다면체의 쌍대 탐구 과정에서 초등수학영재들이 보여주는 시각화 방법 분석

Analyzing the Modes of Mathematically Gifted Students' Visualization on the Duality of Regular Polyhedrons

본 연구는 초등학교 6학년 영재학급 학생들이 정다면체 및 삼각다면체의 쌍대 관계를 탐구하면서 입체도형의 구성 요소를 통해 쌍대 관계를 어떻게 인식하고 이미지화하여, 결과적으로는 어떤 시각화 방법을 사용하는지 분석하는데 목적이 있다. 이를 위해 인천과 서울지역에 거주하는 총 4개 학급 60명의 학생들이 대상으로 학습지를 분석하였으며, 이들 중 소속 학급 내 성취 수준이 중상 이상인 12명의 학생들을 대상으로 관찰 및 면담을 통해 사고 과정을 보다 상세히 분석하였다. 다면체의 쌍대 관계를 탐구하는 과정에 필요한 구성요소에는 면, 꼭짓점, 모서리의 개수라는 일차적인 요소가 존재하고 한 면에 모인 꼭짓점의 수, 한 꼭짓점에 모인 면의 수라는 이차적인 요소가 존재한다. 일반적인 학생들은 구성 요소들의 개수에 집중하여 유사점 구별이라는 방법을 주로 사용하는데, 이 경우 정다면체의 쌍대관계는 쉽게 인식하였다. 하지만 삼각다면체의 쌍대관계까지 인식해 낸 학생들의 경우는 한 단계 더 나아가서 입체의 이미지를 떠올리며 유사점이 과연 공간에서 어떤 형태로 나타나는지를 확인해 본 결과 공간으로 전환되는 사고는 (대상 회전), (보조선 그리기), (입체도형 일부 만들기), (입체도형 안에 입체도형 만들기)의 형태로 나타나서 시각화하게 됨을 확인하였다.

The purpose of this study is to analyze the modes of visualization which appears in the process of thinking that mathematically gifted 6th grade students get to understand components of the three-dimensional shapes on the duality of regular polyhedrons, find the duality relation between the relations of such components, and further explore on whether such duality relation comes into existence in other regular polyhedrons. The results identified in this study are as follows: First, as components required for the process of exploring the duality relation of polyhedrons, there exist primary elements such as the number of faces, the number of vertexes, and the number of edges, and secondary elements such as the number of vertexes gathered at the same face and the number of faces gathered at the same vertex. Second, when exploring the duality relation of regular polyhedrons, mathematically gifted students solved the problems by using various modes of spatial visualization. They tried mainly to use visual distinction, dimension conversion, figure-background perception, position perception, ability to create a new thing, pattern transformation, and rearrangement. In this study, by investigating students' reactions which can appear in the process of exploring geometry problems and analyzing such reactions in conjunction with modes of visualization, modes of spatial visualization which are frequently used by a majority of students have been investigated and reactions relating to spatial visualization that a few students creatively used have been examined. Through such various reactions, the students' thinking in exploring three dimensional shapes could be understood.