방향에 대하여 Fourier 변환하면 다음과 같다.

여기서 은 1종 Hankel 함수이다.

원통형 셸과 유체 사이의 수직방향 변위에 대한 연속성의 관계는 다음과 같다.

Fourier 변환된 음압은 다음과 같다.

식 (16)에서 는 원통형 셸의 n차 원주모드에 대한 유체 임피던스로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 1종 Hankel 함수의 미분을 나타낸다. 식 (16), 식 (17)로부터 식 (6)의 는 다음과 같이 된다.

(4) 보강재에 의한 반력

원통형 셸의 음향방사는 반경방향의 힘이 중요하다. 보강재의 반력에 의하여 원통형 셸에 작용하는 압력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 m은 정수, d는 보강재의 간격이고, 는 보강재에 의해 셸에 반경방향으로 작용하는 단위 길이당 압력이다.

보강재에 대하여 길이방향의 변위를 무시하고, 보강재의 폭이 작아 원주방향과 반경방향의 변위는 원주방향의 함수로만 표시 가능하므로 , , 로 놓을 수 있고 또 v = 0로 놓을 수 있다. 여기서 ′는 보강재에 대한 변수임을 나타낸다. Donnell-Mushtari의 원통형 셸의 운동방정식으로부터 위의 가정과 보강재의 반지름을 원통형 셸의 반지름과 같다고 가정하면 보강재의 운동방정식은 식 (1)로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 hr, br, ρr은 보강재의 높이, 폭, 밀도이고, 는 보강재의 종방향 파속(wave speed), 이다.

보강재의 변위를 원주방향모드의 중첩으로 식 (5)와 같이 나타내고 식 (20)에 대입하여 정리하면 보강재 반력은 보강재의 임피던스와 반경방향 속도로 다음과 같이 쓸 수 있다.

식 (21)에서 보강재의 임피던스 는 다음과 같이 주어진다.

여기서 Ar은 보강재의 단면적을 나타낸다.

식 (19), 식 (20)에서 속도와 압력을 원주방향 모드로 분리하여 정리하고 Fourier 변환하면 다음과 같이 구할 수 있다.

보강재와 원통형 셸이 접하고 있는 위치 x=md에서 보강재와 원통형 셸의 속도는 같으므로 관계식은 아래와 같다.

식 (24)와 식 (25)로부터 다음과 같은 관계식이 성립한다.

식 (26)은 Poisson 합 공식과 kd = 2π/d를 이용하면 다음과 같이 된다.

식 (23)과 식 (27)로부터 Fourier 변환된 보강재의 반력은 다음과 같이 구할 수 있다.

식 (6)의 은 다음과 같이 구할 수 있다.

(5) 원통형 셸의 음향 방사

원통형 셸의 음향 방사는 다음과 같이 구할 수 있다(8).

공간 좌표 상에서 음향방사를 해석하기 위하여 식 (30)의 Fourier 역변환을 구할 때 정위상(stationary phase) 방법과 원거리 음장조건을 이용하면 보강원통형 셸의 음향방사는 식 (31)과 같이 유도된다. 유도과정은 참고문헌(9)에 잘 나타나 있다.

2.2 탄성지지된 기계류에 의한 힘

Fig. 2와 같이 보강 원통형 셸 내부에 기계류가 스프링(탄성마운트)으로 탄성지지될 경우 원통형 셸과 기계류 사이에는 상호 작용이 일어난다. Fig. 2에서 F는 기계류에 의하여 발생하는 힘, m은 기계류의 질량, s는 기계류를 지지하는 마운트의 스프링 상수를 나타낸다.

Fig. 2Configuration of a cylindrical shell with periodic ribbed rings and resiliently mounted machinery

상호작용은 Fig. 3과 같이 모델링 할 수 있으며, ZF는 파운데이션(셸)의 임피던스, v는 속도, F는 힘을 나타낸다. 보강재가 셸에 비하여 강성이 상대적으로 크기 때문에 보강 원통형 셸(foundation)의 임피던스는 셸의 임피던스로 모델링할 수 있다.

Fig. 3Impedance model between machinery and foundation(shell)

Fig. 3에서 F2는 다음과 같이 나타 낼 수 있다.

여기서 Zs와 Zm는 마운트와 기계류의 임피던스로 아래와 같이 정의된다.

식 (32)에서 보면 만약 셸의 임피던스가 마운트의 임피던스보다 매우 크면 기계류와 셸의 상호작용을 고려하지 않아도 됨을 알 수 있다. Fig. 3에서 F2는 식 (1)에서 fa에 해당되고, F1은 Fig. 2에서 F와 같다.

 

3. 수치계산 및 고찰

수치계산에서 원통형 셸의 반경은 0.62 m, 두께는 0.01 m, Young계수는 2.1×1011 N/m2, 밀도는 7,800 kg/m3, 푸아송 비는 0.28, 손실계수는 0.04를 사용하였다. 보강재의 반경은 0.62 m, 두께는 0.03 m, 폭 은 0.02 m, Young계수와 밀도는 셸과 동일하다. 기계류의 질량은 10 kg, 기계류에 부착된 탄성마운트의 스프링 상수는 8,882,644 N/m, 손실계수는 0.05를 사용하였다. 원통형 셸 주위의 유체는 물이며 밀도는 1,000 kg/m3, 음속은 1,460 m/s이다.

수치계산에서 원통형 셸 또는 기계류에 작용하는 힘은 1 N으로 가정하였다. 원통형 셸의 음향방사 및 진동계산에서 원주방향 모드는 ∣n∣ ≦ 16 까지만 고려하였다. 원통형 셸의 음향방사는 1 m 거리의 음원수준으로 환산하여 dB(ref. 1 μPa)로 나타내었다.

원통형 셸의 감쇠는 손실계수(loss factor)를 이용하여 복소탄성계수 E* = E(1 + iƞ)로 나타낼 수 있다. 보강 원통형 셸에서의 감쇠의 영향을 알아보기 위하여 손실계수 ƞ = 9.994, ƞ = 0 두 경우에 대한 수치계산 결과가 Fig. 4에 있으며 이 수치모델의 경우 약 1,700 Hz 이상의 고주파수에서 감쇠의 영향이 나타남을 알 수 있다.

Fig. 4Acoustic radiation from the stiffened shell with different structural damping factors of ƞ=0.0 and ƞ=0.04, subjected to the unit force shown in Fig. 1

Fig. 5는 기계류가 보강 원통형 셸에 탄성지지 된 경우인 Fig. 2의 모델에 대하여 방사 음압을 해석한 결과이다. 그 결과를 보면 기계류의 수직방향 마운트 고유진동수인 150 Hz에서 음압이 크게 나타남을 알 수 있으며 셸의 임피던스의 영향을 받지 않았음을 알 수 있다. 즉 이 경우에서는 셸의 두께가 두꺼워 셸의 임피던스의 영향을 받지 않는 경우이다.

Fig. 5Effect of shell impedance on acoustic radiation from stiffened shell with the thickness of 10 mm subjected to the point force generated by a resiliently mounted machinery as shown in Fig. 2

Fig. 6은 Fig. 2의 모델에 대하여 셸의 두께를 10 mm에서 2 mm로 변경하여 방사 음압을 계산한 결과로 기계류와 셸의 임피던스에 의한 상호작용이 일어나 새로운 피크가 발생하였음을 알 수 있다.

Fig. 6Effect of shell impedance on acoustic radiation from stiffened shell with the thickness of 2mm subjected to the point force up to 3 kHz generated by a resiliently mounted machinery as shown in Fig. 2

이상의 수치계산 결과를 종합하면 보강 원통형 셸이 탄성지지된 기계류에 의하여 가진될 때 셸로부터 방사되는 음압수준은 기계류-탄성마운트의 1자유도계 수직방향 고유진동수 및 기계류와 셸의 상호작용이 발생하는 주파수에서 크게 발생하며, 기계류-탄성마운트의 수직방향 고유진동수 이상에서는 음압 수준이 탄성마운트의 효과에 의하여 상당히 감소하고 있음을 알 수 있다.

 

4. 결 론

이 논문에서는 접수된 무한한 보강 원통형 셸 내부에 기계류가 탄성지지된 경우 셸의 음향방사에 대하여 연구하였다. 셸의 두께가 두꺼워 셸의 임피던스가 클 때는 셸과 탄성지지된 기계류 사이에서 상호작용 거의 발생하지 않았으며 셸의 두께가 얇을 경우 셸의 임피던스가 작아 셸과 탄성지지된 기계류 사이의 상호작용으로 새로운 공진이 발생하여 그 주파수에서 음압이 크게 발생함을 확인 할 수 있었다. 따라서 보강 원통형 셸에 기계류가 탄성 마운트로 설치될 경우에는 원통형 셸의 두께가 얇으면 셸의 임피던스를 고려하여야 함을 알 수 있었다.